2020年高考数学(文)母题题源解密23 不等式选讲(全国Ⅱ专版解析版)
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专题23 不等式选讲
【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数2
()|21|f x x a x a =-+-+. (1)当2a =时,求不等式()4f x 的解集; (2)若()4f x ≥,求a 的取值范围. 【答案】(1)32
x x ⎧
≤
⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭;(2)(][),13,-∞-+∞.
【分析】(1)分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果; (2)利用绝对值三角不等式可得到()()2
1f x a ≥-,由此构造不等式求得结果. 【解析】(1)当2a =时,()43f x x x =-+-.
当3x ≤时,
()43724f x x x x =-+-=-≥,解得:3
2
x ≤;
当34x <<时,()4314f x x x =-+-=≥,无解;
当4x ≥时,
()43274f x x x x =-+-=-≥,解得:112
x ≥
; 综上所述:()4f x ≥的解集为32x x ⎧
≤⎨⎩
或112x ⎫≥⎬⎭.
(2)()(
)()()2
2
2
2
2121211f x x a x a x a
x a a
a a =-+-+≥---+=-+-=-,
当且仅当221a x a -≤≤时取等号,
()2
14a ∴-≥,解得:1a ≤-或3a ≥,
a ∴的取值范围为(][),1
3,-∞-+∞.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题,属于常考题型. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- (1)当1a =时,求不等式()0f x <的解集; (2)若(,1)x ∈-∞时,()0f x <,求a 的取值范围. 【答案】(1)(,1)-∞;(2)[1,)+∞
【解析】(1)当a =1时,()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.
当1x <时,2
()2(1)0f x x =--<;当1x ≥时,()0f x ≥.
所以,不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. (2)因为()=0f a ,所以1a ≥.
当1a ≥,(,1)x ∈-∞时,()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----. 所以,a 的取值范围是[1,)+∞.
【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式,熟记分类讨论的方法求解即可,属于常考题型. 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--. (1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围.
【答案】(1){|23}x x -≤≤;(2)(,6][2,)-∞-+∞.
【解析】(1)当1a =时,24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤. (2)()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥.
而|||2||2|x a x a ++-≥+,且当2x =时等号成立. 故()1f x ≤等价于|2|4a +≥. 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥, 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞.
【命题意图】
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1)a b a b +≤+. (2) a b a c c b -≤-+-.
(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.
2.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
3
.主要考查逻辑推理能力、运算求解能力,考查分类讨论、数形结合思想方法,考查逻辑推理、数学运算
等核心素养. 【命题规律】
从近三年高考情况来看,此类知识点以解答题的形式出现,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】
(一)解绝对值不等式的常用方法有:
(1)公式法:对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x ),利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式;
(2)平方法:对于形如|f (x )|≥|g (x )|,利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负,即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x );
(3)零点分段法:对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ,|f (x )|±|g (x )|≤a ,利用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解;
(4)几何法:对于形如|x±a|±|x±b|≤c ,|x±a|±|x±b|≥c ,利用绝对值三角不等式的性质求解,即 ①定理1:如果a ,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab ≥0时,等号成立.
②定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|,当且仅当(a−b )(b−c )≥0时,等号成立. ③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.
(5)图象法:对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ,在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. (二)含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法:
(1)分享参数法
运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.
求最值的思路:利用基本不等式和不等式的相关性质解决;将函数解析式用分段函数形式表示,作出函数图象,求得最值;利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.
(2)更换主元法
不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.
(3)数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维和抽象思维各自的优势,可直接解决问题. (三)不等式的证明
(1)比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本步骤是:作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键,一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式,当差式是二次三项式时,有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.
(2)基本不等式:如果a ,b>0,那么
2
a b
+≥,当且仅当a=b 时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
(3)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即12n
n a a a n
++
+≥当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成
立.
1.(2020·山西省高三)已知函数()|1||2|f x x x a =++-. (1)若1a =,解不等式()4f x <;
(2)对任意的实数m ,若总存在实数x ,使得2
24()m m f x -+=,求实数a 的取值范围.
【答案】(1)35(,)22
-(2)[2,1]-
【分析】(1)分类讨论求解绝对值不等式,即可求得结果;
(2)求得()f x 的值域以及2
24y m m =-+的值域,根据二次函数的值域是()f x 值域的子集,求参数的
范围即可.
【解析】(1)当1a =时,()4|1||2|4f x x x <⇒++-<,
化为123x x <-⎧⎨
>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2
214
x x >⎧⎨
-<⎩ 解得312x -
<<-或12x -≤≤或5
22x <<, 3522
x ∴-<<.
即不等式()4f x <的解集为35
(,)22
-.
(2)根据题意,得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.
2224(1)33m m m -+=-+≥
又由于()1221f x x x a a =++-≥+,
()f x ∴的值域为[|21|,)a ++∞
故|21|3a +≤,21a ∴-≤≤. 即实数a 的取值范围为[2,1]-.
【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式,以及由绝对值三角不等式求解绝对值函数的最小值,属综合性基础题.
2.(2020·四川省泸县第二中学高三二模)已知函数()211f x x x =-++. (1)求不等式()2f x x ≤+的解集;
(2)若函数()y f x =的最小值记为m ,设0a >,0b >,且有a b m +=.求1212
a b +++的最小值. 【答案】(1)[]0,1(2
【分析】(1)作出函数图象,数形结合即可得到答案;(2)32
a b +=
⇒9
122a b +++=,
()()1121
21212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
,在乘开,利用基本不等式即可. 【解析】(1)因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=-++=-+-≤≤⎨⎪
⎪
>⎪⎩
从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.
