江西省南昌市10所省重点2020年高三数学(理)二模冲刺试题(六)及答案

南昌市十所省重点中学 二模突破冲刺交流试卷（06）高三数学（理）第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数2(12)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ． 4B ． 4-C ． 4iD ． 4i -2．已知集合211{|(),}2x A y y x R +==∈，则满足A B B ⋂=的集合B 可以是（ ）A ．1{0,}2B ．{|11}x x -≤≤C ．1{|0}2x x << D ．{|0}x x >3． 下列有关命题说法正确的是 （ ）A ． 命题p ：“sin +cos =2x x x ∃∈R ，”，则⌝p 是真命题B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，”D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件4．已知1tan()42πα-=，则sin cos sin cos αααα+-的值为（ ） A ．1/2 B ．2 C ．2 2 D ．-25．阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为 ( )A ． 81-B ． 81C ．161D ． 3216．已知11331133(log 0.5)()(log 0.5)xy x y --<--，则实数,x y 的关系是（ ）A ．0x y ->B ．0x y -<C ．0x y +>D ．0x y +<7．已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，222||OF OF =⋅，若椭圆的离心率等于22，则直线OA 的方程是( )A ．x y 21= B ．x y 22= C ．x y 23= D ． x y = 8．若函数cos()(0,[0,2])2y x x πωωπ=+>∈的图象与直线12y =无公共点，则（ ）A ．0＜ω＜13B ．0＜ω＜12C ．0＜ω＜712D ．0＜ω＜1213开始n=1,S=1S=S·cos129n π-⋅n ≥3输出S 结束n=n+1是否θABCB 1A 1D 1C 1DEF 9．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，EAB θ∠=(0,)2πθ∈，过直线,AE AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图像是（ ）10．已知圆C ：222410x y x y +--+=上存在两点关于直线l ：10x my ++=对称，经过点(,)M m m 作圆的两条切线，切点分别为P ，Q ，则||PQ =A ．3B ．23C ．13D ．12131311．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一 周回到起点，其最短路径为A ．4＋43πB ．63C ．4＋23πD ．612．已知函数2119,0()1,0x x x f x xe x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，点,A B 是函数()f x 图像上不同两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24xO 4π2π121y xO4π2π121yxO4π2π121yxO 4π2π121y ABCDCDPOM题为选考题，考生根据要求作答．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．在93(24)x y+-的展开式中，不含x 的各项系数之和为___． 14．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域内的点都在圆2221()(0)2x y r r +-=>内，则r 的最小值是_______．15．已知,20π≤<a 设函数[]()120162014()sin ,20161x x f x x x a a ++=+∈-+ 的最大值为P ,最小值为Q ,则P +Q 的值为_______．16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在， 则B cos = ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满足n b n n a a a a 2222233221=+⋅⋅⋅+++(Ⅰ)求数列{}n b 的通项 ；(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为2万元，贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元、400元，从2015年享受此项政策的困难户中抽取了100户进行了调查统计，选取贷款期限的频数如下表： 贷款期限 6个月 12个月 18个月 24个月 36个月 频数2040201010（Ⅰ）某小区 共有3户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率； （Ⅱ）设给某享受此项政策的困难户补贴为ξ元，写出ξ的分布列，若预计 全市有3.6万户享受此项政策，估计2014年该市共要补贴多少万元． 19．（本小题满分12分）如图四棱锥P ABCD -的底面是一等腰梯形，其中//AD BC ，其中36AD BC ==，22AB DC ==，又平面PAD ⊥平面ABCD ，5PA PD ==，点O 是线段AD 的中点，经过直线OB 且与直线PA 平行的平面OBM 与直线PC 相交于点M ．（Ⅰ）确定实数t ，使得PM tMC =u u u u r u u u u r；（Ⅱ）求平面PAD 与平面OBM 夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63，焦距为42，抛物线2C ：22(0)x py p =>的焦点F是椭圆1C 的顶点．（Ⅰ）求1C 与2C 的标准方程；（Ⅱ）1C 上不同于F 的两点P ，Q 满足0FP FQ ⋅=u u u r u u u r，且直线PQ 与2C 相切，求FPQ ∆ 的面积． 21．（本小题满分12分）已知函数()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O e 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积． 23．（本小题满分10分）选修4--4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=(I)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；GAEFONDB CM(Ⅱ)过点P(0，2)作斜率为l 直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求11||||PA PB +的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x x x =-++．（Ⅰ）解不等式()3f x <； （Ⅱ）若()f x 的最小值为m ，设0a >，0b >，且a b m +=，求12a b+的最小值．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDBBDBCCDDA二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．－1； 14．52； 15． 4030； 16．7618． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． 