高等代数知识点总结

定义（集合的映射） 设 A 、 B 为集合。如果存在法则 f ，使得 A 中任意元素 a 在法则 f 下对应 B 中唯一确定的元素（记做 f (a) ），则称 f 是 A 到 B 的一个映射，记为
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
f (x) a0 a1 x ...... an x n (an 0) ， g(x) b0 b1 x ...... bm x m (bm 0) ， 如果存在整整数 l , l m, l n ,及 l 1个不同的复数 1 , 2 ,......, l , l1 ，使得
r (1 , 2 ,, n )
i1 i2 ir ；
0i1 i2 ir n
n (1 , 2 ,, n ) 1 2 n （1, 2 ,, n 称为1,2 ,,n 的初等对称多项式）。于是有
定 理 2.5 ( 韦 达 定 理 ) 设 f (x) a0 xn a1xn1 an ， 其 中 ai K , a0 0 。 设 f (x) 0 的复根为1,2 ,,n 。则
证明 由已知，
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 . 两边取复共轭，又由于 a0 , a1 ,......, an R，所以
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 .
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根，故其中必有一
第一学期第四次课
第二章 向量空间与矩阵
第一节 m 维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设 K 是一个数域。 K 中 m 个数 a1 , a2 ,......, am 所组成的一个 m 元有序数
a22
...... ......
a2n
......
.
am1 am2 ...... amn
称为数域 K 上的 一个 m 行 n 列矩阵，简称为 m n 矩阵。
定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵
A 称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到 A 内作为最后一列，得到的 m (n 1) 矩阵
1
a0
f (x)
n i 1
(x i ) (x 1)(x 2 )(x n )
xn (1 2 n )xn1 12 n.
所以
a1 a0
(1)1 (1
2
n ) ；
a2
a0
(1) 2
i1 i2
0i1 i2 n
；
我们记
an a0
(1) n1 2 n .
0 (1 , 2 ,, n ) 1； 1 (1 , 2 ,, n ) 1 2 n ；
f (x) a0 x n a1 x n1 ...... an K[x], (a0 0) ， 则 称 n 为 f (x) 的 次 数 ， 记 为 deg f (x) 。
定理（高等代数基本定理） C[x] 的任一元素在 C 中必有零点。
命题 设 f (x) a0 x n a1 x n1 ...... an , (a0 0，n 1) 是 C 上一个 n 次多项式，a 是一个复数。则存在 C 上首项系数为 a0 的 n 1 次多项式 q(x) ，使得
第一学期第一次课
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，
则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设 K 是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 K 内任意两个数 a 、b（ a 可以等于 b ）， 必有 a b K，ab K，且当 b 0时，a / b K ，则称K为一个数域。 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a,b ∈Q}，其中 i = 1 。
a1a2 ......an ai . 1in
2. 求和号的性质. 容易证明，
n
n
ai ai
i 1
i 1
n
n
n
(ai bi ) ai bi
i 1
i 1
i 1
nm
mn
aij aij
i1 j1
j1 i1
事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
a11 a12 ...... a1m
f ( i ) g( i ) (i 1,2,......, l 1) ，
则 f (x) g(x) 。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设 f (x) a0 xn a1xn1 an ， 其 中 ai K , a0 0 。 设 f (x) 0 的 复 根 为 1,2 ,,n （可能有重复），则
证毕。
1.3.2 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换
定义（数域 K 上的矩阵） 给定数域 K 中的 mn 个元素 ai j（ i 1,, m ， j 1,, n ）。 把它们按一定次序排成一个 m 行 n 列的长方形表格
a11 a12 ...... a1n
A
a21
......
f (x) q(x)(x a) f (a)
证明 对 n 作数学归纳法。
推论 x0 为 f (x) 的零点，当且仅当 (x x0 ) 为 f (x) 的因式（其中 deg f (x) 1）。 命 题 （ 高 等 代 数 基 本 定 理 的 等 价 命 题 ） 设 f (x) a0 x n a1 x n1 ...... an (a0 0，n 1) 为 C 上的 n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在 n 个复 数 a1, a2 ,......, an ，使
命题 任意数域K都包括有理数域Q。
证明 设 K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 a K，且a 0 。于是
0 a a K， 1 a K 。 a
进而 m Z 0 ,
m 111 K 。
最后， m, n
Z
0
，
m n
K
，
m n
0
m n
K
。这就证明了
Q
K
。证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念
（*）
经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**） 的解也是（*）的解即可。
设 x1 k1 , x2 k2 ,......, xn kn 是（*）的解，即（*）中用 xi ki (i 1,2,......n) 代入 后成为等式。对其进行初等变换，可以得到 x1 k1 , x2 k2 ,......, xn kn 代入（**）后也成 为等式，即 x1 k1 , x2 k2 ,......, xn kn 是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。
a1 a0
(1)1 1 (1 , 2 ,, n ) ；
a2 a0
(1) 2 2 (1 , 2 ,, n ) ；
an a0
(1) n n (1 , 2 ,, n ).
命题 给定R上 n 次方程 a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0 ， a0 0 ，
如果 a b i 是方程的一个根，则共轭复数 a b i 也是方程的根。
a11 a12 ...... a1n b1
A
a21
a22
......
a2n
b2
.
......
...... ......
am1
am 2
......
amn
bn
称为方程组的增广矩阵。
定义(矩阵的初等变换) 对数域 K 上的矩阵的行（列）所作的如下变换
（1） 互换两行（列）的位置；
（2）把某一行（列）乘以 K 内一个非零常数 c ； （3）把某一行（列）加上另一行（列）的 k 倍，这里 k K
定义(集合的交、并、差) 设 S 是集合， A 与 B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的 交集，记作 A B ；把 A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集，记做 A B ；从集合 A 中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集， 记做 A \ B 。
a21 a22 ...... a2m
......
...... ......
an1 an2 ...... anm
分别先按行和列求和，再求总和即可。
第一学期第二次课
§2 一元高次代数方程的基础知识
1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题
1. 高等代数基本定理
设 K 为数域。以 K[x] 表示系数在 K 上的以 x 为变元的一元多项式的全体。如果
在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f ( A) ，即 f ( A) f (a) | a A。
若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射。若 b B, 都存在 a A ，使得 f (a) b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
设给定某个数域 K 上 n 个数 a1, a2 ,, an ，我们使用如下记号：
n
a1 a2 an ai , i 1
当然也可以写成
n
a1a2 an ai . i 1
a1 a2 ...... an ai , 1in
根为实数。
第一学期第三次课
§3 线性方程组
1.3.1 数域 K 上的线性方程组的初等变换 举例说明解线性方程组的 Gauss 消元法。
定义（线性方程组的初等变换） 数域 K 上的线性方程组的如下三种变换
（1） 互换两个方程的位置；
（2） 把某一个方程两边同乘数域 K 内一个非零元素 c ； （3） 把某一个方程加上另一个方程的 k 倍，这里 k K
的每一种都称为线性方程组的初等变换。 容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明 设线性方程组为
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, .a.1..2.x.1 a22 x2 a2n xn b2 , am1x1 am2a1 ,......, an K , a0 0 ）称为数域 K 上的一个 n 次代数方程；如果以 x K
带入（1）式后使它变成等式，则称 为方程（1）在 K 中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域 K 上的 n ( 1) 次代数方程在复数域
C内必有一个根。