材料力学第七章课后题答案 弯曲变形

3．确定积分常数
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
1 Fa F 3Fa F Fa 2 [ (3a ) (3a ) 2 ( 2 a ) (a ) 2 ] EI 2 2 2 2 2 EI (d)解：1.求支反力 θB
3 q 5 q 1 7qa 3 5 187 qa [ x x xa x] EI 72 120a 120a 720 由此得 AC 段与 CB 段的挠曲轴方程分别为
w
1 7qa 3 q 5 187qa 3 ( x x x) EI 72 120a 720 1 7 qa 3 q 5 q 187qa 3 w2 [ x x ( x a )5 x] EI 72 120a 120a 720 w1
4
载荷。 由剪力、弯矩图可知，截面 B－的剪力与弯矩分别为
FS, B- 6 EIa M B 6 EIal
在梁端切取微段 B－B，并研究其平衡，得作用在截面 B 的集中力与集中力偶矩分别为
F 6 EIa （）
M e 6EIal （）
7-9
的挠度。
图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数。试用奇异函数法计算截面 B 的转角与截面 C
的拐点位于离左端 l/3 处，则力偶矩 M1 与 M2 应保持何种关系。
题 7-6 图 解：梁的弯矩图如图 7-6 所示。 依题意，拐点或 M=0 的截面，应在 x l / 3 处，即要求
M 2 : M1
由此得
2l l : 3 3
M 2 2M1
图 7-6
7-7
在图示悬臂梁上， 载荷 F 可沿梁轴移动。 如欲使载荷在移动时始终保持相同的高
题 7-9 图 (a)解：1.求支反力 由梁的平衡方程 M B 0 和 Fy 0 ，得
Me M ()， FBy e () 2a 2a 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分 FAy
自 A 向右取坐标 x ，由题图可见，弯矩的通用方程为
M
挠曲轴的通用近似微分方程为
Me x Me x a 2a
由梁的平衡方程
()
F
y
0 和 M A 0 ，得
FAy F ( )， 1 M A Fa () 2
2．建立挠曲轴近似微分方程并积分 自 A 向右取坐标 x ，由题图可见，弯矩的通用方程为
Fa 3Fa 0 Fx x a F x 2a 2 2 挠曲轴的通用近似微分方程为 M
w ax 3 式中，a 为已知常数。试画梁的剪力与弯矩图，并确定梁所承受的载荷。
题 7-8 图 解：1. 内力分析
d2w M EI 2 6 EIax dx
FS
梁的剪力、弯矩图如图 7-8 所示。
dM 6EIa dx
图 7-8 2. 外力分析
q
d2 M 0 dx 2
在区间 A＋B－内，由上式与剪力、弯矩图的连续性可知，在该区间内既无分布载荷，也无集中

qa 3 3EI 7qa 4 wC 24 EI
C

7-3
大致形状。
图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的
题 7-3 图 解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图 7-3。
2
图 7-3
7-6
图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为 M1 与 M2 的力偶。如欲使挠曲轴
5
在 x 0 处， w 0 在 x 2a 处， w 0 将条件(c)代入式(b)，得
(c) (d)
D
将条件(d)代入式(b)，得
C
M ea 12
4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
M a 1 Me 3 Me 2 [ x x a e x] EI 12a 2 12 由此得 AC 段与 CB 段的挠曲轴方程分别为 1 M e 3 M ea w1 ( x x) EI 12a 12 M M a 1 M w2 [ e x 3 e ( x a ) 2 e x ] EI 12a 2 12 w
求b?时可以书中附录e的7号梁为基础以x代替a以qxdx代替f写出b端截面的微转角xleixqxlxbd6d22???a11式中qx为截面x处的载荷集度其值为xlqxq0?b将式b代入式a后两边积分即得截面b的转角为45d630022220?eilqxeilxlxqlb?????求wc可以教材附录e中8号梁为基础所求截面c的挠度为表中所列的一半即76852140????eilqwc712图示外伸梁两端承受载荷f作用弯曲刚度ei为常数
w1
4

3qa 3 x] 16
1 qa 3 q 4 3qa 3 ( x x x) EI 8 24 16
3 1 qa 3 q 4 q 4 3qa w2 [ x x ( x a ) x] EI 8 24 24 16
5．计算 wC 和 θB 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
度，则此梁应预弯成何种形状。设弯曲刚度 EI 为常数。
3
题 7-7 图 解：在位于截面 x 的载荷 F 作用下，该截面的挠度为
w( x )
因此，如果将梁预弯成
Fx 3 3EI

