2020年强基计划高三物理专题讲解：第01讲 直线运动(解析版)

2020年强基计划物理专题讲解（核心素养提升）
第1讲直线运动
目录
知识精讲 (1)
一、质点运动的基本概念 (1)
二. 运动的合成与分解相对运动 (3)
典型例题 (5)
题型一运动图象 (5)
题型二匀变速直线运动规律的应用 (6)
题型三平均速度与瞬时速度的理解与应用（利用微积分） (7)
题型四追击相遇问题 (8)
题型五速度关联问题 (10)
题型六相对运动 (11)
知识精讲
一、质点运动的基本概念
1.参照物和参照系
要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的
物体作参照，这个被选的物体叫做参照物。

为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。

通常选用直角坐标系O–xyz，有时也采用极坐标系。

平面直角坐标系一般有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）。

2.位矢位移和路程
在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x，y，z表示，当质点运动时，它的坐标是时间的函数
x=X（t）y=Y（t）z=Z（t）
y
这就是质点的运动方程。

质点的位置也可用从坐标原点O 指向质点P （x 、y 、z ）的有向线段来表示。

如图2-1-1所示, 也是
描述质点在空间中位置的物理量。

的长度为质点到原点之间的距离，的方向由余弦、
、决定,它们之间满足
当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而变,可表示为=(t )。

在直角坐标系中, 分别为、、沿方向、、和单位矢量，则可表示为
位矢与坐标原点的选择有关。

研究质点的运动，不仅要知道它的位置，还必须知道它的位置的变化情况，如果质点从空间一点运动到另一点，相应的位矢由1变到2，其改变量为
称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。

它描
写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。

它与坐标原点的选择无关。

3.速度
平均速度：质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度 平均速度是矢量，其方向为与的方向相同。

平均速度的大小，与所取的时间间隔有关，因此须指
明是哪一段时间（或哪一段位移）的平均速度。

瞬时速度：当为无限小量，即趋于零时，成为t 时刻的瞬时速度，简称速度
瞬时速度是矢量，其方向在轨迹的切线方向。

瞬时速度的大小称为速率。

速率是标量。

4.加速度
平均加速度 质点在时间内，速度变化量为，则与的比值为这段时间内的平均加速度
平均加速度是矢量，其方向为的方向。

瞬时加速度 当为无限小量，即趋于零时，与的比值称为此时刻的瞬时加速度，简称加速度
r
r r αcos βcos γcos 1cos cos cos 222=++γβαx y z r t z t y t x t )()()()(++=),,(1111z y x P ),,(2222z y x P r r ∆k z z j y y i
x x r r r )()()(12121212-+-+-=-=∆t
s
v ∆= r
∆t ∆t ∆r
∆t s v v t t ∆==→∆→∆
00
lim lim t ∆v ∆v
∆t ∆t
v a ∆∆=
v
∆t ∆v
∆t ∆ )
2z
加速度是矢量，其方向就是当趋于零时，速度增量的极限方向。

5.匀变速直线运动
加速度不随时间t 变化的直线运动称为匀变速直线运动。

若与同方向，则为匀加速直线运动；若与反方向，则为匀减速直线运动。

匀变速直线运动的规律为：
匀变速直线运动的规律也可以用图像描述。

其位移—时间图像（s ～t 图）和速度—时间图像（v ～t 图）分别如图2-1-3和图2-1-4所示。

从(s ～t )图像可得出： (1)任意一段时间内的位移。

(2)平均速度，在（）的时间内的平均速度的大小，是通过图线上点1、点2的割线的斜率。

(3)瞬时速度，图线上某点的切线的斜率值，等于该时刻的速度值。

从s ～t 图像可得出：
从(v ～t )图像可得出： (1)任意时刻的速度。

(2)任意一段时间内的位移，时间内的位移等于v ～t 图线，时刻与横轴所围的“面积”。

这一结论对非匀变速直线运动同样成立。

(3)加速度，v ～t 图线的斜率等于加速度的值。

若为非匀变速直线运动，则v ～t 图线任一点切线的斜率即为该时刻的瞬时加速度的大小。

6.一般运动
位移x ＝⎰
t
vdt
速度a ＝⎰
t
adt 0
二. 运动的合成与分解相对运动
1.运动的合成与分解 (1)矢量的合成与分解
t
v
a t ∆∆=→∆ 0lim t ∆a a v a
v
at v v +=ο12
02
1at t v s =
=as v v 22
21=-οt v v vt s t )(2
10+==12t t -21t t -21t t
、 s t
矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形法则，即两分量构成平行四边形的两邻边，合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。

