优化,报童,变分模型
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每件产品缺货造成的损失费为c3 , 但缺货量在下次补足。
建模
因存储量不足而造成缺货时，可以认为存储量q t 为
负值（如图所示），周期仍记为 T ,Q 是每周期的存储
量，当 t T1 时，q t 0, 故有
Q rT1.
⑻
在 T1到 T这段缺货时间内需求率
不变，q t 按原斜率继续下降，
q Q
缺货损失费c3 越大， 越小（越接近1），从而
lim T T , lim Q Q, lim R Q.
c3
c3
c3
由此说明不容许缺货是容许缺货的特殊情况.
二、生猪出售的最佳时机
一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力， 估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤. 目前生 猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低 0.1元. 问该场该什么时候出售这样的生猪，如果这样 的估计和预测有出入，对结果有多大的影响.
由大数定律，报童每天的平均收入因为每天收入的期望 值来表示.
设每天卖出r份报纸的概率为 f r , 因而期望收入为
n
G n a br b cn r f r
r0
a bnf r.
⑴
r n1
从而问题转变为求出进货量 n,使期望收入Gn 达到最
大.
解模
为了用微积分的方法解决该问题，将变量连续化，从
用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度。t 对 r的敏
感程度记为S (t, r), 定义式为
S(t, r) t / t dt r .
⑸
r / r dr t
由⑶式，得
dt dr
40r
40r r2
60
60 r2 ,
再代入⑸式，得
S t,r 60 .
⑹
40r 60
将r 2代入⑹式，得 S(t, r) 3.
cT
c1 T2
c2 r 2
0.
即有:
T 2 2c1 , T 2c1 .
⑷
c2r
c2r
而
Q rT 2c1r .
⑸
c2
将⑷代入到⑶式，得最小的平均费用为
C 2c1c2r.
⑹
⑷，⑸被称为经济订货批量公式（EOQ公式）.
结果解释
由⑷，⑸式可以看到，当 c1（准备费用）提高时，生 产周期和产量都变大；当 c2存储费增加时，生产周期和 产量都变小；当需求量 r 增加时，生产周期变小而产量
⑼
q
则每天的平均费用为
Q
R Ar
B T1 T
t
C T ,Q c1 c2Q2 c3 rT Q2 . ⑽
T 2rT
2rT
解模
为求使C T,Q 达到最小的T , Q, 在⑽中分别对T ,Q
求偏导，并令其为零，即
C T ,Q c1 c2Q2 c3 rT Q2 .
T 2rT
2rT
C c1 c2Q2 c3r c3Q2 0, T T 2 2rT 2 2 2rT 2
得
t 4r 40g 2 . rg
⑵
敏感性分析
因在上面的讨论中，参数r, g是预测的，下面讨论当
它们发生变化时对模型价格的影响。
1.设每天生猪价格的下降率g 0,1不变，研究 r 变化
对t 的影响。由⑵式，得
t 40r 60 r 1.5
⑶
r
t 是 r 的增函数，下图反映了t 与r 的关系。
本节讨论在需求稳定的情况下，两个简单的存储模 型: 不容许缺货和容许缺货的存储模型.
1.不容许缺货的存储模型
例 配件厂为装配线生产若干种部件. 轮换生产不同 的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用（与产 量无关）. 同一部件的产量大于需求时需支付存储费用. 已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费为5000 元, 存储费为每日每件一元. 如果生产能力远大于需求， 并且不容许出现缺货，试安排生产计划: 即多少天生产 一次（生产周期）、每次产量多少可使总费用最少？
因而在一个周期中，总存储 qt
费用为
Q
c2
T q t dt c2 QT .
0
2
r
A
T
2T t
准备费用为 c1，故总费用为
c
c1
c2
1 2
QT
c1
c2
1 r T2. 2
⑵
所以，每天的平均费用为
c T
c1பைடு நூலகம்T
c2
1 2
r
T.
⑶
模型求解
原问题转变为使⑶取极小值的问题。利用求极值的方
法，对⑶式求导，并令其为零:
分析
⑴若每天生产一次，无存储费，生产准备金5000元， 故每天的总费用为5000元；
⑵若10天生产一次，每次生产1000件，准备金5000 元，存储费900+800+…+100=4500元。平均每天950元。
⑶若50天生产一次，每次生产5000件，准备金5000 元，存储费4900+4800+…+100=122500元，平均每天 2500元。
t 20 15 10
5
1.5
2
2.5
r 3
下表给出了r 与 t 的数据关系。
r 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 t 0 2.5 4.7 6.7 8.4 10 11.4 12.7 r 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 t 13.9 15 16 16.9 17.8 18.6 19.3 20
模型假设
1.报童知道卖出各个数量的概率的大小.
