第10章概率专题3 独立事件的概率-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)常考题型专题练习

相互独立事件的概率
【知识总结】
1、A∩B(或AB)：即事件A与事件B的交事件(或积事件)，指A发生且B发生。

2、对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件．
3、相互独立事件：如果P(A∩B)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

4、如果事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B，事件B与事件A，事件A与事件B都是相互独立事件。

【巩固练习】
1．下列事件A,B是独立事件的是()
A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”
B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
【答案】A
【解析】对于A选项，,A B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，,A B是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故,A B不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.
2、一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有1人
解出的概率为（）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】根据题意，只有一人解出的试题的事件
包含A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，三个互斥的事件，而三人解出答案是相互独立的，
则P（只有一人解出试题）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，
故选：B．
3、某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是则在这段时间内吊灯能照明的概率是（）
A ．B．C．D．
【答案】C
【解析】这段时间内吊灯不能照明的概率，因此这段时间内吊灯能照明的概率
4、若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为
【答案】0.686
【解析】系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的
情况，
A正常工作的概率为：0.7；
B，C至少有一个正常工作的情况的概率为1减去B，C都不正常工作的情况的概率，即：B，C至少有一个正常工作的概率为：1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.98，
所以：这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；
故答案为：0.686；
5、甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（）
A．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
5
【答案】A
则甲、乙将贺年卡送给同一个人的概率为111
442
+=.故选：C.
6．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）[来源学_科_网Z_X_X_K]
A．1
3
B．
2
9
C．
4
9
D．
8
27
【答案】A
【解析】若按照顺时针跳的概率为p ，则按逆时针方向跳的概率为2p ，可得
6、某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）
A ．0.48
B ．0.4
C ．0.32
D ．0.24
答案：D
解析： 某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．
一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为：
()0.80.610.50.24p =⨯⨯=﹣．
7、设某批电子手表的正品率为23，次品率为1
3，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为______．
【解析】第3次首次测到次品，所以第1次和第2次测到的都是正品，第3次测到的是次
8.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1
小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23
；两人滑雪时间都不会超过3小时．
求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
【解析】两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
9、从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红
灯的概率分别为12，13，14
. (1)求一辆车从甲地到乙地遇到红灯仅遇到2个红灯的概率；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】
【解析】(1)
(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率
为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)
＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)
＝14×1124＋1124×14＝1148
. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148
. 10、现有甲、乙、丙三名学生参加某大学的自主招生考试，考试分两轮，第一轮笔试，第二轮面试，只有第一轮笔试通过才有资格进入第二轮面试，面试通过就可以在高考录取中获得该校的优惠加分，两轮考试相互独立.根据以往多次的模拟测试，甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别为0.4，0.8，0.5，能通过面试的概率分别为0.8，0.4，0.64.根据这些数据我们可以预测：
甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生通过第一轮笔试的概率；
【答案】0.6
【解析】记事件：甲通过第一轮笔试，事件：乙通过第一轮笔试，
事件：丙通过第一轮笔试，事件：至少有两名学生通过第一轮笔试，
则，，.
，
，
，
所以至少有两名学生通过第一轮笔试的概率为。

11、某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会.已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为，第二关每次闯过的概率均为.假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响.
求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；
【答案】
【解析】设事件为“甲恰好闯关次才闯关成功的概率”，则有
，
12、某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．
（l）求m与n的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意列出方程组，得：
，解得m＝，n＝．
（2）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为X i，
获得样本等候课学分分数不低于4分为事件A，
则P（X4）＝，
P（X5）＝＝，
P（X6）＝＝，
P（A）＝P（X4）+P（X5）+P（X6）＝＝．。