由平行四边形法则又衍生出三角形法则，多个矢量的合成又可推导出多边形法则。

同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算，由此，不在同一直线上的矢量的合成与分解一般通过正交分解法进行运算，即把各个矢量向互相垂直的坐标轴投影，先在各轴上进行代数运算之后，再进行矢量运算。

(2)运动的合成和分解
运动的合成与分解是矢量的合成与分解的一种。

运动的合成与分解一般包括位移、速度、加速度等的合成与分解。

运动的合成与分解的特点主要有：①运动的合成与分解总是与力的作用相对应的；②各个分运动有互不相干的性质，即各个方向上的运动与其他方向的运动存在与否无关，这与力的独立作用原理是对应的；③位移等物理量是在一段时间内才可完成的，故他们的合成与分解要讲究等时性，即各个运动要取相同时间内的位移；④瞬时速度等物理量是指某一时刻的，故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。

两直线运动的合成不一定就是直线运动，这一点同学们可以证明。

如：①两匀速直线运动的合成仍为匀速直线运动；②两初速为零（同一时刻）的匀加速直线运动的合成仍为初速为零的匀加速直线运动；③在同一直线上的一个匀速运动和一个初速为零的匀变速运动的合运动是一个初速不为零的匀变速直线运动，如：竖上抛与竖下抛运动；④不在同一直线上的一个匀速运动与一个初速为零的匀加速直线运动的合成是一个曲线运动，如：斜抛运动。

2.相对运动
任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。

通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。

物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。

绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。

这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。

当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：
当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。

如果有一辆平板火车正在行驶，速度为（脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。

有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为，那么很明显，汽车相对地面的速度为：
牵连相对绝对v v v
+=牵连相对绝对a a a +=火地v
汽火v
（注意：和不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为的速度在奔跑，
那么小狗相对地面的速度就是
从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：
①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。

合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。

②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。

③所有分速度都用矢量合成法相加。

④速度的前后脚标对调，改变符号。

以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。

典型例题
题型一 运动图象
例1．[多选](“卓越”自主招生)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向做直线运动，它们的v ­t 图像如图所示。

下列判断正确的是( )
A ．乙车启动时，甲车在其前方50 m 处
B ．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
C ．乙车启动10 s 后正好追上甲车
D ．乙车超过甲车后，两车不会再相遇 【答案】ABD
火地汽火汽地v v v +=汽火v 火地v 狗汽v
火地汽火狗汽狗地v v v v ++=
【解析】乙车t＝10 s启动时，甲车位移为50 m，即乙车启动时，甲车在乙前方50 m处，选项A正确。

在t ＝15 s时，甲、乙两车速度相等，甲、乙两车之间距离最大，最大距离为50 m＋25 m＝75 m，即运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m，选项B正确。

t＝20 s时即乙车启动10 s后，甲车在乙前方50 m处，选项C错误。

乙车超过甲车后，乙车速度大于甲车，两车不会再相遇，选项D正确。

变式1：一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，如图所示。

已知AB和AC的长度相同。

两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间()
A．p小球先到B．q小球先到
C．两小球同时到D．无法确定
【解析】
可以利用v­t图像(这里的v是速率，曲线下的面积表示路程s)定性地进行比较。

在同一个v­t图像中做出p、q的速率图线，如图所示。

开始时q的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即两图线末端在同一水平图线上。

为使路程相同(图线和横轴所围的面积相同)，显然q用的时间较少。

【答案】B
题型二匀变速直线运动规律的应用
例2．(复旦大学自主招生)一火箭竖直向上发射，在开始的30 s内以18 m/s2的加速度推进，然后关闭推进器，继续上升一段距离后又落回地面，g取9.8 m/s2，则火箭上升的最大高度和整个飞行时间为()
A．1.5×104m,123.6 s
B．2.3×104m,153.6 s
C．1.5×104m,68.5 s
D．2.3×104m,123.6 s
【答案】B
【解析】火箭加速30 s末时速度v＝at1＝18×30 m/s＝540 m/s。