2.设报童每天批进报纸 n份，进价为 b元，卖价为a 元，处理价为c元.
建模
由假设，报童每卖出一份报纸获利 a b元，每处理
一份报纸亏损 b c元。当卖出量 r n时，报童获利
a br b cn r元，
当卖出量r n时，报童获利
a bn元.
建模因存储量不足而造成缺货时可以认为存储量负值如图所示周期仍记为是每周期的存储这段缺货时间内需求率不变按原斜率继续下降由于规定缺货量需补足所以在时数量为的产品立即达与不容许缺货的模型相似一个周期内的存储费是乘以图中三角形的面积缺货损失费是乘以三角形面积加上准备费得一周期内的总费用为rtrt达到最小的在中分别对求偏导并令其为零即rtrtrtrtrtrt此说明周期及供货量应增加周期初的存储量减少
由于规定缺货量需补足，所以在 R A r
t T 时数量为R 的产品立即达，
B T1 T
t
使下周期初的存储量恢复到Q.
与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是c2
乘以图中三角形 A的面积，缺货损失费是c3乘以三角形
面积B, 加上准备费，得一周期内的总费用为
C c1 c2QT1 / 2 c3r T T1 2 / 2,
说明: 该模型的建模和解模都较为简单. 我们的注意 力是放在对模型的结果分析上, 即重点讨论敏感性分析 上. 另外该模型还适用与其它与之类似的模型.
三、报童问题
——随机性的函数极值问题
问题 报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上 将卖不掉的报纸返回邮局进行处理. 售出一份报纸可获 得相应的利润，而处理一份报纸会造成亏损. 为此要考 虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润.
C T ,Q c2Q c3 rT Q 0.
Q
rT
rT
由第二个方程, 得
T c2 c3 Q, c3r
再由第一个方程, 得
2rc1 c2Q2 r2c3T 2 c3Q2 0.
即
T
2
2rc1
c2
c3r 2
c3
Q2
,
再代入前一式, 有
T 2c1 c2 c3 ,Q
2c1c3r . ⑾
本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即 建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当 的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的 最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费 用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以 期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。
本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极 值问题，因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。
1.每天的需求量为常数 r；
2.每次生产的准备费用为 c1,每天每件的存储费为c2 ,
3.生产能力无限大，即当存储量为零时，Q 件产品可以
立即生产出来.
建模
设存储量为 qt ,q0 Q. q t 以r 递减，直到
qT 0. 则有
Q rT.
⑴
在一个微小时间中段 t中，存储费为 c2 q t t,
当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时， 首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策 受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若 干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决 策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。
一、存储模型
问题的提出
工厂定期订购原料存入仓库供生产之用；车间一次加 工零件供装配线生产之用；商店成批订购各种商品，放 进货柜以备零售；诸多问题都涉及到一个存储量为多大 的问题：存储量过大，会增加存储费用；存储量过小， 会增加订货次数，从而增加不必要的订购费用.
c2c3r
c2 c2 c3
由于每周期的供货量为R rT , 有
R
2c1r
c2
c3
.
⑿
c2c3
记
c2 c3 ,
⒀
c3
与不容许缺货模型的结果⑷、⑸进行比较，得到
T T ,Q Q / , R Q. ⒁
结果分析 由⒀式知 1, 再由⒁知
T T ,Q Q, R Q.
此说明周期及供货量应增加，周期初的存储量减少。
以上分析表明: 生产周期过短，尽管没有存储费，但 准备费用高, 从而造成生产成本的提高；生产周期过长, 会造成大量的存储费用, 也提高了生产成本. 由此可以 看到, 选择一个合适的生产周期，会降低产品的成本； 从而赢得竞争上的优势。
模型假设
为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期 T ，
产量Q 均为连续变量.
对c1的敏感程度记为s T ,c1 , 定义式为
s T ,c1
T c1
/T / c1
dT dc1
c1 T
.
再由 T
2c1 c2 r
1/ 2 ,
得
dT dc1
2c1 c2 r
1/ 2
⑺
1, 2c1c2 r
而
c1
c1
c1c2r ,
T 2c1 / c2r
2
代入上式，得
s T ,c1
变大。这些结果都是符合常识的。
以c1 5000, c2 1, r 100代入⑷、⑸ 式得 T 10, c 1000元.
注意的是：用此公式计算的结果与原题有一定的误 差，原因在于变量选择的不同.
敏感性分析
讨论参数c1, c2 , r 对生产周期 T的影响.