(2)由图可知函数()y f x =的最小值为32,即32
m =. 所以32
a b +=,从而9
122a b +++=,
从而
()()1121
21212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
()
2122263391299a b a b ⎡⎡⎤+⎛⎫++=
++≥+=⎢⎢⎥ ⎪++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣
当且仅当
()21212a b a b ++=++,即1114,22
a b -==
时,等号成立,
∴
1212
a b +++ 【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题,是一道中档题.
3.(2020·深圳市宝安中学(集团)高三月考)已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .
(1)求a 的值.
(2)若p ,q ,r 为正实数,且p q r a ++=,求证:2
2
2
3p q r ++≥.
【答案】(1)3;(2)证明见解析
【分析】(1)根据绝对值的三角不等式求解即可. (2)根据三元的柯西不等式证明即可.
【解析】(1)根据绝对值的三角不等式有()()12123x x x x ++-≥+--=. 当且仅当12x -≤≤ 时取等号.故3a =.
(2)证明:由(1)有3p q r ++=.利用三元的柯西不等式有
()()()2
2222222221119p q r p q r p q r ++=++++≥++=.
故
2223p q r ++≥
【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式与三元的柯西不等式运用,属于基础题. 4.(2020·江西省高三)已知函数()221f x x x =-+-. (1)求不等式()6f x <的解集;
(2)若函数()f x 的最小值为m ,且实数a ,b 满足222a b m +=,求34a b +的最大值. 【答案】(1)()1,3-.(2
)
【分析】(1)首先将()f x 写成分段函数的形式,然后解出即可; (2)首先求出()min 13
22
f x f ⎛⎫==
⎪⎝⎭,然后利用柯西不等式求解即可. 【解析】(1)()133,212211,2233,2x x f x x x x x x x ⎧
-+≤⎪⎪
⎪
=-+-=+<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩,
()6f x <等价于12336x x ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩或122
16
x x ⎧<<⎪⎨⎪+<⎩或2
336x x ≥⎧⎨-<⎩, 解得112x -<≤
或1
22
x <<或23x ≤<. 故不等式()6f x <的解集为()1,3-. (2)由(1)知()f x 在1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增,
所以()min 13
22
f x f ⎛⎫==
⎪⎝⎭, 则223a b +=,故
34a b +≤
=
(
当且仅当a =
b =), 即34a b +
的最大值为
【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值,考查了分类讨论的思想,属于基础题.
5.(2020·山西省高三月考)已知函数()|1|2|2|)(R f x x x x =-+-∈,记()f x 得最小值为m . (1)解不等式()5f x ≤;
(2)若2a b m +=,求22a b +的最小值. 【答案】(1)100,
3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
;(2)15. 【分析】(1)利用零点分段法,分1x <,12x ≤≤,2x >三种情况去绝对值,解不等式;
(2)利用含绝对值三角不等式求得1m =,即21a b +=,方法一,利用柯西不等式
2222(2)(12)()a b a b +≤++,求得22a b +的最小值,方法二,根据12a b =-,代入22a b + ,转化为关
于b 的二次函数求最值.
【解析】(1)53,1()3,1235,2x x f x x x x x -<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
,
原不等式可等价于5351x x -≤⎧⎨<⎩,或35
12
x x -≤⎧⎨≤≤⎩,或3552x x -≤⎧⎨
>⎩ 解得:1003
x ≤≤
, 所以原不等式的解集为100,
3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(2)由(1)可知()122122f x x x x x x =-+-=-+-+-,
()()122121x x x x ≥---+-=+-≥
当且仅当2x =时等号成立,所以1m = 即21a b +=
方法一 由柯西不等式得2222
(2)(12)()a b a b +≤++
2215a b ∴+≥, 当且仅当2
25
a b ==时取等号
方法二 由题意得12a b =-
222222211
(12)5415()555
a b b b b b b +=-+=-+=-+≥
当且仅当12
,55
a b ==时等号成立.
【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法,以及含绝对值三角不等式的应用,柯西不等式求最值,意在考查转化与化归的思想,计算能力属于基础题型. 6.(2020·吉林省高三)已知函数()12f x x x =-+
(1)在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象,并解不等式()2f x ≥; (2)若不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立,求证:6
5k k
+
≥.
【答案】(1)图象见解析,1
3
x x ⎧≤-⎨⎩
或}1x ≥;(2)证明见解析.
【分析】(1)去掉绝对值号,根据一次函数的图象与性质,即可得到函数()f x 的图象,结合图象,即可求解不等式的解集;
(2)不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立,只需()min 51k f x x -≤⎡+-⎤⎣⎦,求得3k ≥,然后利用作差法,即可证得6
5k k
+
≥. 【解析】(1)由题意,函数()31,1121,0131,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪
=-+=+<<⎨⎪-+≤⎩
,
在直角坐标系中作出函数()f x 的图象,如图所示:
当13
x =-时,可得()2f x =,当1x =时,可得()2f x =,
所以根据图象可得解不等式()2f x ≥的解集为13
x x ⎧≤-⎨⎩
或}1x ≥.