Fl 3 3EI 的形状，则当载荷 F 沿梁轴移动时，载荷始终保持同样高度。 w( x )
7-8
图示悬臂梁，弯曲刚度 EI 为常数。在外力作用下，梁的挠曲轴方程为
EI
将其相继积分两次，得
d 2 w Fa 3Fa Fx xa 2 2 dx 2
0
F x 2a
dw Fa F 3Fa F 2 x x2 xa x 2a C dx 2 2 2 2 Fa 2 F 3 3Fa F 2 3 EIw x x xa x 2a Cx D 4 6 4 6 EI
0
EI
将其相继积分两次，得
d2w M e x Me x a dx 2 2 a
0
dw M e 2 x Me x a C dx 4 a M M 2 EIw e x 3 e x a Cx D 12a 2 EI
3．确定积分常数 梁的位移边界条件为：
(a) (b)
5qa 4 ( ) 48EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式（a） ，得截面 B 的转角为 wC
1 3qa q q 3qa 3 7qa 3 [ ( 2a ) 2 ( 2a ) 3 ( 2a a ) 3 ] EI 8 6 6 16 48EI (c)解：1.求支反力 θB
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w 2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
wC 0
将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为
2 M a M a 1 4M e a ( M ea e ) e EI 4a 12 12 EI
θB
第七章
弯曲变形
7-2 图示外伸梁 AC，承受均布载荷 q 作用。已知弯曲刚度 EI 为常数，试计算横截面
C 的挠度与转角， 。
题 7-2 图 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座 A 与 B 的支反力分别为
FAy
AB 段（0≤x1≤a） ：
qa 3qa , FBy 2 2
d 2 w1 qa x1 2 2 EI dx1
由梁的平衡方程 M B 0 和 Fy 0 ，得
()
7 11 qa ()， FBy qa () 12 12 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分 自 A 向右取坐标 x ，由题图可见，弯矩的通用方程为 7qa q q 3 M x x3 xa 12 6a 6a 挠曲轴的通用近似微分方程为 FAy
q 4 x2 C 2 x 2 D2 24 EI
(d)
在 x1 0 处，w1 0 在 x1 a 处，w1 0
连续条件为
(1) (2)
在 x1 x 2 a 处，w1 w2
(3)
1
dw dw 在 x1 x 2 a 处， 1 2 dx1 dx 2
由式（b） 、条件（1）与（2） ，得
w1
2
(c) (d)

F 3 x 2a ] 6
1 Fa 2 F 3 ( x x ) EI 4 6 1 Fa F 3Fa w2 [ x 2 x 3 ( x a)2 ] EI 4 6 4 1 Fa F 3Fa F w3 [ x 2 x 3 ( x a ) 2 ( x 2a ) 3 ] EI 4 6 4 6
EI
将其相继积分两次，得
q 3 q d 2 w 7 qa x x xa 2 12 6a 6a dx
3
q 4 q dw 7qa 2 4 x x xa C dx 24 24a 24a 7qa 3 q 5 q 5 EIw x x x a Cx D 72 120a 120a EI
dw1 qa 2 x1 C1 dx1 4 EI
(a)
w1
BC 段（0≤x2≤a） ：
qa 3 x1 C1 x1 D1 12 EI
(b)
d 2 w2 q 2 x2 2 2 EI dx 2
dw2 q 3 x2 C2 dx 2 6EI
(c)
w2
2. 确定积分常数 梁的位移边界条件为
(a) (b)
8
3．确定积分常数 梁的位移边界条件为： 在 x 0 处， w 0 在 x 2a 处， w 0 将条件(c)代入式(b)，得 (c) (d)
D0
将条件(d)代入式(b)，得
C
187 3 qa 720
4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
(b)解：1.求支反力
()
由梁的平衡方程 M B 0 和 Fy 0 ，得
3 1 FAy qa ()， FBy qa () 4 4 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分 自 A 向右取坐标 x ，由题图可见，弯矩的通用方程为 3qa q q 2 M x x2 x a 4 2 2 挠曲轴的通用近似微分方程为
(a) (b)
6
梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 在x 2a处， w0 将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得
D 0，C 3qa 3 16
(c) (d)
4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为
1 qa 3 q 4 q [ x x xa EI 8 24 24 由此得 AC 段与 CB 段的挠曲轴方程分别为 w
EI
将其相继积分两次，得
q q d 2 w 3qa x x2 x a 4 2 2 dx 2
2
dw 3qa 2 q 3 q 3 x x xa C dx 8 6 6 qa 3 q 4 q 4 EIw x x x a Cx D 8 24 24 EI
3．确定积分常数