我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度. T
w 80 rt, p 8 gt, R wp,C 4t,
最后得纯利润为：
Qt 8 gt80 rt 4t 640. ⑴
其中r 2, g 0.1. 求使 Qt 达到最大值的t.
模型求解
t 该问题是二次函数的极值问题。在上式对 求导，并
令其为零，则有
g 80 rt r 8 gt 4 0.
优化模型
优化模型的数学意义
优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域 中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等 条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本 和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最 大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各 供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到最 低。… …
2.设每天生猪体重的增加r 2公斤不变，研究 g变化
对 t 的影响。由⑵式得
t 3 20g 0 g 0.15,
⑷
g
即t是 g的减函数。
t 30 25 20 15 10
5
0.06
0.08
0.12
0.14
g 0.16
g 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 t 30 22.9 17.5 13.3 10 7.3 5.0 3.1 3.3 1.4
此说明: 若每天的体重增加1%, 则出售时间推迟3%.
类似可以定义 t 对g的敏感度 S (t, g),
S(t, g) t / t dt g . g / g dg t
由⑷式可得
S t, g dt g 3 .
⑺
dg t 3 20g
当 g 0.1时，可得
S t, g 3.
此说明价格每降低1%, 则出售的时间提早3%.
dT dc1
c1 T
1. 2
同理可得:
s
T
,
c2
1 2
,
s
T
,
r
1 2
.
即：c1每增加 1%，T 增加 0.5%, c2 每增加 1% ，T 减
少0.5%.
注 此模型也可适用于商店的进货问题.
3.容许缺货的模型 下面讨论的是容许缺货的问题. 为此做以下的假设: 生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天
分析 造成价格变化的两大因素
1.资金投入使得成本增加； 2.市场因素使得价格降低.
模型假设 每天投入4元资金使生猪体重每天增加常
数r公斤，生猪出售的价格每天降低常数 g（0.1元）。
模型建立
记 t —时间；w —生猪体重；p —出售的价格；R — 出售的收入；C —每天的投入；Q —纯利润。则有
而相应的概率函数 f r 用连续型随机变量的概率密度 p r 来表示. 于是由连续性随机变量的数学期望公式
G
n
n
0
a
b
r
b
c
n
r
p
r
dr
n
a
b
np
r
dr.
⑵
由极值存在的条件，对⑵式求导并令其为零，再由含
参变量积分的求导公式得
建模
因存储量不足而造成缺货时，可以认为存储量q t 为
负值（如图所示），周期仍记为 T ,Q 是每周期的存储
量，当 t T1 时，q t 0, 故有
Q rT1.
⑻
在 T1到 T这段缺货时间内需求率
不变，q t 按原斜率继续下降，
q Q
缺货损失费c3 越大， 越小（越接近1），从而
lim T T , lim Q Q, lim R Q.
c3
c3
c3
由此说明不容许缺货是容许缺货的特殊情况.
二、生猪出售的最佳时机
一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力， 估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤. 目前生 猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低 0.1元. 问该场该什么时候出售这样的生猪，如果这样 的估计和预测有出入，对结果有多大的影响.
由大数定律，报童每天的平均收入因为每天收入的期望 值来表示.
设每天卖出r份报纸的概率为 f r , 因而期望收入为
n
G n a br b cn r f r
r0
a bnf r.
⑴
r n1
从而问题转变为求出进货量 n,使期望收入Gn 达到最
大.
解模
为了用微积分的方法解决该问题，将变量连续化，从
用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度。t 对 r的敏
感程度记为S (t, r), 定义式为
S(t, r) t / t dt r .
⑸
r / r dr t
由⑶式，得
dt dr
40r
40r r2
60
60 r2 ,
再代入⑸式，得
S t,r 60 .
⑹
40r 60
将r 2代入⑹式，得 S(t, r) 3.
cT
c1 T2
c2 r 2
0.
即有:
T 2 2c1 , T 2c1 .
⑷
c2r
c2r
而
Q rT 2c1r .
⑸
c2
将⑷代入到⑶式，得最小的平均费用为
C 2c1c2r.
⑹
⑷，⑸被称为经济订货批量公式（EOQ公式）.
结果解释
由⑷，⑸式可以看到，当 c1（准备费用）提高时，生 产周期和产量都变大；当 c2存储费增加时，生产周期和 产量都变小；当需求量 r 增加时，生产周期变小而产量
⑼
q
则每天的平均费用为
Q
R Ar
B T1 T
t
C T ,Q c1 c2Q2 c3 rT Q2 . ⑽
T 2rT
2rT
解模
为求使C T,Q 达到最小的T , Q, 在⑽中分别对T ,Q
求偏导，并令其为零，即
C T ,Q c1 c2Q2 c3 rT Q2 .
