2022年河南省中考数学一轮复习：二次函数综合训练

2022年河南中考数学一轮复习：二次函数综合训练
一、单选题
1．如图，一次函数y 1＝kx +b 与二次函数y 2＝ax 2交于A （﹣1，1）和B （2，4）两点，则当y 1＞y 2时x 的取值范围是（ ）
A ．x ＜﹣1
B ．x ＞2
C ．﹣1＜x ＜2
D ．x ＜﹣1或x ＞2 2．抛物线23y x =沿x 轴向右平移2个单位后的顶点坐标是（ ）． A ．（0，2） B ．（0，－2） C ．（2，0） D ．（－2，0） 3．如图,二次函数24y x x m =-+的图象与y 轴交于点C ,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上点1,0A 及点B ．则满足24kx b x x m +≥-+的x 的取值范围是（ ）．
A ．1x ≤或4x ≥
B ．14x ≤≤
C ．1x ≤或5x ≥
D ．15x ≤≤ 4．将抛物线2364y x x =---向右平移1个单位长度，向上平移2个单位，所得到的的抛物线的解析式为（ ）
A ．233y x =-+
B ．232y x =-+
C ．231y x =-+
D ．23y x =- 5．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 给出下列结论：①abc ＜0，②4a +2b +c ＜0，③a +c ＞b ，④a +b ≤t （at +b ）（t 是任意一个实数），⑤当x ＜-1时，y 随x 的增大而减少．其中结论正确的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 6．下列关于二次函数y ＝2x 2的说法正确的是（ ）
A ．它的图象经过点（－1，－2）
B ．它的图象的对称轴是直线x ＝2
C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大
D ．当－1x ≤≤2时，y 有最大值为8，最小值为0
7．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＜0；②b 2＜4ac ；③b +2a =0；④3a +c ＝0；其中正确的是（ ）
A ．①③④
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③ 8．若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标分别是(),0m 、(),0n ，且m n <，图象上有一点()M p q ，，且()()0a p m p n --<，对于以下说法：
①240b ac ->；②x p =是方程20ax bx c q ++-=的解；③m p n <<；④M 点在x 轴下方，对于以上说法正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．③④
D ．①③ 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+4x +m 的顶点为A ，它与x 轴分别交于B ，C 两点，与y 轴的交点为D ，过点D 作D
E 平行于x 轴交于抛物线于点E ，B
F ∥CE 交DE 于点F ，若3S △ABC ＝4S △FEC ，则m 的值为（ ）
A．﹣12
7
B．﹣
7
12
C．﹣12 D．12
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①4a﹣2b+c＜0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）；③若点A（k2+1，y1），点B（k2+2，y2）在抛物线上，那么y1＞y2；④若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，则﹣1＜m＜n＜3．正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图①，在正方形ABCD中，点E在AD边上，连接BE，以BE为边作等边△BEF，点F在BC的延长线上，动点M从点B出发，沿B→E→F向点F做匀速运动，过点M 作MP⊥AD于点P．设点M运动的距离为x，△PEM的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则DE的长为（）
12．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图象的对称轴为直线1x =-，部分图象如图所示，下列结论中：①0abc >；②240b ac ->；③40a c +>；④若t 为任意实数，则
有2a bt at b -≤+；⑤当图象经过点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，方程220ax bx c ++-=的两根为1x ，2x ()12x x <，则12322
x x +=-，其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．②③④⑤
D ．②③④
二、填空题 13．若y ＝（m ﹣1）x |m |+1+8mx ﹣8是关于x 的二次函数，则其图象与x 轴的交点坐标为 _________．
14．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b ＞0；②a ﹣b +c ＝0；③当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0；④一元二次方程ax 2+bx +c +1＝0（a ≠0）有两个不相等的实数根．
上述结论中正确的是_____．（填上所有正确结论的序号）
15．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2
（x ≥0）与y 2＝2
5x （x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DE AB
＝_______________．
16．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++<与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且
132x -<<-，122x x +=-，则下列结论：①240b ac ->；②若点17,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是该抛物线上的点，则12y y <；③2at a bt b -≤-（t 为任意数）；④0a b c ++<．其中正确的有______．
17．某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg ，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg 水果，则商店平均每天的最高利润为_____元．
三、解答题
18．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像交x 轴与A (-1，0)，B (2，0)两点；交y 轴于点C (0，-2)，过点A ，C 画直线；
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)设点P 在x 轴正半轴上，且P A =PC ，求OP 的长．
19．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为x m，矩形场地的面积为S m2
(1)S与x的函数关系式为S＝，其中x的取值范围是；
(2)若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽．
(3)当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．
20．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y 轴交于点C，连接AC．
(1)求m的值及该抛物线的对称轴；
(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
(2)是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
22．已知二次函数21
=-+的图象与x轴仅有一个公共点A．