关闭推进器后到运动到最高点需要时间：t2＝
v g＝540
9.8s＝55.1 s。

上升的最大高度：H＝
1
2v(t1＋t2)＝
1
2×540×(30＋55.1) m＝2.3×104m。

火箭从最大高度处自
由下落时间：t3＝2H
g＝68.5 s。

整个飞行时间为：t＝t1＋t2＋t3＝30 s＋55.1 s＋68.5 s＝153.6 s。

选项B正
确。

变式2．(复旦大学自主招生)一物体以v A 从A 点出发做匀加速直线运动，经过时间t 以速度v B 到达相距为s 的B 点，则该物体经过2t 5和距B 点为2s
5处的瞬时速度为( ) A .3v A ＋2v B 5， 3v B 2－2v A 25 B .3v B ＋2v A
5， 3v B 2＋2v A 2
5 C .3v B ＋2v A 5， 3v B 2－2v A 25 D .3v A ＋2v B 5
， 3v B 2＋2v A 25
【答案】D
【解析】 物体加速度a ＝v B －v A t ，物体经过2t 5的瞬时速度为v ′＝v A ＋a ·
2t
5＝3v A ＋2v B 5。

由v B 2－v 2＝2a ·2s 5，v 2－v A 2
＝2a ·3s 5，联立解得：v ＝
3v B 2＋2v A 2
5
，选项D 正确。

题型三 平均速度与瞬时速度的理解与应用（利用微积分）
例3．(复旦大学自主招生)质点做直线运动，0≤t ≤T 时段内瞬时速度为v ＝v 01－⎝⎛⎭⎫t T 2
，其平均速度为( )
A ．v 0
B .v 02
C .πv 04
D .3v 02
【答案】C
【解析】 图像法：由题给条件v ＝v 0
1－⎝⎛⎭⎫t T 2得v 2
v 02＋t 2
T 2＝1。

在v ­t 图像中是椭圆，由于0≤t ≤T ，所以在Ⅰ
象限，如图所示。

0～T 时间内质点的位移对应图中第一象限内椭圆的面积，即s ＝14πv 0T 故其平均速度v ＝
s
T ＝1
4
πv 0，选项C 正确。

微积分法：s ＝⎰
t
vdt ，平均速度v ＝s
T。

具体解时可设t ＝Tsin θ，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则
dt ＝Tcos θdθ，所以v ＝
⎰
t
vdt ＝
20
⎰
π
v 0cos 2θ＝dθ1
2
v 0
20
⎰
π(1＋cos 2θ)dθ＝1
2
v 0
20
⎰
πdθ＋14
v 0
20
⎰
πcos 2θd (2θ)＝
v 02π
2
＋v 04sin 2θ⎪⎪
⎪⎪
π20
＝v 0π
4，故C 正确。

变式3．(清华大学自主招生)一只蜗牛从地面上开始沿竖直杆向上爬，它上爬的速度v 与它离地面的高度h 之间满足的关系是v ＝lv 0
(l ＋h )。

其中常数l ＝20 cm ，v 0＝2 cm /s 。

求它上爬20 cm 所用的时间。

【解析】图像法：由v ＝lv 0(l ＋h )得1v ＝1v 0l h ＋1v 0，表明1v 与h 是线性关系。

作1
v ­h 图像，在极限Δh 内速度v i 不变，
元时间Δt ＝Δh v i ＝1v i Δh ，元面积表示元时间Δt 。

如图所示，以1v 0为下底、1
v
为上底，h 为高的梯形面积表示上爬
时间，t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1v 0＋1v 2h ＝15 s 。

微积分法：t ＝
⎰
t
1
v
dh ＝⎰
t
⎝⎛⎭
⎫1v 0l h ＋1v 0dh ＝h 22v 0l ＋1
v 0h ＝15 s 。

【答案】15 s
题型四 追击相遇问题
例4.在水平轨道上两列火车A 和B 相距x 。

A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同。

两车可视为质点，要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0应满足的条件。

【解析】方法一：利用运动示意图求解
要使两车不相撞，A 车追上B 车时其速度最大只能与B 车相等。

设A 、B 两车从相距x 到A 车追上B 车时，A 车的位移为x A 、末速度为v A 、所用时间为t ； B 车的位移为x B 、末速度为v B ， 运动过程示意图如图所示：
对A 车有x A ＝v 0t ＋1
2×(－2a )×t 2，
v A ＝v 0＋(－2a )×t 。