T 2rT
2rT
C c1 c2Q2 c3r c3Q2 0, T T 2 2rT 2 2 2rT 2
得
t 4r 40g 2 . rg
⑵
敏感性分析
因在上面的讨论中，参数r, g是预测的，下面讨论当
它们发生变化时对模型价格的影响。
1.设每天生猪价格的下降率g 0,1不变，研究 r 变化
对t 的影响。由⑵式，得
t 40r 60 r 1.5
⑶
r
t 是 r 的增函数，下图反映了t 与r 的关系。
本节讨论在需求稳定的情况下，两个简单的存储模 型: 不容许缺货和容许缺货的存储模型.
1.不容许缺货的存储模型
例 配件厂为装配线生产若干种部件. 轮换生产不同 的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用（与产 量无关）. 同一部件的产量大于需求时需支付存储费用. 已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费为5000 元, 存储费为每日每件一元. 如果生产能力远大于需求， 并且不容许出现缺货，试安排生产计划: 即多少天生产 一次（生产周期）、每次产量多少可使总费用最少？
因而在一个周期中，总存储 qt
费用为
Q
c2
T q t dt c2 QT .
0
2
r
A
T
2T t
准备费用为 c1，故总费用为
c
c1
c2
1 2
QT
c1
c2
1 r T2. 2
⑵
所以，每天的平均费用为
c T
c1பைடு நூலகம்T
c2
1 2
r
T.
⑶
模型求解
原问题转变为使⑶取极小值的问题。利用求极值的方
法，对⑶式求导，并令其为零:
分析
⑴若每天生产一次，无存储费，生产准备金5000元， 故每天的总费用为5000元；
⑵若10天生产一次，每次生产1000件，准备金5000 元，存储费900+800+…+100=4500元。平均每天950元。
⑶若50天生产一次，每次生产5000件，准备金5000 元，存储费4900+4800+…+100=122500元，平均每天 2500元。
t 20 15 10
5
1.5
2
2.5
r 3
下表给出了r 与 t 的数据关系。
r 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 t 0 2.5 4.7 6.7 8.4 10 11.4 12.7 r 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 t 13.9 15 16 16.9 17.8 18.6 19.3 20
模型假设
1.报童知道卖出各个数量的概率的大小.
2.设报童每天批进报纸 n份，进价为 b元，卖价为a 元，处理价为c元.
建模
由假设，报童每卖出一份报纸获利 a b元，每处理
一份报纸亏损 b c元。当卖出量 r n时，报童获利
a br b cn r元，
当卖出量r n时，报童获利
a bn元.
建模因存储量不足而造成缺货时可以认为存储量负值如图所示周期仍记为是每周期的存储这段缺货时间内需求率不变按原斜率继续下降由于规定缺货量需补足所以在时数量为的产品立即达与不容许缺货的模型相似一个周期内的存储费是乘以图中三角形的面积缺货损失费是乘以三角形面积加上准备费得一周期内的总费用为rtrt达到最小的在中分别对求偏导并令其为零即rtrtrtrtrtrt此说明周期及供货量应增加周期初的存储量减少
由于规定缺货量需补足，所以在 R A r
t T 时数量为R 的产品立即达，
B T1 T
t
使下周期初的存储量恢复到Q.
与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是c2
乘以图中三角形 A的面积，缺货损失费是c3乘以三角形
面积B, 加上准备费，得一周期内的总费用为
C c1 c2QT1 / 2 c3r T T1 2 / 2,
说明: 该模型的建模和解模都较为简单. 我们的注意 力是放在对模型的结果分析上, 即重点讨论敏感性分析 上. 另外该模型还适用与其它与之类似的模型.
三、报童问题
——随机性的函数极值问题
问题 报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上 将卖不掉的报纸返回邮局进行处理. 售出一份报纸可获 得相应的利润，而处理一份报纸会造成亏损. 为此要考 虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润.
C T ,Q c2Q c3 rT Q 0.
Q
rT
rT
由第二个方程, 得
T c2 c3 Q, c3r
再由第一个方程, 得
2rc1 c2Q2 r2c3T 2 c3Q2 0.
即
T
2
2rc1
c2
c3r 2
c3
Q2
,
再代入前一式, 有
T 2c1 c2 c3 ,Q
2c1c3r . ⑾
本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即 建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当 的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的 最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费 用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以 期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。
本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极 值问题，因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。
1.每天的需求量为常数 r；
2.每次生产的准备费用为 c1,每天每件的存储费为c2 ,
3.生产能力无限大，即当存储量为零时，Q 件产品可以
立即生产出来.