y mx mx
(1)求m的值；
(2)过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形．请求出点P的横坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
(1)则点A，B，C的坐标分别是A（，），B（，），C （，）；
(2)设经过A，B两点的抛物线的解析式为y＝1
4
（x﹣5）2+k，它的顶点为F，求证：直
线F A与⊙M相切；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．C
6．D
7．A
8．B
9．A
10．D
11．A
12．C
13．（﹣2，0）
14．②③④
15．5516．①②③④
17．180
18
(1) 解：二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于(1,0)A -、(2,0)B ， ∴设该二次函数的解析式为：(2)(1)(0)y a x x a =-+≠．
将0x =，2y =-代入，得2(02)(01)a -=-+，
解得1a =，
∴抛物线的解析式为(2)(1)y x x =-+，即2y x x 2=--；
∴对称轴为直线122
b x a =-
=； (2) 解：如图．由（1）知，抛物线的解析式为2y x x 2=--，则(0,2)C -． 设OP x =，则1PA PC x ==+，
在Rt POC △中，由勾股定理，得2222(1)x x +=+， 解得，32
x =，即32OP =．
19．
(1)
解：由题意得平行于墙的一边长为()202m x -，
∴()2202=220S x x x x =--+，
∵墙的长度为10m ，
∴平行于墙的一边长不能超过10m ，
∴220202100x x x <⎧⎪-≤⎨⎪>⎩
，
∴510x ≤<，
故答案为：2220x x -+；510x ≤<；
(2)
解：∵矩形场地的面积为42m 2，
∴222042x x -+=，即210210x x -+=， 解得7x =或3x =（舍去），
∴2026x -=，
∴矩形场地的长与宽分别为7m 、6m ；
(3)
解：∵()222202550S x x x =-+=--+，20-<， ∴当5x =时，S 有最大值50，
∴当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长与宽分别为10m，5m，此时矩形场地的最大面积为50m2．
20．
(1)
解：把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：
∴﹣16+12+m＝0，
解得：m＝4，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣3
2
）2+
25
4
，
∴二次函数对称轴为直线x＝3
2
；
(2)
解：存在，理由如下：
令y=0，即y＝﹣x2+3x+4，
解得x=4或x=-1，
∴点B的坐标为（-1，0）
①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，
∵A（4，0），AB＝5，
∴点Q′的坐标为（4，5）；
②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，∵AB、PQ是正方形对角线，
∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，
∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为5
2
，
∴点Q的坐标为（3
2
，﹣
5
2
），
故点Q的坐标为（4，5）或（3
2
，﹣
5
2
）．
21．
(1)
解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，
∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，
∵m＞0，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），
(2)
解：存在使△BCM为直角三角形的抛物线．
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，
∴MN＝DM﹣DN＝4m，
∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，
在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，
在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．
①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，
即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得6
m=
∵m＞0，
∴6m = ∴存在抛物线262656y =
△BCM 是直角三角形； ②如果△BCM 是直角三角形，且∠BCM ＝90°时，BC 2+CM 2＝BM 2．
即25+25m 2+4+16m 2＝9+81m 2，解得 2m = ∵m ＞0， ∴2m =． ∴存在抛物线22522y x =
-使得△BCM 是Rt △； ③∵25+25m 2＞4+16m 2，9+81m 2＞4+16m 2，
∴以∠CBM 为直角的直角三角形不存在，
综上，存在抛物线262656y x x =
22522y x =-使△BCM 是直角三角形． 22．
(1) 解：二次函数21y mx mx =-+的图象与x 轴仅有一个公共点A ，
0m ∴≠，且关于x 的一元二次方程210mx mx -+=只有一个实数根， ∴此方程根的判别式240m m ∆=-=，
解得4m =或0m =（舍去），
即m 的值为4．
(2)
解：设PE 的中点为点B ，连接BD ，由题意，画图如下：
由（1）可知，2214414()2
y x x x =-+=-， 则二次函数的对称轴为直线12
x =
， 所以点D 的横坐标为12， 设点P 的坐标为21(,441)()2
P a a a a -+>， 则点E 的坐标为(,3)E a ，点B 的横坐标为a ， 所以224413122122
a a BE BP EP a a -+-====--， PDE 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，
22,21a BD BE BD a EP --∴==⊥，
l x 轴，EP 垂直直线l ，
EP x ∴⊥轴，
BD x ∴轴，
12
BD a ∴=-， 222112a a a --∴=-，即221221a a a --=-或222112
a a a =-+--， 解得313a +=31312a -=<（舍去）或113a +=或11312
a -=（舍去）， 故点P 313+113+ 23
(1)
解：连接MC 、MA ，设过点M 与y 轴平行的直线交x 轴于D ，如图所示：
∵⊙M 与y 轴相切于点C ，
∴MC ⊥y 轴，
∵M （5，4），
∴MC =MA =5，OC =MD =4，
∴C （0，4），
∵MD ⊥AB ，
∴DA =DB ，∠MDA =90°，
∴AD 225-4，
∴BD =3，
∴OA =5-3=2，OB =5+3=8，
∴A （2，0），B （8，0），
故答案为2，0；8，0；0，4；
(2)
解：把A （2，0）代入21(5)4
y x k =-+，解得94k =- ∴219(5)44
y x =--， ∴F （5，94
-） ∴MF =4+94=254，94
DF =， ∴AF 22AD FD +154
∴22262516FA AM MF +==
∴MA ⊥AF
∴F A 与⊙M 相切；
(3)
解：存在；点P 坐标为（5，555715，4）；理由如下：
由勾股定理得：BC 22224845OC OB +=+=
分三种情况：
①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合∴P（5，4）；
②当BP=BC52所示：
∵PD222
--
BP BD
80371
∴P（571；
③当PC=BC5MC，如图3所示：
则∠PMC=90°，
根据勾股定理得：PM222
--
80555
PC MC
∴PD55
∴P（5，55；
综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，555715，4），．。