集映射、拓扑交和对影序的存在性

下,但从其概念体系 到 约 束 体 系 公 理 化 的 研 究 却 十
分不 足 [３]. 即 使 对 各 种 不 同 类 型 序 (各 种 偏 好 关
系),虽然都可以建 立 迭 代 算 法 以 确 定 “共 识”,但 迭
代算法中个体理性、群体理性难以相容,迭代算法破
坏着个体理性.文献[
３]总结的系列研究结论,发现
科学基金群的研究之中 [１].虽然标准形式理性一般
能严格效用函数化,有限理性也可效用扰动化 [２],但
序拓扑却更方便刻画理性的有限性、不完全性等,特
别是集体理性、群理性等等.众所周知,“共识”作为
标度序族的某种一 致 性 也 受 到 广 泛 研 究,群 决 策 共
识和一致 性 同 样 受 到 国 家 自 然 科 学 基 金 群 的 资 助
x,
z,由 xRy 及yRz 能 推 出 xRz. 称 R 为 对 称
y,
性关系,对任何不同的 x、
xRy 能推出 yRx;称 R
y,
为反对 称 性 关 系,对 任 何 不 同 的 x、
xRy 能 推 出
y,
向”提供判 断. 对 于 (
X,
F )的 X 中 任 何α∈X ,记
F －１(
α)＝ {
β|α∈F (
是内化到运算之中,从 而 其 一 般 研 究 范 式 具 有 统 一
性,但也产生了 算 法 统 一 性 问 题. 本 文 力 求 仅 在 运
算层面上实现概念 刻 画 和 集 结 特 征 判 断,并 集 中 考
察社会选择函数集结中的对影判别和性质;一方面,
以交运算统一刻 画 和 描 述,形 成 算 法 统 一 性. 另 一
a)}.
为形 式 化 地 综 合 考 虑 社 会 选 择 理 论、机 制 设 计
理论,需要准确定义文 献 [
９]所 指 称 的 集 结,即 把 一
个标度集下的偏好组合映射为社会偏好.为方便直
接记 V ＝ {
１,
２,m }直 接 表 示 标 度 集,并 定 义 社 会
选择函数如下:
定义 ２ 标 度 集 V 对 集 合 X 建 立 了 集 序 组 合
第 ４７ 卷第 ４ 期
２０２３ 年 ８ 月
南昌大学学报(理科版)
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４
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２０２３
卢美华,高晓波 ．
集映射、拓扑交和对影序的存在性[
南昌大学学报(理科版),
J]．
２０２３,
４７(
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对应地 刻 画 出 强 序、弱 序、全 序、偏 序,乃 至 锥 序;在
集序构造下发现群序集结可等价于群强序集结.同
时,高、卢在文献[
８]提出对影概念,并研究了对影判
别和性质.而且,卢文 献 [
７]把 集 序、群 序 集 结 应 用
于社会选择理论得基础构造.这里基础构造理论联
系广阔,诺贝尔经济 学 奖 获 得 者 马 斯 金 在 机 制 研 究
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和拓扑社会选择理论确实拓宽了社会选择理论的进
收稿日期:
２０２２
Ｇ
０６
Ｇ
０１.
基金项目:江西省文化科学规划资助(
YG２０２２１８４);国家社科基金资助项目(
１７BJL０２５)
作者简介:卢美华(
１９７８－ ),女,硕士,副教授.E
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１１７３０７１９４５＠qq．
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∗ 通信作者:高晓波(
１９７５－ ),男,硕士,讲师.E
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向”判断;反之,映射刻画集序的扩张性能为关系“劣
１ 知识准备和符号说明
在文献[
６]提 出 了 强 序 新 的 刻 画. 而 近 期 卢 进
一步提出集序、群 序,并 基 于 集 序、群 序 刻 画 了 偏 好
集结,获得了 诸 多 良 好 得 结 论 [７].其 方 法 体 系 是 用
集值映射刻画序,在 集 值 映 射 上 装 载 各 约 束 形 式 并
形成组合 空 间 FXV ＝ {(
陷,例 如 Ar
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后,加载约束公理的强弱性就能自明.为此,下面给
出基本概念.