(2)由()12222222f x x x x x x +-=-+≥--=,
当且仅当()()2220x x -≤,即01x ≤≤时取等号,所以()1f x x +-的最小值为2, 由不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立, 所以只需()min 512k f x x -≤⎡+-⎤=⎣⎦,可得3k ≥,
又由()()22365650k k k k k k k k
---++-==≥,所以65k k +≥.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题,着重考查转化思想和数形结合思想的应用,属于中档试题.
7.(2020·山西省高三)已知函数()12f x x x a =++-. (1)若1a =,解不等式()4f x <;
(2)对任意的实数m ,若总存在实数x ,使得()2
24m m f x -+=,求实数a 的取值范围.
【答案】(1)35,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭(2)[]2,1- 【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,最后求并集得结果;
(2)先根据绝对值三角不等式得()f x 值域,再根据二次函数性质得值域,最后根据两个值域关系列不等式,解得结果.
【解析】(1)当1a =时,()4124f x x x <⇒++-<,
化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214
x x >⎧⎨-<⎩, 解得312x -
<<-或12x -≤≤或522x <<, ∴3522x -<<.即不等式()4f x <的解集为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
. (2)根据题意,得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.
()2224133m m m -+=-+≥,
又由于()1221f x x x a a =++-≥+,∴()f x 的值域为)21,a ⎡++∞⎣ 故213a +≤,∴21a -≤≤.即实数a 的取值范围为[]2,1-
【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题,考查综合分析求解能力,属中档题.
8.(2020·山西省太原五中高三月考)已知函数()1211f x x x =-+++
(1)求不等式()8f x <的解集;
(2)若x R ∀∈,函数()2log f x a ≥恒成立,求实数a 的取值范围.
【答案】(1)8
,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
;(2)(]0,8. 【分析】由题意可得()32141131x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪-≤-⎩
,然后分段解不等式可得答案,
(2) x R ∀∈,函数()2log f x a ≥恒成立,则()2min log f x a ≥,分段求出函数()f x 的最小值,然后解出答案.
【解析】由函数()321121141131x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=-+++=+-<<⎨⎪-≤-⎩
(1)当1x ≥时,()8f x <,即328x +<,得2x <,所以12x ≤<.
当11x -<<时,()8f x <,即48x +<,得4x <,所以11x -<<.
当1x ≤-时,()8f x <,即38x -<,得83
x >-,所以813x -<≤-
所以不等式()8f x <的解集为8,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
(2) 若x R ∀∈,函数()2log f x a ≥恒成立,则()2min log f x a ≥ 由()32141131x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪-≤-⎩
,
当1x ≥时,()325f x x =+≥,
当11x -<<时,()43f x x =+>,
当1x ≤-时,()33f x x =-≥
所以()min 3f x =,则()2min 3log f x a =≥,可得08a <≤
所以x R ∀∈,函数()2log f x a ≥恒成立,则实数a 的取值范围为(]0,8
【点睛】本题考查解含绝对值的不等式,不等式恒成立求参数的范围,含绝对值的不等式关键是利用定义打开绝对值,属于中档题.
9.(2020·全国高三)
设函数()|2|f x x x =+-+,集合M 为不等式()0f x <的解集. (1)求集合M ;
(2)当m ,n M ∈
时,证明:3mn n ++.
【答案】(1
){|x x <
x >(2)证明见解析;
【分析】(1)对x 分三类讨论去掉绝对值,解得结果再相并可得结果;
(2)两边平方再作差比较可证不等式成立.
【解析】(1
)当x <
((20x x -++++<,
解得x <
当3x <
-
((20x x ++++
<, 解得x <
当3x -时,原不等式化为((20x x +-++<,
解得x >
所以{|M x x =<x >
.
(2)欲证|3||mn m n +>+成立,只需证22(3)||)mn m n +>+成立.
因为222222(3)|)339mn m n m n m n +-+=--+.
()()2233m n =--.
又由m ,n M ∈,得23m >,23n >.
所以22(3)|)0mn m n +-+>,即22(3)||)mn m n +>+成立.
所以|3|||mn m n +>+成立.
【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式,考查了比较法证明不等式,平方后再作差是解题关键,属于中档题.
10.(2020·山西省高三)已知不等式23x x -<与不等式()2
0,x mx n m n R -+<∈的解集相同. (1)求m n -;
(2)若(),,0,1a b c ∈,且ab bc ac m n ++=-,求222a b c ++的最小值.
【答案】(1)1;(2)1.
【分析】(1)解不等式|23|x x -<得出20(,)x mx n m n R -+<∈的解集,从而求得m ,n ;
(2)根据题意,利用基本不等式求得222a b c ++的最小值.
【解析】(1)当0x ≤时,不等式解集为空集;
当0x >时,2323x x x x x -<⇔-<-<,
即13x <<,
所以1,3是方程20x mx n -+=的两根,
所以10,930.m n m n -+=⎧⎨-+=⎩
解得4,3.
m n =⎧⎨=⎩所以1m n -=.
(2)由(1)可知1ab bc ac ++=, 因为222a b ab +≥,22
2
b c bc +≥,222a c ac +≥, 所以222222
222
222a b b c a c a b c +++++=++ 1ab bc ac ≥++=
(当且仅当a b c === 所以222a b c ++的最小值为1.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,基本不等式的应用,属于中档题.
