2018届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第十单元 相似形 第33课时 相似形的应用(解析版)

第33课时 相似形的应用
(60分)
一、选择题(每题6分.共24分)
1、为了测量被池塘隔开的A .B 两点之间的距离.根据实际情况.作出如图33－1所示的图形.其中AB ⊥BE .EF ⊥BE .AF 交BE 于D .C 在BD 上、有四位同学分别测量出以下四组数据： ①BC .∠ACB ；②CD .∠ACB .∠ADB ；
③EF .DE .BD ；④DE .DC .BC .能根据所测数据.求出A .B 间距离的有
(C)
图33－1
A 、1组
B 、2组
C 、3组
D 、4组
【解析】 此题比较综合.要多方面考虑、
①因为知道∠ACB 和BC 的长.所以可利用∠ACB 的正切来求AB 的长； ②可利用∠ACB 和∠ADB 的正切求出AB ； ③因为△ABD ∽△FED .可利用FE AB ＝DE
DB
求出AB ； ④无法求出A .B 间距离、
故共有3组数据可以求出A .B 间距离、
2、如图33－2是小明设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P 处放一水平的平面镜.光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处.已知AB ⊥BD .CD ⊥BD .且测得AB ＝1.2 m.BP ＝1.8 m.PD ＝12 m.那么该古城墙的高度是
(B)
A 、6 m
B 、8 m
C 、18 m
D 、24 m
【解析】 由平面镜的入射角等于反射角. 易得∠APB ＝∠CPD
.
图33－2
又∵∠B ＝∠D ＝90°.∴△ABP ∽△CDP .
∴PB PD ＝AB CD .即1.812＝1.2CD
. 解得CD ＝8 m.
3、[2017·达州]如图33－3.以点O 为支点的杠杆.在A 端用竖直向上的拉力将重为G 的物体匀速拉起.当杠杆OA 水平时.拉力为F ；当杠杆被拉至OA 1时.拉力为F 1.过点B 1作B 1C ⊥OA .过点A 1作A 1D ⊥OA .垂足分别为点C .D
.
图33－3
①△OB 1C ∽△OA 1D ；②OA ·OC ＝OB ·OD ； ③OC ·G ＝OD ·F 1；④F ＝F 1. 上述4个结论中.正确结论有
(D) A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
4、[2016·聊城模拟]如图33－4.数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高.下午课外活动时她测得一根长为1 m 的竹竿的影长是0.8 m.但当她马上测量树高时.发现树的影子不全落在地面上.有一部分影子落在教学楼的墙壁上.她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m.又测得地面的影长为2.6 m.请你帮她算一下.树高是 (C) A 、3.25 m B 、4.25 m C 、4.45 m
D 、4.75 m
【解析】 设BD 是BC 在地面的影子.树高为x .
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得CB BD ＝1
0.8
.而CB ＝1.2.∴BD ＝
0.96.
图33－4
∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56.
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得x
3.56
＝
1
0.8
.解得x ＝4.45.∴树高为4.45 m.
二、填空题(每题6分.共24分)
5、[2016·新疆]如图33－5.李明打网球时.球恰好打过网.且落在离网4 m 的位置上.则网球拍击球的高度h 为
__1.4__m.
图33－5
【解析】 由题意得.DE ∥BC . ∴△ABC ∽△AED . ∴DE BC ＝AE AB
. 即0.8h ＝44＋3
. 解得h ＝1.4 m 、∴击球高度为1.4 m.
6、如图33－6.放映幻灯片时.通过光源.把幻灯片上的图形放大到屏幕上、若光源到幻灯片的距离为20 cm.到屏幕的距离为60 cm.且幻灯片中图形的高度为6 cm.则屏幕上图形的高度为__18__cm.
【解析】 根据相似三角形的性质.对应高的比等于相似比进行解答、
7、[2017·遵义]“今有邑.东西七里.南北九里.各开中门.出东门一十五里有木.问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》、意思是说：如图33－7.矩形城池ABCD .东边城墙AB 长9里.南边城墙AD 长7里.东门点E .南门点F 分别是AB .AD 中点.EG ⊥AB .FH ⊥AD .EG ＝15里.HG 经过A 点.则FH ＝__21
20
__里、
图33－6
图33－7
8、[2016·达州]如图33－8.将矩形ABCD 沿EF 折叠.使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上.点D 落在D ′处.C ′D ′交AE 于点M .若AB ＝6.BC ＝9.则AM 的长为__9
4__.
【解析】 ∵C ′是AB 的中点.AB ＝6. ∴AC ′＝BC ′＝3.
∵四边形DCFE 沿EF 翻折至D ′C ′FE . ∴CF ＝C ′F .∠C ＝∠MC ′F . ∴BC ＝BF ＋FC ＝BF ＋FC ′＝9. ∴FC ′＝9－BF .
在Rt △BC ′F 中.根据勾股定理.得BF 2
＋BC ′2
＝FC ′2
. 即32
＋BF 2
＝(9－BF )2
. 解得BF ＝4.∴FC ′＝5.
又∵∠BFC ′＋∠BC ′F ＝90°.∠AC ′M ＋∠BC ′F ＝90°. ∴∠BFC ′＝∠AC ′M .
∵∠A ＝∠B ＝90°.∴△FC ′B ∽△C ′MA . ∴
BF AC ′＝BC ′AM .即43＝3AM
. ∴AM ＝94.
三、解答题(共20分)
9、(10分)[2017·岳阳]如图33－9.矩形ABCD 为台球桌面、AD ＝260 cm.AB ＝130 cm.球目前在E 点位置.AE ＝60 cm.如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去.经过反弹后.球刚好弹到D 点的位
图33－8
置、
(1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长、
解：(1)由题意.得∠EFG ＝∠DFG .