对B 车有x B ＝1
2at 2，
v B ＝at 。

两车位移关系有x ＝x A －x B ，追上时，两车不相撞的临界条件是v A ＝v B ， 联立以上各式解得v 0＝6ax 。

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0<6ax 。

方法二：利用v ­t 图像求解
先作A 、B 两车的v ­t 图像，如图所示。

设经过t 时间两车刚好不相撞，则对A 有v A ＝v ＝v 0－2at ， 对B 车有v B ＝v ＝at 。

解得t ＝v 0
3a。

经t 时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x ，可用图中的阴影面积表示。

由图像可知x ＝12v 0·t ＝12v 0·v 03a ＝v 02
6a ，
解得v 0＝6ax ，
故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0<6ax 。

【答案】v 0<6ax
变式4.（北大自主招生）高铁列车上有很多制动装置。

在每节车厢上装有制动风翼，当风翼完全打开时，可使列车产生a 1＝0.5 m/s 2的平均制动加速度。

同时，列车上还有电磁制动系统、空气制动系统、摩擦制动系统等。

单独启动电磁制动系统，可使列车产生a 2＝0.7 m/s 2的平均制动加速度。

所有制动系统同时作用，可使列车产生最大为a ＝3 m/s 2的平均制动加速度。

在一段直线轨道上，列车正以v 0＝324 km/h 的速度匀速行驶时，列车长接到通知，前方有一列车出现故障，需要减速停车。

列车长先将制动风翼完全打开让高速行驶的列车减速，当车速减小了1
3
时，再通过电磁制动系统同时制动。

(1)若不再开启其他制动系统，从开始制动到停车，高铁列车行驶的距离是多少？
(2)若制动风翼完全打开时，距离前车只有2 km ，那么该列车最迟在距离前车多远处打开剩余的制动装置，才能保证不与前车相撞？
【解析】(1)由题意可得v 0＝324 km/h ＝90 m/s
打开制动风翼时，列车的加速度为a 1＝0.5 m/s 2，设当车速减小了13时，列车的速度为v 1，v 1＝2
3v 0＝60 m/s
设此过程中行驶的距离为x 1，
开启电磁制动后，列车的加速度为a ′＝a 1＋a 2 继续行驶的距离为x 2
高铁列车的运动示意图如图所示：
则在此过程中行驶的距离：x 1＝v 02－v 12
2a 1
＝4 500 m
再打开电磁制动后，列车的加速度为a ′＝a 1＋a 2＝1.2 m/s 2 在此过程中行驶的距离：x 2＝v 12
2a ′
＝1 500 m
则高铁列车从开始制动到停车行驶的总距离：x ＝x 1＋x 2＝6 000 m 。

(2)设最迟需要在距离前车Δx 处打开其他制动装置，此时列车速度为v 。

由题意知，此时列车减速的加速度为最大制动加速度a ＝3 m/s 2。

设列车打开剩余的制动装置之前运动的距离为x ′， 列车的运动示意图如图所示：
则Δx ＝v 2
2a
x ′＝x 0－Δx ＝v 02－v 2
2a 1
可解得：Δx ＝1 220 m 。

【答案】(1)6 000 m (2)1 220 m
题型五 速度关联问题
例 5.（华约自主招生）半径为R 的半圆凸轮以等速0v 沿水平面向右运动，
带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点。

求当α=∠AOP 时，AB 杆的速度。

答案：αtan 0v v A =
解析：杆与凸轮在A 点接触，杆上A 点的速度A v 是竖直向上的，轮上A 点速度0v 是水平向右的，根据接触系触点速度相关特点，两者沿接触面法向的分速度相同，即ααsin cos 0v v A = 得αtan 0v v A = 变式5.（18届预赛）如图所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转
动，其端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M ，
滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H 。

