概率论期末复习试题

复习试题
第一章 概率的计算
1、袋中有4个白球，7个黑球，从中任意取一个球．则取出白球的概率为
11
4
． 2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，求()
AB P ＝ ．
3 假设()0.4,P A =()0.7P A B = ，若A 与B 互斥，则()________P B =； 4.已知0403().,().,P A P B ==06().P B A ⋃=。

则()P A B -= 0.3 .
5、甲、乙两人相约8—12点在预定地点会面。

先到的人等候另一人30分钟后离去，则甲、乙两人能会面的概率为______
1564
6.有两批同类型的产品各有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意之中将第一批产品中（12件）的一件产品混入了第二批产品中，现在从第二批产品中随机抽取一件，问取出的产品为次品的概率是多少？
7．在第一台机器上生产一级品零件的概率是0.4，二在第二台机器上生产一级品零件的概率是0.9．试求在第一台机器上生产两个零件，在第二台机器生产三个零件，所有零件全是一级品的概率？
8、商店销售一批空调共10 台，其中有3台次品，但是已经售出两台。

试求从剩下的空调中，任取一台是正品的概率？
9、有两批产品：第一批20件，其中有5件特级品：第二批12件，其中有2件特级品，现从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第二批中抽取2件.试求所抽2件都是特级品的概率。

第二章 随机变量及其概率分布
1、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,,)(1)
a
P X k k N k k ==
=+ ，则
a =__________
1
N N
+ 2. 设随机变量X 的分布率为{}4
a P X k ==
，（1, 2, 3, 4k =），则常数a =__________.
3.随机变量2(,)X N μσ ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值将会 不变 . 5已知离散型随机变量X 的分布律为:(0)0.2,(1)0.3,P X P X ====
(2)0.3P X ==，(3)0.1,P X a ==+则a ＝ 0.1 ．
6、设随机变量X 的分布率为
求||1W X =-的分布律和分布函数．
第三章 两个随机变量及其联合分布
1. 设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从(0,1)N ，则
{}P X Y ≤=______________________.
2已知随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布1
(,)2
N μ，如果
1{1}2P X Y +≤=，则μ=1
2
．
已知01{}P XY ==，求（1）max(,)Z X Y =的分布律．（2）求1X 和2X 的联合分布
律；（3）问1X 和2X 是否独立？并说明理由。

4 设(,)X Y 的分布律为
②当X 与Y 独立时，求α和β的值；
③在第二问的基础上，X 与Y 分布律与分布函数；
5 设G 为由抛物线y x =2
和y x =所围成区域，二维随机变量()X Y ，在区域G 上服从均匀分布．试求： ①X Y 、的联合概率密度； ②求X Y 、的边缘概率密度；
③判定随机变量X 与Y 是否相互独立；
6、设(,)X Y 的概率密度为
,0,(,)0,.
y e x y f x y -⎧<<⎪
=⎨⎪⎩其他
求（1）边缘密度；（2）概率(1)P X Y +≤
7．设随机变量(,)X Y 的密度函数为
(34)
, 0,0() 0, x y ce x y f x -+⎧⎪⎨⎪⎩
>>=其它.
试求：（1）常数c ；（2）联合分布函数；（3）{01,02}.P X Y <≤<≤ 8设随机向量(, )X Y 的分布律为
第四章 数字特征
1、设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则2
{()}P X E X ==___________
2．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{1}{2},P X P X ===则
()E X =__________.
(3)设随机变量(1,4)X N ，则2()E X = 5 .
3 设随机变量,,X Y Z 相互独立，(3,0.5)X b ，(2)Y e ，记2W X Y =-，则
()E W =____________()D W =_______________.
4 设随机变量X 的期望()0E X ≥且21(1)22E X -=，11
(1)22
D X -=。

求()
E X .
5 已知随机变量相互独立且~(4),~(1)X Y ππ，令132Z X Y =+和22Z X Y =-，试求12ov(,)C Z Z ．
6设随机变量X 服从几何分布，其分布率为
1{}(1),1,2,k P X k p p k -==-= ，
其中01p <<是常数.求(), ()E X D X .
7、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别是1和4，而相关系数为0.5． 求()E X Y -及()D X Y -
第五章 大数定律和中心极限定理
1 若()0.01D X =，由切比雪夫不等式{|()|0.3}P X E X -<≥____________. 2设12,,n X X X 为相互独立且具有相同分布的随机变量序列，且
(),k E X μ=2
()0(1,2,,)k D X k n σ=>=
，2n k X P μ⎧⎫
-⎪⎪⎪≤⎬⎪⎪⎪⎩⎭
∑的近似值为 0.9772．
3、某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两。

则100个该型号螺丝钉重量超过10.2斤的概率近似为___________（答案用标准正态分布函数表示）
4.保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种概率。

若一年中某类投保者中每个人死亡的概率等于0.005，现有这类投保者1万人，试求在未来一年这些投保人中 死亡人数不超过70人的概率.（ 2.83=0.997 2.73=0.996ΦΦ（），（））
第十章 随机过程的基础知识
1. 若()cos(), (,)X t a t t ωΘ=+∈-∞+∞，其中a 和ω是常数，U(0,2)Θπ ，称
()X t 为随机相位正弦波，则()X t 的状态空间为________________.
2、设随机过程()cos ,X t A t t =-∞<<∞，其中A 是随机变量，并且它的分布律为
1
{},1,2,33
P A i i ===，则一维分布函数(0;)F x =_____________________
3、设,,)(+∞<<-∞+=t B At t X 式中B A ,是相互独立，且都服从正态),0(2
σN 分布的
随机变量，则此随机过程的均值函数'()X m t =________
4、设某电报局接收的电报数()N t 组成Poisson 流{(),0}N t t ≥，平均每小时接到3次电报，则一上午（8点到12点）没有接到电报的概率为______
5 随机过程 ()X t At B =+,(-,)t ∈∞+∞，其中,A B 独立且14(,)A N ，06(,)B U 。

求)(t X 的均值函数和自相关函数．
6试叙述Poisson 过程的数学定义，并求其均值函数和自协方差函数
7设()cos sin ,0X t A t B t t ωω=+≥，其中,A B 相互独立同服从2(0,)N σ分布,ω为实常
数,求（1）证明}),({+∞<<-∞t t Z 是一正态过程；（2）证明此过程是平稳过程
第十一章 马尔可夫过程
1、设},2,1,0,{ =n X n 是具有三个状态0,1,2的齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为
0.750.25
00.250.50.2500.750.25P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
,
已知01
(),0,1,23
P X i i ==
=, 则2{1}=P X =_______________ 3．在任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1
3
，晴天转雨天的概率为1
2
，任
一天晴或雨是互为逆事件. 以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，n X 表示第n 天的状态（0或1）（1）写出其状态空间；（2）求其1步转移概率矩阵；（3）又若今天是晴天，问后天是雨天的概率是多少？（4）讨论其遍历性，如果具有遍历性，求出极限分布；如果不具有遍历性，说明原因.。