11.(2020·重庆高三)已知函数f (x )=|2x ﹣1|﹣3|x +1|,设f (x )的最大值为M .
(1)求M ;
(2)若正数a ,b 满足3311a b +=Mab ,证明:a 4b +ab 443
≥. 【答案】(1)M =3(2)证明见解析;
【分析】(1)由f (x )=|2x ﹣1|﹣3|x +1|=|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|,结合绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义,可得所求最大值;(2)由(1)可得
3311a b +=3ab ,a 4b +ab 4=ab (a 3+b 3)13=(3311a b +)(a 3+b 3),再由基本不等式即可得证.
【解析】(1)函数f (x )=|2x ﹣1|﹣3|x +1|
=|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|≤|2x ﹣1﹣2x ﹣2|﹣|﹣1+1|=3,
当x =﹣1时,f (x )取得最大值3,即M =3;
(2)证明:正数a ,b 满足3311a b
+=3ab , 故a 4b +ab 4=ab (a 3+b 3)13=(3311a b +)(a 3+b 3)13=(1+13333a b b a
++)
13≥()43=,当且仅当a =b = 故a 4b +ab 443
≥.
【点睛】此题考查了绝对值不等式,利用基本不等式证明不等式,属于中档题.
12.(2020·福建省高三)已知函数()1f x x a x =-+-.
(1)当0a =时,求不等式()1f x ≤的解集A .
(2)设()32
f x x ≤-的解集为B ,若A B ⊆,求这数a 的值. 【答案】(1){|01}A x x =≤≤(2)
12 【分析】(1)将0a =代入,则|||1|1x x +-,再利用绝对值不等式的性质即可得解;
(2)问题等价于1122
x a --在[0x ∈,1]上恒成立,由此建立关于a 的不等式组,解出即可. 【解析】(1)当0a =时,()|||1|f x x x =+-,即解不等式|||1|1x x +-,
由绝对值不等式知,|||1||(1)|1x x x x +---=,当且仅当(1)0x x -时取等号,
因此()1f x 的解集{|01}A x x =;
(2)由A B ⊆,即[0x ∈,1],不等式3()||2
f x x -恒成立, 即3||12x a x
x -+--,整理得1||2x a -, 故1122
x a --在[0x ∈,1]上恒成立, 则1212a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩在[0x ∈,1]上恒成立,得1212a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
, 故12a =. 【点睛】本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想等,属于中档题.
13.(2020·福建省高三)已知函数()12f x x x =-+-.
(1)求不等式()3f x <的解集I ; (2)当a ,b ,c I ∈时,求证:1
1191
1
11114333a b b c c a ++≤+++---.
【答案】(1){}
03I x x =<<;(2)见解析.
【分析】(1)采用分类讨论的方法,求出各段的范围,然后取并集,可得结果.
(2
)根据不等式2
++≥≤a b a b ,化简式子,可证明该结果. 【解析】(1)当1x ≤时,原不等式化简为323-<x ,即01x <≤;
当12x <≤时,原不等式化简为13<,恒成立,即12x <≤;
当2x >时,原不等式化简为233x -<,即23x <<. 综上,原不等式的解集{}03I x x =<<.
(2)当a ,b ,c I ∈时,a ,b ,c ,3a -,3b -,3c -均为正数, 令1
11111111333=+++++---T a b b c c a
则
≤T ()()()33394444
+-+-+-≤++=a b b c c a T . 当且仅当32===
a b c 时,取等号 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用,熟练使用分类讨论的方法(或零点分段法),同时善于观察,识记基本不等式的使用条件:一正,二定,三相等,属中档题.
14.(2020·山西省高三)
已知函数()2f x x =
. (1)求不等式()1f x >的解集;
(2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭
,求149a b c ++的最小值. 【答案】(1)22,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭;(2)1963
. 【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数,再求解即可.
(2)代入可得()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭,再根据柯西不等式求最小值即可. 【解析】(1)化简得321x x -->
①当0x ≤时,()()323f x x x x =---=+,
由()1f x >即31x +>,解得2x >-,又0x ≤,所以20x -<≤;
②当03x <<时,()33f x x =-,
由()1f x >,即231x ->,解得23x <
,又02x <<,所以203x <<; ③当3x ≥时,()3f x x =--,
不满足()1f x >,此时不等式无解;
综上,不等式()1f x >的解集为22,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
. (2)249233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭
, 所以()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭
∵,,0a b c >,∴由柯西不等式:
上式
(
(
22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢
⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦
(
(
2
13⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314
a b c ===
时,等号成立. 所以149a b c ++的最小值为1963. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题,属于中档题.
15.(2020·山西省太原五中高三月考)已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>.
(1)当1a b ==时,解不等式()2f x x <+;
(2)若()f x 的值域为[)3,+∞,证明:()
224281a b b a b +++≥+. 【答案】(1){}
02x x <<;(2)详见解析.
【分析】(1)在1x <-,11x -≤<,1x ≥三种情况下,分别解不等式,最后取并集即可;
(2)()f x x a x b a b =-++≥+,结合()f x 的值域为[
)3,+∞,可知3a b +=.因此有
()(
)1221a b a b ++≥=⇒++≥⎪⎩
()()2218411a b a b ⎧++≥⎪⎨≥⎪+⎩,从而证明出题设不等式. 【解析】(1)当1a b ==时,不等式为112x x x -++<+,
当1x <-时,不等式化为2223
x x x -<+⇒>-,此时不等式无解; 当11x -≤<时,不等式化为220x x <+⇒>,故01x <<;
当1x ≥时,不等式化为222x x x <+⇒<,故12x ≤<.
