双曲线的标准方程与几何性质-高考文科数学分类专题突破训练

考查角度3 双曲线的标准方程与几何性质

分类透析一 双曲线的定义与应用

过双曲线x 216

-y 2

9=1左焦点F 1的直线与左支交于A ,B 两点,且

弦AB 长为6,则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是( ).

.19 C .22 D .28

由双曲线的定义知|AF 2|-|AF 1|=8,|BF 2|-|BF 1|=8,

|AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=|AF 2|+|BF 2|-|AB|=16, 从而有|AF 2|+|BF 2|=16+6=22,

2的周长为|AF 2|+|BF 2|+|AB|=22+6=28.

与焦点有关的三角形周长问题,常借助双曲线的定义.

分类透析二 双曲线的标准方程求解与应用

设A 、B 分别为双曲线x 2a

2-y 2

b 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲

线的实轴长为4√3,焦点到渐近线的距离为√3,则双曲线的标准方程为 .

由题意知a=2√3.

∵双曲线的一条渐近线为bx-ay=0,∴|bc |√b 2+a 2

=b=√3.

∴双曲线的标准方程为x 212-y 2

3=1.

1

,常用的方法有待,对于待定系数法,需要建立关于a ,b ,c 的等式,然后确定其焦点位置,从而写出其标准方程. 分类透析三 双曲线的几何性质及应用

已知双曲线x 2a

2-y 2

b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,

点P 在双曲线的右支上,且|PF 1|=4|PF 2|,则该双曲线离心率的取值范围为 .

因为|PF 1|=4|PF 2|,点P 在双曲线的右支上,所以设|PF 2|=m ,则1m.

由双曲线的定义,得|PF 1|-|PF 2|=4m-m=2a ,所以m=2

3

a.

又|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,即4m+m ≥2c ,所以m ≥2

5

c ,

即23

a ≥25

c ,所以e=c a

≤5

3

.

又e>1,所以双曲线离心率的取值范围为(1,5

3

].

(1,5

3

]

求解双曲线的离心率问题,是高频考点,建立关于

a ,

b ,是解决此类问题的关键.本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ,

c 的不等关系,使问题得以巧妙地转化、获解.

1.(2018年全国Ⅰ卷,理11改编)已知双曲线x 29

-y 2

b 2=1(b>0)的左顶点为

A ,虚轴长为8,右焦点为F ,且以F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切,

若过点A 作该圆F 的两条切线,切点分别为M ,N ,则|MN|=( ).

A .8

B .4√2

C .2√3

D .4√3

∵2b=8,∴b=4,c=5,∴A (-3,0),F (5,0), F 到双曲线的渐近线的距离为b , ∴☉F :(x-5)2+y 2=16. 设MN 交x 轴于点E , 在Rt△AMF 中,|FE|=

|MF |

2

|AF |

=42

3+5=2.

∴|AE|=8-2=6.又|ME|2=|AE|·|EF|=12,

∴|MN|=2|ME|=4√3,选D .

2.(2018年全国Ⅱ卷,文6改编)若双曲线x 2a

2-y 2

b 2=1(a>0,b>0)的一条渐

近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 .

双曲线x 2

a2-y2

b2

=1的渐近线方程为y=±b

a

x,由渐近线过点

(3,-4),可得-4=-3b

a ,即b=4

3

a.又c=√a2+b2=√a2+16

9

a2=5

3

a,所以双

曲线的离心率e=c

a =5 3 .

5

3

3.(2016年全国Ⅱ卷,理11改编)已知F1、F2是双曲线

E:x2

a2

-y2

b2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直且交双曲线于点N,△MF2N为等边三角形,则E的离心率为().

A.√2

B.3

2

C.√3

D.2

由题意知,|MN|=2|MF1|=2b

2

a

.因为△MF2N为等边三角形,所

以√3

2

×2b2=2c,解得√3e2-2e-√3=0,即e=√3或e=-√3

3

(舍去),故选C.

4.(2018年江苏卷,8改编)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线

x2

a2

-y2

b2

=1(a>0,b>0)的右顶点A(a,0)到一条渐近线的距离为√3

2

b,则双曲线离心率为.

由题意知,双曲线的一条渐近线方程为y=b

a

x,即bx-ay=0,

则点A到该直线的距离d=

√b2+(-a)2

=√3

2

b,即ab

c

=√3

2

b,所以e=c

a

=2√3

3

.

2√3

3

1.(河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测)中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(-2,4),则它的离心率为().

A.√5

2

B.√3

C.2

D.√5