建模
设存储量为 qt ,q0 Q. q t 以r 递减，直到
qT 0. 则有
Q rT.
⑴
在一个微小时间中段 t中，存储费为 c2 q t t,
当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时， 首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策 受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若 干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决 策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。
一、存储模型
问题的提出
工厂定期订购原料存入仓库供生产之用；车间一次加 工零件供装配线生产之用；商店成批订购各种商品，放 进货柜以备零售；诸多问题都涉及到一个存储量为多大 的问题：存储量过大，会增加存储费用；存储量过小， 会增加订货次数，从而增加不必要的订购费用.
c2c3r
c2 c2 c3
由于每周期的供货量为R rT , 有
R
2c1r
c2
c3
.
⑿
c2c3
记
c2 c3 ,
⒀
c3
与不容许缺货模型的结果⑷、⑸进行比较，得到
T T ,Q Q / , R Q. ⒁
结果分析 由⒀式知 1, 再由⒁知
T T ,Q Q, R Q.
此说明周期及供货量应增加，周期初的存储量减少。
以上分析表明: 生产周期过短，尽管没有存储费，但 准备费用高, 从而造成生产成本的提高；生产周期过长, 会造成大量的存储费用, 也提高了生产成本. 由此可以 看到, 选择一个合适的生产周期，会降低产品的成本； 从而赢得竞争上的优势。
模型假设
为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期 T ，
产量Q 均为连续变量.
对c1的敏感程度记为s T ,c1 , 定义式为
s T ,c1
T c1
/T / c1
dT dc1
c1 T
.
再由 T
2c1 c2 r
1/ 2 ,
得
dT dc1
2c1 c2 r
1/ 2
⑺
1, 2c1c2 r
而
c1
c1
c1c2r ,
T 2c1 / c2r
2
代入上式，得
s T ,c1
变大。这些结果都是符合常识的。
以c1 5000, c2 1, r 100代入⑷、⑸ 式得 T 10, c 1000元.
注意的是：用此公式计算的结果与原题有一定的误 差，原因在于变量选择的不同.
敏感性分析
讨论参数c1, c2 , r 对生产周期 T的影响.
我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度. T
w 80 rt, p 8 gt, R wp,C 4t,
最后得纯利润为：
Qt 8 gt80 rt 4t 640. ⑴
其中r 2, g 0.1. 求使 Qt 达到最大值的t.
模型求解
t 该问题是二次函数的极值问题。在上式对 求导，并
令其为零，则有
g 80 rt r 8 gt 4 0.
优化模型
优化模型的数学意义
优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域 中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等 条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本 和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最 大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各 供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到最 低。… …
2.设每天生猪体重的增加r 2公斤不变，研究 g变化
对 t 的影响。由⑵式得
t 3 20g 0 g 0.15,
⑷
g
即t是 g的减函数。
t 30 25 20 15 10
5
0.06
0.08
0.12
0.14
g 0.16
g 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 t 30 22.9 17.5 13.3 10 7.3 5.0 3.1 3.3 1.4
此说明: 若每天的体重增加1%, 则出售时间推迟3%.
类似可以定义 t 对g的敏感度 S (t, g),
S(t, g) t / t dt g . g / g dg t
由⑷式可得
S t, g dt g 3 .
⑺
dg t 3 20g
当 g 0.1时，可得
S t, g 3.
此说明价格每降低1%, 则出售的时间提早3%.
dT dc1
c1 T
1. 2
同理可得:
s
T
,
c2
1 2
,
s
T
,
r
1 2
.
即：c1每增加 1%，T 增加 0.5%, c2 每增加 1% ，T 减
少0.5%.
注 此模型也可适用于商店的进货问题.
3.容许缺货的模型 下面讨论的是容许缺货的问题. 为此做以下的假设: 生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天
分析 造成价格变化的两大因素
1.资金投入使得成本增加； 2.市场因素使得价格降低.
模型假设 每天投入4元资金使生猪体重每天增加常
数r公斤，生猪出售的价格每天降低常数 g（0.1元）。
模型建立
记 t —时间；w —生猪体重；p —出售的价格；R — 出售的收入；C —每天的投入；Q —纯利润。则有
而相应的概率函数 f r 用连续型随机变量的概率密度 p r 来表示. 于是由连续性随机变量的数学期望公式
G
n
n
0
a
b
r
b
c
n
r
p
r
dr
n
a
b
np
r
dr.
⑵
由极值存在的条件，对⑵式求导并令其为零，再由含
参变量积分的求导公式得