某一时刻，当绳的BA 段
与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率M v 。

答案：sin M v H ωα=
解析：杆的端点A 点绕O 点作圆周运动，其速度A v 的方向与杆OA 垂直，在所考察时
其大小为
A v R ω= （1）
对速度A v 作如图预解18-1所示的正交分解，沿绳BA 的分量就是物块M 是速率M v ，则
cos M A v v ϕ= （2）
由正弦定理知
sin sin OAB H R
α∠= （3） 由图看出
2OAB πϕ∠=
+ （4）
由以上各式得
sin M v H ωα= （5）
题型六 相对运动 例6.（26届预赛）一块足够长的白板，位于水平桌面上，处于静止状态。

一石墨块（可视为质点）静止在白板上。

石墨块与白板间有磨擦，滑动磨擦系数为μ。

突然，使白板以恒定的速度做匀速直线运动，石墨块将在板上划下黑色痕迹。

经过某一时间t ，令白板突然停下，以后不再运动。

在最后石墨块也不再运动时，白
板上黑色痕迹的长度可能是（已知重力加速度为g ，不计石墨与板磨擦划痕过程中损失的质量）。

[
] A ．g v μ220 B ． v 0 t C .v 0 t —21μgt 2
D .g
v μ20 答案：AC
解析：在时间t 内，石墨可能一直匀加速，也可能先加速后匀速；石墨加速时，根据牛顿第二定律，有umg=m a 解得a=ug
@如果时间t 内一直加速，加速的位移为x 1=22
1
t g ）（μ，故相对白板的位移为△x 1=v 0t -x 1=v 0t -22
1t g ）（μ ②如果先加速，后匀速，位移为x 2=g v v g v t v g v μμμ2)(22000200
-=-+ 故相对白板的位移为△x 2=v 0t-x 2=
③如果加速的未速度恰好等于v 0，则x 3=v 0t -故相对白板的位移为△x 3=v 0t-x 3=
经过时间t 后，白板静止后，石墨做减速运动，加速度大小不变，故相对白板沿原路返回，故白板上黑色痕迹的长度等于加速时相对薄板的位移；故选
AC.
变式6.（28届预赛）在海面上有三艘轮船，船A 以速度u 向正东方向
航行，船B 以速度2u 向正北方向航行，船C 以速度22u 向东偏
北450方向航行．在某一时刻，船B 和C 恰好同时经过船A 的航线并
位于船A 的前方，船B 到船A 的距离为a ，船C 到船A 的距离为2a ．若
以此时刻作为计算时间的零点，求在t 时刻B 、C 两船间距离的中点
M 到船A 的连线MA 绕M 点转动的角速度．
答案：222
12916au a u t ω=+ 解析：以t =0时刻船A 所在的位置为坐标原点O ，作如图1所示平面直角坐标系Oxy ，x 轴指向正东，y 轴指向正北．可以把船C 的速度分解成沿正东方向的分速度v x 和沿正北方向的分速度v y 两个分量．根据题意
g v μ22
g v μ22
g v μ220
有
v x ＝v y ＝2u (1)
在t 时刻，三船的位置如图1所示．B 、C 二船在y 方向位移
相等，两船的连线BC 与x 轴平行，两船间的距离
2BC a ut =+ (2)
BC 的中点到B 点的距离为
12
a ut +．中点M 的坐标分别为 1322M x a a ut a ut =++=+ （3）
2M y ut =
（4）
可见M 点沿x 方向的速度为u ，沿y 方向的速度为2u ，在t = 0时刻BC 的中点在x 轴上，其x 坐标为3a /2．
在与M 点固连的参考系中考察，并建立以M 为原点的直角坐标系Mx 'y ' , x '轴与x 轴平行，y '轴与y 轴平行，则相对M ，船A 的速度只有沿负y '方向的分量，有
u AM =u AM y '=—2u (5)
在时刻t ，船A 在坐标系Mx 'y '的坐标为
32
A x a '=- (6) A AM y u t '= (7)
可以把A 船的速度分解为沿连线MA 方向的分量u AM 1 和垂直于连线 MA 方向的分量u AM 2两个分量，u AM 1使连线MA 的长度增大，u AM 2使连线 MA 的方向改变，如图2所示．若用R 表示t 时刻连线MA 的长度，则连线MA 绕M 点转动的角速度
2AM u R
ω= (8) 若MA 与x '轴的夹角为θ，则有
2cos AM AM u u θ= (9)
而 cos A x R
θ'= （10） 22A A R x y ''=+ （11）
由（5）到（10）各式得 22212916au a u t
ω=+ （12）。