关系及 其 属 性 是 形 式 决 策 理 论 的 起 点. 给 定
X 集合,以 范 数|X|表 示 集 合 元 素 个 数.设 R ⊂X
×X ,以 该 子 集 R 表 示 集 合 X 上 元 素 的 关 系,若
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序拓扑理论是 当 前 应 用 拓 扑 发 展 的 重 要 方 向,
诸多新方法、新思维 已 经 应 用 于 并 更 新 了 序 拓 扑 空
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间、广义度量空 间 的 理 论 局 面. 序 拓 扑 空 间 及 其 在
经济领域的应用获得了国家自然科学基金群聚焦式
资助.稍早,师维学 在 三 个 国 家 自 然 科 学 项 目 形 成
项目群的资助下,解 决 了 序 拓 扑 空 间 上 广 义 度 量 的
构造等诸多问题,当然,标度序族的集结不在其自然
(
x,
y)∈R ,称 x 关 系 R 于y,此 时 也 可 记 为 xRy.
同时,装 载 了 关 系 后 集 合 记 为 (
X,
R ). 对 于 (
X,
R ),称 R 为自反性关系,若任何 x 都有xRx.对应
地,若任何 x 都 有 ┒xRx (表 示 xRx 不 成 立),则 可
称 R 为非自反性关系.称 R 为传递性关系,若任何
例如(
X,
R)为弱序集,若关系 R 是自反性、传递性关
系;而后续主要采用集值映射定义各类关系.
定义 １ 设集合 X 上集值映射 F :
X →２X 满 足
(
１)∀a∈X ,
a∈F (
a);(
２)∀b∈F (
a)有 F (
b)⊂F
(
a);(
３)若 ┑a∈F (
b)则 b∈F (
a);则 称 F :
S →２S
符合一般研究范式的“共 识 理 论”应 该 统 一 “交 互 共
识”和“优化共识”,本 质 上 通 向 社 会 选 择 理 论,并 为
社会选择理论和共识协商形成了概念连接.
事实 上,社 会 选 择 理 论 一 直 是 公 理 化 群 序 及 其
集结形式化理论 的 典 范. 当 前,几 何 社 会 选 择 理 论
中,从连续统空间得测度等分构造选择主体,以此构
造考察约束公理得 强 弱,并 给 出 一 个 约 束 公 理 系 统
得包含关系
２０２３ 年
.一旦采用卢提出得集序、群序方法,
[
９]
约束公理得加载 将 更 为 便 利. 本 质 上,卢 的 方 法 体
系是避免约束公理加载而前置在运算层面上考察一
般集结性质,这避免 了 后 置 约 束 公 理 不 相 容 性 的 缺
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任何两个 a、
b∈X ,┑a∈F (
b)能 导 出 b∈F (
a);集
序属性显然是自明的.同时,以 FX 表示 X 上全 体
集序 形 成 的 集 合,称 FX 为 X 的 集 序 空 间,简 称 集
序空间.显然,
FX ＝ {
F:
X →２X|F 满足a∈F (
a),
[∀b∈F (
a)]⇒F (
b)⊂F (
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３１８
南昌大学学报(理科版)
路[
４],但是约束公理相容性配置却一直处于争执之
[
５]
中 .如果分析文 献 [３]总 结 的 系 列 方 法,可 以 发 现
集结落实到单纯算 法 层 面 上,则 约 束 公 理 配 置 确 实
为集序映射,简称为集序,同时记 X 为(
X,
F ).
显然,依据集序把b∈F (
a)记 为 关 系 b≳a,则
“≳ ”是传递性关 系. 另 外 由 “
b∈F (
a)”推 导 出 “
F
(
b)⊂F (
a)”刻画了集序映射收缩性,该映射收缩性
与关系传 递 性 互 为 判 断,并 且 映 射 收 缩 性 刻 画 “优