综上可知,不等式的解集为{}02x x <<. (2)()f x x a x b a b =-++≥+,
当且仅当x a -与x b +异号时,()f x 取得最小值a b +,
∵()f x 的值域为[
)3,+∞,且0a >,0b >,故3a b +=.
()122
a b ++≥=(当且仅当12a b =+=时取等号)
, ∴()2218a b ++≥.
又∵()1a b ++≥12a b =+=时取等号),
∴()41a b +≤,∴()
411a b +≥, ∴()
224(1)91a b a b +++≥+, ∴()224281a b b a b +++
≥+. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法,考查了基本不等式的应用,属于中档题. 16.(2020·山西省高三)已知函数()()220f x x a x a a =-++>.
(1)求不等式()3f x a ≥的解集;
(2)若()f x 的最小值为()20b b ->
【答案】(1){0x x ≤或4}3
a x ≥;(2)见解析 【分析】(1)首先根据题意得到()3,3,3,x a x a f x x a a x a x a x a -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩
,再对a 分类讨论解不等式即可.
(2)首先根据函数()f x 的单调性得到22a b +=,再利用柯西不等式证明即可.
【解析】(1)()3,3,3,x a x a f x x a a x a x a x a -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩
,
①当x a <-时,由33x a a -+≥,解得x a <-;
②当a x a -≤≤时,由33x a a -+≥得0a x -≤≤;
③当x a >时,由33x a a -≥得43
a x ≥. 综上可得不等式()3f x a ≥的解集为{0x x ≤或4}3a x ≥
. (2)由()3,3,3,x a x a f x x a a x a x a x a -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩
,
可知:当x a ≤时,()f x 为减函数,当x a >时,()f x 为增函数.
所以当x a =时,()f x 取到最小值2a ,
所以22a b =-,即22a b +=.
== 当12
a =,1b
=时取等号.
≤
【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法,第二问考查不等式的证明,熟练掌握柯西不等式为解题的关键,属于中档题.
17.(2020·陕西省西安中学高三)已知,,a b c R +∈,x R ∀∈,不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立.
(1)求证:22213
a b c ++≥
(2)求证
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】(1)先根据绝对值不等式求得|1||2|x x ---的最大值,从而得到1a b c ++≥,再利用基本不等
式进行证明;(2)利用基本不等式222a b ab +≥变形得2
22
()2a b a b ++≥,两边开平方得到新的不等式,利用同理可得另外两个不等式,再进行不等式相加,即可得答案.
【解析】(1)∵|1||2||12|1x x x x ---≤--+=,∴1a b c ++≥.
∵222a b ab +≥,222b c bc +≥,222c a ac +≥,
∴222222222a b c ab bc ac ≥++++,
∴2222222333222()1a b c a b c ab bc ac a b c ++≥+++++=++≥, ∴22213
a b c ++≥. (2)∵222a b ab +≥,()2222222()a b
a a
b b a b +≥++=+,
即222()2a b a b ++≥||()22
a b a b ≥+=+.
)2
b c ≥+)c a ≥+.
)a b c ≥++≥
【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和推理论证能力.
18.(2020·江苏省高三)已知x ,y ,z 均为正数,且
11131112x y z ++≤+++,求证:4910x y z ++≥. 【答案】详见解析
【分析】由x ,y ,z 均为正数,运用柯西不等式和不等式的性质,即可得证;
【解析】因为x ,y ,z 均为正数,所以1x +,1y +,1z +均为正数,
由柯西不等式得()()()2
14191111(123)36111x y z x y z ⎛⎫++≥++=
⎪+++++++⎡⎭
⎤⎣⎦+⎝, 当且仅当222
(1)4(1)9(1)x y z +=+=+时,等式成立.
因为
11131112
x y z ++≤+++, 所以2
(1)4(1)9(1)36243
x y z +++++≥⨯=, 所以4910x y z ++≥.
【点睛】本题考查不等式的证明,注意运用柯西不等式和不等式的性质,考查推理和运算能力,属于中档题.
19.(2019·四川省高三月考)已知函数f (x )=|2x ﹣1|﹣|x +1|. (1)求不等式f (x )≤﹣1的解集M ;
(2)结合(1),若m 是集合M 中最大的元素,且a +b =m (a >0,b >0)
,求+ 【答案】(1)1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
;(2)5
【分析】(1)分段去不等式中的绝对值再求解即可. (2)根据(1)可得1m =,再根据柯西不等式求解最大值即可. 【解析】(1)不等式f (x )≤﹣1即|2x ﹣1|﹣|x +1|≤﹣1,
可得11211x x x ≤-⎧⎨-++≤-⎩或1121211x x x ⎧-⎪⎨⎪---≤-⎩<<或12
2111
x x x ⎧
≥⎪
⎨⎪---≤-⎩
, 解得:无解或
1
3≤x 12<或12≤x ≤1, 综上可得13≤x ≤1,即所求解集为[1
3
,1];
(2)由(1)可得a +b =1(a ,b >0),
由柯西不等式可得(2≤(32+42)(a +b ),
即为(2≤25,
可得≤5,当且仅当a 925=
,b 16
25
=时取得等号,
则5.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及柯西不等式的运用,属于中等题型. 20.(2020·广东省高三月考) 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>. (1)当1a b ==时,解不等式()2f x x ≥-;
(2)若函数()f x 的值域为[)2,+∞,求2242a b b a
+
的最小值. 【答案】(1){
3x x ≤-或}1x ≥-;(2)2.
