2020年上海市中考数学试卷(WORD精校版带答案解析)

2020年上海市中考数学试卷
一、选择题（共6小题）.
1．（4分）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A． 6 B．9 C．12 D．18
2．（4分）用换元法解方程x＋1
x2＋
x2
x＋1
＝2时，若设
x＋1
x2＝y，则原方程可化为关于y的方程是
（）
A．y2－2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0 C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y－2＝0
3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）
A．条形图B．扇形图
C．折线图D．频数分布直方图
4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，－4），那么这个反比例函数的解析式是（）
A．y＝2
x B．y＝－
2
x C．y＝
8
x D．y＝－
8
x
5．（4分）下列命题中，真命题是（）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）计算：2a·3ab＝．
8．（4分）已知f （x ）＝ 2x －1，那么f （3）的值是 ． 9．（4分）已知正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）
10．（4分）如果关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值是 ．
11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．
12．（4分）如果将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ．
14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.6米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为 米．
15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC →＝a →，CA →＝b →，那么向量BD
→用向量a →、b →表示为 ．
16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．
17．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，点D 在边BC 上，CD ＝3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 ．
18．（4分）在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：
15＋2
－(12)－2＋|3－5|．
20．（10分）解不等式组：⎩
⎪⎨⎪⎧10x ＞7x ＋6
x －1＜x ＋73
21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝35．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）联结BD，求∠DBC的正切值．
22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△CEB∽△HCB；
（2）如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－1
2x＋5与x轴、y轴分别交于点A、B（如
图）．抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2＋bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．
2020年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4( )
A B C D
解：的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
3=
C =
D =
故选：C ．
2．（4分）用换元法解方程22121x x x x ++=+时，若设21x y x
+=，则原方程可化为关于y 的方程是( )
A ．2210y y -+=
B ．2210y y ++=
C ．220y y ++=
D ．220y y +-= 解：把21x y x
+=代入原方程得：12y y +=，转化为整式方程为2210y y -+=． 故选：A ．
3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )
A ．条形图
B ．扇形图
C ．折线图
D ．频数分布直方图 解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图， 故选：B ．
4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(2,4)-，那么这个反比例函数的解析式是( )
A ．2
y x = B ．2y x =-
C ．8y x =
D ．8y x =- 解：设反比例函数解析式为k
y x =，
将(2,4)-代入，得：42
k -=，
解得8k =-， 所以这个反比例函数解析式为8y x =-，
故选：D ．
5．（4分）下列命题中，真命题是( )
A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
解：A 、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误； B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C 、正确；
D 、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误； 故选：C ．
6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )
A ．平行四边形
B ．等腰梯形
C ．正六边形
D ．圆 解：如图，平行四边形ABCD 中，取BC ，AD 的中点
E ，
F ，连接EF ．
四边形ABEF 向右平移可以与四边形EFCD 重合，
∴平行四边形ABCD 是平移重合图形，
故选：A ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）计算：23a ab = 26a b ．
解：2236a ab a b =．
故答案为：26a b ．
8．（4分）已知2()1
f x x =
-，那么f （3）的值是 1 ． 解：2()1f x x =-，
f ∴（3）2131
==-， 故答案为：1．
9．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小” )
解：函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小，
故答案为：减小．
10．（4分）如果关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是 4 ． 解：依题意，
方程240x x m -+=有两个相等的实数根，
∴△224(4)40b ac m =-=--=，解得4m =，
故答案为：4．
11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 5
． 解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，
∴取到的数恰好是5的倍数的概率是21105
=． 故答案为：15
．
12．（4分）如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 23y x =+ ． 解：抛物线2y x =向上平移3个单位得到23y x =+．
故答案为：23y x =+．
13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150名 ． 解：15084003150400⨯=（名)． 答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．
故答案为：3150名．
14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得 1.6AB =米，1BD =米，0.2BE =米，那么井深AC 为 7 米．
解：BD AB ⊥，AC AB ⊥，
//BD AC ∴，
ACE BDE ∴∆∆∽， ∴AC AE BD BE =， ∴ 1.410.2
AC =， 7AC ∴=（米)，
答：井深AC 为7米．
15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC a =，CA b =，那么向量BD 用向量a 、b 表示为 2a b + ．
解：四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC ∴=，//AD BC ，AB CD =，//AB CD ，
∴AD BC a ==，
CD CA AD b a =+=+，
∴BA CD b a ==+，
BD BA AD =+，
