随机变量的数学期望解读

即
E( X ) xk pk
k 1
若级数发散 xk pk ，则称X的数学期望不存在。
k 1
例1 谁的技术比较好? 甲、乙两个射手 , 他们射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环数分别为 X1, X2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
a ba 2 ba 2
第一节 数学期望
离散、连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
np
k 1
(4)普阿松分布： ~ P( )
P( k) k e , k 0,1, 2,
k!
E .
证明:
E k k e e k1 ee .
k0 k!
k1 (k 1)!
(5)超几何分布： ~ H (n, M , N ) :
P(
k)
C C k nk M NM
CNn
E n M .
故甲射手的技术比较好.
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数, 而非变量,它是一种以
概率为权的加权平均值, 与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正 平均值, 也称均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
E(X ) x f (x)dx
如果积分 x f (x)dx 发散，则称X的数学期
望不存在。
注： E(X)是一个实数而非变量, 并非所有的随机变 量都存在数学期望。
例6 常见连续型随机变量的数学期望
(1) 均匀分布： ~ U(a, b)
证明:
b
E xp(x)dx
x
dx 1 b2 a2 a b .
(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
假设
X1 2 p 0.02 0.98
随机变量 X 的算术平均值为 1 2 1.5, 2
E( X ) 1 0.02 2 0.98 1.98.
• O
•
1
•
•
•
2
x
它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.
当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X
10 ,
0,
x 0, x 0.
试求该商店一台家用电器收费 Y 的数学期望.
解 P{ X 1} 1 1 e x 10 d x 1 e0.1 0.0952, 0 10 P{1 X 2} 2 1 e x 10 d x 1 10 e0.1 e0.2 0.0861, P{2 X 3} 3 1 ex 10 d x 2 10 e0.2 e0.3 0.0779,
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、数学期望的概念
定义1 设X是离散型随机变量，它的分布律是:
P{X=xk}=pk , k=1,2,…
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk
k 1
k 1
的和为随机变量X的数学期望，记为 E( X ),
的期望值与算术平均值相等.
例2 一批产品中有一、二、三等及废品4种，相 应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级 的产值分别为10元、5.8元、4元及0元，求这批产 品的平均产值。
解 设一个产品的产值为X元，则X的可能取值 分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为 7%, 13%, 20%, 60%；则它们可以构成概率分布， 由数学期望的定义求得产品的平均产值为 E(X) = 4×0.13 + 5.8×0.2 + 10×0.6 = 7.68（元）。
例4 设 服从几何分布，即
P( k) pqk1, k 1, 2, 3,
求 E。
解： E k P( k) k pqk1
k 1
k 1
p
k 1
q 0
kq
k
1dq
p
qk
k 1
q
p
p1
p
1
q
(1 q)2
p2
p
例5 常见离散型随机变量的数学期望
(1) 退化分布
a
例3 商店的销售策略 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后
付款的方式 ,记使用寿命为X (以年计),规定 : X 1,一台付款1500元;1 X 2,一台付款2000元; 2 X 3,一台付款2500元; X 3,一台付款3000元.
设寿命 X 服从指数分布,概率密度为
f
(x)
1 e x 10
N
证明: E
n
k nk
C C M M N M
k C C n
C C k0
N
n
n N k 1
k 1 (n1)(k 1) M 1 ( N 1)(M 1)
来自百度文库
M CNn
C n1 N 1
n
M N
.
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
P{ X 3} 1 e x 10 d x 3 10 e0.3 0.7408.
因而一台收费 Y 的分布律为
Y 1500 2000 2500 3000 pk 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408 得 E(Y ) 2732.15, 即平均一台家用电器收费 2732.15 元 .
P
1
E a .
(2) 两点分布： ~ (0 1, p)
E 0(1 p) 1 p p
(3)二项分布： ~ B(n, p) P( k) Cnk pkqnk , k 0,1, E np .
,n，
n
证明: E kCnk pk (1 p)nk .
k 0
n
np
C k 1 n1
pk
1
(1
p)(n1)(k 1)