【分析】(1)可知所求不等式为122x x x -++≥-,然后分2x -≤、21x -<<、1x ≥三种情况解该不等式,即可得出原不等式的解集;(2)利用绝对值三角不等式可得()min 22f x a b =+=,然后将所求代
数式变形为2222442222a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,利用基本不等式可求得22
42a b b a +的最小值. 【解析】(1)根据题意得原不等式为122x x x -++≥-.
当2x -≤时,则有122x x x ---≥-,解得3x ≤-,此时3x ≤-; 当21x -<<时,则有122x x x -++≥-,解得1x ≥-,此时11x -≤<; 当1x ≥时,则有122x x x -++≥-,解得1
3
x ≥
,此时1x ≥. 综上所述,不等式()2f x x ≥-的解集为{
3x x ≤-或}1x ≥-; (2)()222f x x a x b x a x b a b =-++≥---=+, 当且仅当()()20x a x b -+≤时等号成立,
0a >,0b >,函数()y f x =的值域为[)2,+∞,即22a b +=.
()2222224442222222a b a b a b a b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴+=+++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()22222a b ≥=+-=,
当且仅当21a b ==时取等号,
因此,2242a b b a
+
的最小值为2.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解,同时也考查了利用基本不等式求最值,涉及绝对值三角不等式的应用,考查计算能力,属于中等题.
21.(2020·宁夏回族自治区银川一中高三)已知()12f x x x =-+-. (1)求使得()2f x >的x 的取值集合M ;
(2)求证:对任意实数a ,()0b a ≠,当R x C M ∈时,()a b a b a f x ++-≥恒成立. 【答案】(1)1
2x x ⎧<
⎨⎩
或52x ⎫
>⎬⎭
;(2)见解析 【分析】(1)利用|1||2|x x -+-的几何意义,表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和,分析即得解.(2)把||||||()a b a b a f x ++-≥,转化为()||||
||
a b a b f x a ++-≤
,利用绝对值的性质求得
||||
||
a b a b a ++-得最小值即得解.
【解析】(1)由()2f x >,即|1||2|2x x -+->.
而|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和,
而数轴上满足|1||2|2x x -+-=的点的坐标为
12和5
2, 故不等式|1||2|2x x -+->的解集为15
{|}22
x x <>或.
(2)证明:要证||||||()a b a b a f x ++-≥,只需证()||||
||
a b a b f x a ++-≤
,
∵||||||2||a b a b a b a b a ++-≥++-=,当且仅当()()0a b a b +-≥时取等号,
∴
||||
2||
a b a b a ++-≥
由(1),当R x C M ∈时,()2f x ≤∴||||
()||
a b a b f x a ++-≤
∴原命题成立..
【点睛】本题考查了绝对值不等式得解集及不等式证明,考查了学生综合分析,转化与划归,逻辑推理得能力,属于中档题.
22.(2020·河南省高三三模)已知是a ,b ,c 正实数,且21a b c ++=.
()1求111a
b
c
++的最小值;
()2求证:22216
a b c ++≥
.
【答案】()16+;()2证明见解析.
【分析】()1根据a ,b ,c 是正实数,且21a b c ++=,可得
()1111112a b c a b c a b c ⎛⎫
++=++++ ⎪⎝⎭
,然后利用基本不等式求出
111
a b c
++的最小值即可;()
2由柯西不等式可得
(
)(
)
()2
222
2221122a b c a b c ++++≥++,再结合21a b c ++=,即可证明2221
6
a b c ++≥成立. 【解析】()
121a b c ++=,∴
()11111122b a c a b c
a b c a b c a b a
⎛⎫++=++++=+++ ⎪⎝⎭ 2
46a c b
c b c
+++≥+
当且仅当a b ==
时,等号成立.
又由21a b c ++=,
∴a b ==,c =
时,等号成立,
即
111
a b c
++的最小值为6+. ()2由柯西不等式可得()()()222222211221a b c a b c ++++≥++=
即2
2
2
1 6a b c ++≥
当且仅当112
a b c
==时,等号成立.
又由21a b c ++=,∴13
c =,1
6a b ==时,等号成立.
∴2221
6
a b c ++≥成立.
【点睛】本题考查利用综合法证明不等式,基本不等式和柯西不等式的运用,考查转化思想,属于中档题. 23.(2020·江西省高三三模)已知()|||1|.f x k x x =+- (Ⅰ)若2k =,解不等式()5f x ≤.
(Ⅱ)若关于x 的不等式()|1||22|f x x x ≤++-的充分条件是1
,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
,求k 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)4,23⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
(Ⅱ)(],2-∞. 【分析】(Ⅰ)分区间讨论,去掉绝对值号即可求解;(Ⅱ)由题意可转化为11x x k x ++-≤
在1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立,根据绝对值不等式可求出
1111
2x x x x x x
++-++-≥=,即可求解. 【解析】(Ⅰ)若2k =,不等式()5f x ≤可化为215x x +-≤. 当0x <时,()215x x ---≤,即43x ≥-
,∴4
03
x -≤<; 当01x ≤<时,()215x x --≤,即4x ≤,∴01x ≤<; 当1x ≥时,()215x x +-≤,即2x ≤,∴12x ≤≤.