∴2BD b a a a b =++=+，
故答案为：2a b +．
16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行
到学校所走的路程s （米)与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．
解：当820t 时，设s kt b =+，
将(8,960)、(20,1800)代入，得：
8960201800k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：70400k b =⎧⎨=⎩
， 70400s t ∴=+；
当15t =时，1450s =，
180********-=，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350．
17．（4分）如图，在ABC ∆中，4AB =，7BC =，60B ∠=︒，点D 在边BC 上，3CD =，联结AD ．如果将ACD ∆沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 332
．
解：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ．
7BC =，3CD =，
4BD BC CD ∴=-=，
4AB BD ==，60B ∠=︒，
ABD ∴∆是等边三角形，
60ADB ∴=︒，
120ADC ADE ∴∠=∠=︒，
60EDH ∴∠=︒，
EH BC ⊥，
90EHD ∴∠=︒，
3DE DC ==，
sin 60EH DE ∴=︒=，
E ∴到直线BD ，
． 18．（4分）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是
33AO << ． 解：在矩形ABCD 中，90D ∠=︒，6AB =，8BC =，
10AC ∴=，
如图1，设O 与AD 边相切于E ，连接OE ，
则OE AD ⊥，
//OE CD ∴，
AOE ACD ∴∆∆∽，
∴
OE AO CD AC =， ∴2106
AO =， 103AO ∴=
， 如图2，设O 与BC 边相切于F ，连接OF ，
则OF BC ⊥，
//OF AB ∴，
COF CAB ∴∆∆∽，
∴
OC OF AC AB =， ∴2106
OC =， 103
OC ∴=， 203AO ∴=
，
∴如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是1020
33
AO <<， 故答案为：1020
33AO <<．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：1
231
27()|35252-+-++．
解：原式1
33(3)52435=+-+-352435=+--+
0=．
20．（
10分）解不等式组：1076,
7
13
x x x x >+
⎧⎪+⎨-<⎪⎩
解：1076713x x x x >+⎧⎪⎨+
-<⎪⎩①
②
，
解不等式①得2x >，
解不等式②得5x <．
故原不等式组的解集是25x <<．
21．（10分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，
90DAB ∠=︒，8AB =，5CD =，35BC =
（1）求梯形ABCD 的面积；
（2）联结BD ，求DBC ∠的正切值．
解：（1）过C作CE AB
⊥于E，//
AB DC，90
DAB
∠=︒，
90
D
∴∠=︒，
90
A D AEC
∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形ADCE是矩形，
AD CE
∴=，5
AE CD
==，
3
BE AB AE
∴=-=，
35
BC=，
226
CE BC BE
∴=-=，
∴梯形ABCD的面积
1
(58)639
2
=⨯+⨯=；
（2）过C作CH BD
⊥于H，//
CD AB，
CDB ABD
∴∠=∠，
90
CHD A
∠=∠=︒，
CDH DBA
∴∆∆
∽，
∴CH CD
AD BD
=，
2222
8610 BD AB AD
=+=+=，
∴
5 610 CH
=，
3
CH
∴=，
2222
(35)36 BH BC CH
∴=-=-=，
DBC
∴∠的正切值
31
62 CH
BH
===．
22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 解：（1）45045012%504+⨯=（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x ，
依题意，得：2350(1)504x +=，
解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，
BE DF =，CE 的
延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．
（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；
（2）如果2BE AB AE =，求证：AG DF =．
【解答】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，
CD CB ∴=，D B ∠=∠，//CD AB ，
DF BE =，
()CDF CBE SAS ∴∆≅，
DCF BCE ∴∠=∠，
//CD BH ，
H DCF ∴∠=∠，
BCE H ∴∠=∠，
B B ∠=∠，
BEC BCH ∴∆∆∽．
（2）证明：2BE AB AE =，
∴BE AE AB EB =， //AG BC ，
∴
AE AG BE BC =， ∴BE AG AB BC
=， DF BE =，BC AB =， BE AG DF ∴==，
即AG DF =．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线152
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （如图）．抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点A ．
（1）求线段AB 的长；
（2）如果抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上的另一点C ，且5BC =，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 位于AOB ∆内，求a 的取值范围．
解：（1）针对于直线152
y x =-+，
令0x =，5y =，
(0,5)B ∴， 令0y =，则1502
x -+=，
10x ∴=， (10,0)A ∴，
2251055AB ∴=+=
（2）设点1
(,5)2
C m m -+，
(0,5)B ，
|BC m ∴==， 5BC =，
∴|m =， 2m ∴=±，
点C 在线段AB 上，
2m ∴=，
(2,4)C ∴，
将点(10,0)A ，(2,4)C 代入抛物线2(0)y ax bx a =+≠中，得100100424a b a b +=⎧⎨
+=⎩， ∴145
2
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线21542y x x =-+； （3）点(10,0)A 在抛物线2y ax bx =+中，得100100a b +=， 10b a ∴=-，
∴抛物线的解析式为2210(5)25y ax ax a x a =-=--，
∴抛物线的顶点D 坐标为(5,25)a -，
将5x =代入152y x =-+中，得155522y =-⨯+=，
顶点D 位于AOB ∆内，
50252a ∴<-<
， 1010
a ∴-<<； 25．（14分）如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，BO 的延长线交边AC 于点D ．
（1）求证：2BAC ABD ∠=∠；
（2）当BCD ∆是等腰三角形时，求BCD ∠的大小；
（3）当2AD =，3CD =时，求边BC 的长．
【解答】（1）证明：连接OA．
=，
AB AC
=，
∴AB AC
∴⊥，
OA BC
∴∠=∠，
BAO CAO
=，
OA OB
∴∠=∠，
ABD BAO
∴∠=∠．
2
BAC BAD
（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD CB
∠=∠=∠+∠=∠，
C BDC AB
D BAC ABD
=，则3 =，
AB AC
∴∠=∠，
ABC C
∴∠=∠，
DBC ABD
2
∠+∠+∠=︒，
180
DBC C BDC
∴∠=︒，
8180
ABD
367.5C ABD ∴∠=∠=︒．
②若CD CB =，则3CBD CDB ABD ∠=∠=∠， 4C ABD ∴∠=∠，
180DBC C CDB ∠+∠+∠=︒， 10180ABD ∴∠=︒，
472BCD ABD ∴∠=∠=︒．
③若DB DC =，则D 与A 重合，这种情形不存在． 综上所述，C ∠的值为67.5︒或72︒．
（3）如图3中，作//AE BC 交BD 的延长线于E ．
则
23AE AD BC DC ==， ∴43
AO E OH BH ==，设4OB OA a ==，3OH a =， 22222BH AB AH OB OH =-=-， 2222549169a a a ∴-=-，
22556
a ∴=， 52BH ∴ 522BC BH ∴==
．。