∵∠EFG ＋∠BFE ＝90°.∠DFG ＋∠CFD ＝90°. ∴∠BFE ＝∠CFD .∵∠B ＝∠C ＝90°. ∴△BEF ∽△CDF ； (2)∵△BEF ∽△CDF .∴BE CD ＝
BF
CF
.
∴70130＝260－CF CF
.∴CF ＝169. 10、(10分)[2016·菏泽]如图33－10.M .N 为山两侧的两个村庄.为了两村交通方便.根据国家的惠民政策.政府决定打一直线涵洞.工程人员为计算工程量.必须计算M .N 两点之间的直线距离.选择测量点A .B .C .点B .C 分别在AM .AN 上.现测得AM ＝1 km.AN ＝1.8 km.AB ＝54 m.BC ＝45 m.AC ＝30 m.求M .N 两点之间的直线距离、 解：连结MN .
∵AC AM ＝301 000＝3100.AB AN ＝541 800＝3100
. ∴AC AM ＝AB AN
.
∵∠BAC ＝∠NAM .∴△BAC ∽△NAM .
∴BC MN ＝3100.∴45MN ＝3100
. ∴MN ＝1 500.
答：M .N 两点之间的直线距离为
1 500 m.
(20分)
11、(10分)[2016·邵阳]如图33－11.某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度.他们通过调整测量位置.使斜边DF 与地面保持平行.并使边
DE 与旗杆顶点A 在同一直线上.已知DE ＝0.5 m.EF ＝0.25 m.目测点D 到地面的距离DG
＝1.5 m.到旗杆的水平距离DC ＝20 m.求旗杆的高度、
图33－10
第10题答图
图33－11
【解析】 根据题意可得△DEF ∽△DCA .进而利用相似三角形的性质得出AC 的长.即可得出答案、
解：由题意可得△DEF ∽△DCA . 则DE DC ＝EF CA
.
∵DE ＝0.5 m.EF ＝0.25 m.
DG ＝1.5 m.DC ＝20 m.
∴0.520＝0.25AC .解得AC ＝10. 故AB ＝AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5(m). 答：旗杆的高度为11.5 m.
12、(10分)如图33－12.四边形ABCD 中.AC 平分∠DAB .∠ADC ＝∠ACB ＝90°.E 为AB 的中点、 (1)求证：AC 2
＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；
(3)若AD ＝4.AB ＝6.求AC AF
的值、 解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB . ∴∠DAC ＝∠CAB . 又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°. ∴△ADC ∽△ACB . ∴AD AC ＝AC AB
. ∴AC 2
＝AB ·AD ；
(2)证明：∵在Rt △ACB 中.E 为AB 的中点. ∴CE ＝1
2AB ＝AE .
∴∠EAC ＝∠ECA
.
图33－12
又∵∠CAD ＝∠CAB . ∴∠DAC ＝∠ECA . ∴CE ∥AD ； (3)∵CE ∥AD .
∴∠DAF ＝∠ECF .∠ADF ＝∠CEF . ∴△AFD ∽△CFE . ∴AD CE ＝AF CF
. ∵CE ＝1
2AB .AB ＝6.
∴CE ＝1
2×6＝3.
又∵AD ＝4.由AD CE ＝
AF CF 得43＝AF
CF
.
∴AF AC ＝47.∴AC AF ＝74
.
(12分)
13、(12分)[2016·德州] (1)问题
如图33－13①.在四边形ABCD 中.点P 为AB 上一点.∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°. 求证：AD ·BC ＝AP ·BP ； (2)探究
如图②.在四边形ABCD 中.点P 为AB 上一点.当∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝θ时.上述结论是否依然成立？说明理由； (3)应用
请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图③.在△ABD 中.AB ＝6.AD ＝BD ＝5.点P 以每秒1个单位长度的速度.由点A 出发.沿边AB 向点B 运动.且满足∠DPC ＝∠A .设点P 的运动时间为t (s).当以D 为圆心.以DC 为半径的圆与AB 相切.求t 的值、
图33－13
解：(1)证明：∵∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°. ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°. ∠BPC ＋∠APD ＝90°. ∴∠ADP ＝∠BPC . ∴△ADP ∽△BPC . ∴AD BP ＝AP BC
.
∴AD ·BC ＝AP ·BP ；
(2)结论AD ·BC ＝AP ·BP 仍成立、 理由：∵∠BPD ＝∠DPC ＋∠BPC . 又∵∠BPD ＝∠A ＋∠ADP . ∴∠DPC ＋∠BPC ＝∠A ＋∠ADP . ∵∠DPC ＝∠A ＝θ. ∴∠BPC ＝∠ADP . 又∵∠A ＝∠B ＝θ. ∴△ADP ∽△BPC . ∴AD BP ＝AP BC
.
∴AD ·BC ＝AP ·BP ；
(3)如答图.过点D 作DE ⊥AB 于点E . ∵AD ＝BD ＝5.AB ＝6.
∴AE ＝BE ＝3.由勾股定理得DE ＝4.
∵以D 为圆心.以DC 为半径的圆与AB 相切、
第13题答图
∴DC ＝DE ＝4. ∴BC ＝5－4＝1.
又∵AD＝BD.
∴∠A＝∠B.
∵∠DPC＝∠A.
∴∠DPC＝∠A＝∠B.
由(1).(2)的经验可知AD·BC＝AP·BP. 又AP＝t.BP＝6－t.
∴t(6－t)＝5×1.
解得t1＝1.t2＝5.
∴t的值为1 s或5 s.。