故不等式的解集为4,23⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
(Ⅱ)关于x 的不等式()122f x x x ≤+++在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
恒成立,
即1221k x x x x ≤+++--在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
恒成立,
∴11x x k x ++-≤
在1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立,
∵
11112x x x x x x
++-++-≥=,等号在1x +,1x -同号时等号成立,
所以,所求实数k 的范围是(],2-∞.
【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法,不等式恒成立求参数取值范围,分类讨论思想,转化思想,属于中档题.
24.(2020·河北省高三)已知a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=1.
(Ⅰ)证明:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
; (Ⅱ)证明:
32
a b c b c a c a b ++≥+++. 【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.
【分析】(Ⅰ)每个式子通分后把1用a b c ++代换后分子应用基本不等式可证结论;(Ⅱ)变形
111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,三个分式中分子a b c ++提取出来
并
变
为
()()()1
2b c a c a b ⎡⎤+++++⎣
⎦,即原不等式左边
()()()11
1132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=
+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭
,再用柯西不等式可证得结论.
【解析】(Ⅰ)1111111118a b c b c a c a b a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⋅⋅=⋅⋅≥=
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,
当且仅当“a=b=c ”时取等号; (Ⅱ)
111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=
+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭
22113333
222≥
+-=⨯-=, 当且仅当“a =b =c ”时取等号.
【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立,解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式,然后才可得出结论,掌握基本不等式和柯西不等式是解题.
25.(2020·南昌市新建一中高三)已知函数()21f x x x =---,函数()421g x x x m =---+-. (1)当()0f x >时,求实数x 的取值范围;
(2)当()g x 与()f x 的图象有公共点时,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1,
2⎛
⎫
-∞ ⎪⎝⎭
;(2)[)1,+∞.
【分析】(1)去绝对值,转化为分段函数,解不等式即可;(2)函数()y g x =与()y f x =的图象有公共点,则方程()()f x g x =有解,利用参变量分离法得出224m x x =-+-有解,利用绝对值三角不等式可求得m 的取值范围.
【解析】(1)当()0f x >时,即21x x ->+. 当2x ≥时,则21x x ->+,此时x ∈∅; 当2x <时,则21x x ->+,解得12x <,此时1
2
x <. 综上所述,实数x 的取值范围为1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
; (2)因为函数()421g x x x m =---+-与函数()y f x =的图象有公共点, 则42121x x m x x ---+-=---有解.即224m x x =-+-有解,
由绝对值三角不等式得()24242x x x x -+-≥---=,所以22m ≥,m 1≥. 所以当()y g x =与()y f x =的图象有公共点时,实数m 的取值范围为[
)1,+∞.
【点睛】本题考查解绝对值不等式,以及函数图象有交点的问题,考查绝对值三角不等式以及分类讨论思想的应用,属于中档题.
26.(2020·四川省高三三模)已知函数()||f x x a =-. (1)当1a =时,求不等式
1
1()
x f x +>的解集; (2)设不等式|21|()x f x x -+的解集为M ,若1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦
,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(0,1)(1,)⋃+∞;(2){1}.
【分析】(1)将1a =代入,通过讨论x 的范围,去掉绝对值,解各个区间上的x 的范围,取并集即可; (2)问题转化为||1x a x -≤-+,求出x 的范围,得到关于a 的不等式组,解出即可. 【解析】(1)1a =时,
1
11|1|(1)|1|
x x x x x +>⇔+>-≠-
1
11x x x >⎧⇔⎨+>-⎩
或111x x x <⎧⎨+>-⎩,解之得:1x >或01x <<
∴不等式的解集为(0,1)(1,)⋃+∞ (2)
不等式的解集为M ,且1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦
,
依题意不等式21x x a x -+-≤在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立,∴210x -≥,
∴|21|()21||x f x x x x a x -+≤⇔-+-≤||111x a x x x a x ⇔-≤-+⇔-≤-≤-+
112a a x ≤⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩
,当1a >时,M 为∅,显然不满足1,12M ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦; 当1a ≤时,1,
2a M +⎛
⎤
=-∞ ⎥⎝
⎦
1,12M ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦
,112a +∴≥即1a ≥,1a
综上,a 的取值范围为{1}.
【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想,属于中档题. 27.(2020·福建省高三)已知函数()212f x x x =--+,()221g x x m x =-++. (1)求不等式()2f x <的解集;
(2)若存在1x ,2x ∈R ,使得()()120f x g x +=,求m 的取值范围. 【答案】(1){}
15x x -<<;(2)73,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【分析】(1)根据分类讨论的方法,讨论2x -≤,1
22x -<<
,12
x ≥三种情况,分别求解,即可得出结果;(2)根据题意,先得到A B ⋂≠∅,其中集合(){}
,A y y f x x ==∈R ,(){}
,B y y g x x ==-∈R ,根据绝对值三角不等式,分别求出A ,B ,再由集合间的关系,即可求出结果. 【解析】(1)因为()2f x <,
2,2122,x x x ≤-⎧⇔⎨-+++<⎩或12,2
2122,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--<⎩或1,22122x x x ⎧
≥⎪⎨⎪
---<⎩
2,1,x x ≤-⎧⇔⎨>⎩或12,21,
x x ⎧-<<⎪⎨⎪>-⎩或1,25x x ⎧
≥⎪⎨⎪<⎩ x ⇔∈∅或112x -<<
或1
5152
x x ≤<⇔-<<, 所以()2f x <的解集为{}
15x x -<<.
(2)因为存在1x ,2x ∈R ,使得()()12f x g x =-成立,
所以A B ⋂≠∅,其中集合(){}
,A y y f x x ==∈R ,(){}
,B y y g x x ==-∈R . 因为()1
212222
f x x x x x =--+=-
-+ 11
222
x x x =-
+--+ ()150222x x ⎛
⎫≥---+=- ⎪⎝
⎭,
当且仅当1
2
x =
时,“=”成立, 所以52A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩
⎭.
因为()()
2221g x x m x -=--++()222121x m x m ≤---+=-+, 当且仅当()()22210x m x -+≤时,“=”成立, 所以{}
21B y y m =≤-+ 所以5212m -+≥-
,即5212m +≤,即552122
m -≤+≤, 解得7344m -
≤≤,所以m 的取值范围为73,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,以及绝对值三角不等式求函数的最值问题,属于常考题型. 28.(2020·青海省高三)设函数()21|1|f x x x =---. (1)求不等式()3f x <的解集;
(2)若方程2()f x x ax =+有两个不等实数根,求a 的取值范围.
【答案】(1)(,3)-∞;(2)(
)()
03-∞⋃+∞,
,. 【分析】(1)函数()f x 写成分段函数的形式,分类讨论不等式的解集取并集即可;(2)方程2()f x x ax
=+有两个不等实数根等价于2211
x x x a x
-+---=
有两个不等实数根,利用基本不等式求出当x <0时
2
3x x
--
+的范围,然后数形结合求出a 的取值范围. 【解析】(1)321
()21|1|1x x f x x x x x -≤⎧=---=⎨
>⎩
,,,
∵()3f x <,∴3231x x -<⎧⎨≤⎩或3
1x x <⎧⎨>⎩
,∴1x ≤或13x <<,即3x <,
∴不等式的解集为(,3)-∞;
(2)方程2()f x x ax =+,即2
21|1|x x x ax ---=+,
显然0x =不是方程的根,故2211
x x x a x
-+---=
,
令[)()()211211()2
3001x x x x x g x x x x x ⎧-∈+∞-+---⎪
==⎨--+∈-∞⋃⎪⎩
,,,,,, 当x <0
时,22333x x x x ⎛⎫--
+=-++≥ ⎪-⎝
⎭,
当且仅当x = 作出()g x 的图象,如图所示:
∵方程2()f x x ax =+有两个不等实数根,
∴由图象可知(
)()03a ∈-∞⋃+∞,
,. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、根据方程的根的个数求参数的取值范围、分段函数的图象与性质,属于中档题.
29.(2020·贵州省高三)设函数()16f x x x a =++--.
(1)当2a =时,求不等式()0f x ≤的解集;
(2)若()23f x a ≥-,求a 的取值范围.
【答案】(1)5722x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭;(2)4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦. 【分析】(1)分类讨论x 的值,解不等式()0f x ≤即可;(2)利用绝对值三角不等式得出()min f x ,再解不等式()min 23f x a ≥-,即可得出a 的取值范围.
【解析】(1)当2a =时,()|1||2|6f x x x =++--
当1x <-时,()(1)(2)625f x x x x =-+---=--
当12x -≤≤时,()1(2)63f x x x =+---=-
当2x >时,()12627f x x x x =++--=-
则()25,13,1227,2x x f x x x x --<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩
()0f x ≤等价于1250x x <-⎧⎨--≤⎩或1230x -≤≤⎧⎨-≤⎩或2270
x x >⎧⎨-≤⎩ 解得5722x -≤≤,则不等式()0f x ≤的解集为5722x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩
⎭. (2)要使()23f x a ≥-,只需()min 23f x a ≥-即可.
又()1616f x x x a a =++--≥+-,且当()()10x x a +-≤时等号成立.
∴()min 1623f x a a =+-≥-,则123a a +≥+
当230a +≤,即32
a ≤-时,123a a +≥+恒成立 当230a +>,即32
a >-时,()22123a a +≥+,得231080a a ++≤ 故423a -≤≤-,从而3423a -<≤- 综上,4,3a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦
. 【点睛】本题主要考查了分类讨论解绝对值不等式以及求绝对值不等式中参数的范围,属于中档题. 30.(2020·重庆高三)已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .
(1)求m 的值;
(2)若实数a ,b 满足22a b m +=,求
221112a b +++的最小值. 【答案】(1)2m =;(2)45
【分析】(1)由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥,即可得解;
(2)由柯西不等式可得()222221112(11)12a b a
b ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎝⎭,结合222a b +=即可得解. 【解析】(1)由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥,
当且仅当0x =时等号成立,故2m =;
(2)由题意222a b +=, 由柯西不等式得()222221112(11124)a b a b ⎛⎫++++≥+
⎪++⎭=⎝, 当且仅当232a =,212
b =时,等号成立, ∴222211441235
a b a b +≥=++++, 故221112a b +++的最小值为45
. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用,属于中档题.
31.(2020·广州市天河外国语学校高三月考)已知函数()123f x x x =--+.
(1)求不等式()1f x <的解集;。