解：(Ⅰ) 解法1：设{}n b 的公差为d ，则Θ{}n b 为单调递增的等差数列 ∴0>d 且56b b > ………1分由385626168b b b b +=⎧⎨=⎩得565626168b b b b +=⎧⎨=⎩解得⎩⎨⎧==141265b b ………4分∴256=-=b b d ………5分22)5(212)5(5+=-+=-+=n n d n b b n ∴22+=n b n ………6分 解法2：设{}n b 的公差为d ，则Θ{}n b 为单调递增的等差数列 ∴0>d ………1分由385626168b b b b +=⎧⎨=⎩得()()111292645168b d b d b d +=⎧⎪⎨++=⎪⎩解得⎩⎨⎧==241d b ………5分∴22)1(24)1(1+=-+=-+=n n d n b b n ∴22+=n b n ………6分（Ⅱ）122422++==n n b n………7分由2311231222222n b n nn n a a a a a --+++⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅①得1231123122222n b n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅② ………8分① -②得n n n n n a 434421⨯=-=+，2≥n ∴nn a 23⨯=2≥n ……9分又Θ8211==b a 不符合上式 ∴⎩⎨⎧≥⨯==2 231 8n n a nn ………10分 当2≥n 时,()()42321212382223811232-⨯=--⨯+=+⋅⋅⋅++⨯+=+-n n nn S………11分Θ81=S 符合上式 ∴4231-⨯=+n n S ,*N ∈n ………12分18．解：（I ）由已知一困难户选择贷款期限为12个月的概率是0.4，所以小区 准备享受此项政策的3户恰有两户选择贷款期限为12个月的概率是12130.40.60.288P C =⨯⨯=；………………………………………………………5分（Ⅱ）(200)0.2P ξ==，(300)0.6P ξ==，(400)0.2P ξ==，………8分 所以ξ的分布列是：ξ 200 300 400 P0．20．60．2300E ξ=（元）………………………………………………………………12分所以估计 该市共要补贴1080万元． 19．解：（I ）连接AC ，设AC OB N ⋂=，则平面PAC ⋂平面OBM MN =，因为//PA 平面OBM ，所以//MN PA ，因此PM ANt MC NC==， 又//BC AD ，所以ONA BNC :△△，所以PM AN t MC NC ==32AO CB ==；………………5分（Ⅱ）因为PA PD =，所以PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，设线段BC 的中点为E ，由ABCD 是等腰梯形，所以OE AD ⊥，如图以点O为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z因为4OP ==，2OE ==所以(3,0,0),(1,2,0),(1,2,0)A B C -，(3,0,0)D -，(0,0,4)P平面PAD 的法向量(0,1,0)m =u r ，设平面OBM 的法向量(,,n x y z =r由20n OB x y ⊥⇒+=r u u u r，由（1）得340n PA x z ⊥⇒-=r u u u r ，令1x =，得13,24y z =-=，即13(1,,)24n =-r ，………10分所以1cos ,m n -<>==u r r ， 所以平面PAD 与平面OBM 夹角的余弦值是29．………………………12分 20．解：（I ）设椭圆的焦距为，依题意有，，解得，，故椭圆的标准方程为． ………………3分又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，，故抛物线的标准方程为． ………………5分（II ）显然，直线的斜率存在． 设直线的方程为，设，，则，，y，即（）………………6分联立，消去整理得，（）．依题意，，是方程（）的两根，，，，将和代入（）得，解得，（不合题意，应舍去）．………………………………………8分 联立，消去整理得，，令，解得．经检验,,符合要求．………………………………………10分此时，，．……………………………………………12分21． 解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=-=-++． ……… 1分因为当1a >时，ln 0a >，()1ln xa a -在R 上是增函数， 因为当01a <<时，ln 0a <，()1ln xa a -在R 上也是增函数，所以当1a >或01a <<，总有()f x '在R 上是增函数， ………2分又(0)0f '=，所以()0f x '>的解集为(0,)∞+，()'0f x <的解集为(),0-∞，……… 3分 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+，单调减区间为(),0-∞． ……… 4分 （Ⅱ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． ……… 5分又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x (,0)-∞ 0 (0,)∞+()f x '-+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．………7分 因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-． ……… 9分 所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥； ………10分当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥， 函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． ………11分综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+U ． ………12分22．（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．…………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形． 因为23AE =，所以4AO =，2OE =． 因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =． 所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．…………10分23．（1）令cos ,sin ,x y ρθρθ==代入得2y x = ……5分（2）设A,B 两点对应参数为t 1,t 2,直线l 方程222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2y x =得21212240,4,2t t t t t t --==-+=，212121212()41111324t t t t PA PB t t t t +-+=+==……10分 24．解：（Ⅰ）因为=-++=()11f x x x 2,12,112,1x x x x x -<-⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩，当<-1x 时，-<>-323,2x x得-<<-312x ,当-≤≤11x ，均满足，当>1x 时，<<323,2x x ，则<<312x ，综上-<<3322x ，所以，<()3f x 的解集为-<<33{}22x x ； ……．5分 （Ⅱ）由于当-≤≤11x ，()f x 取得最小值m=2，则+=2a b ，下面做乘法：>>Q 0,0a b，则1212123()(3)2222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+（当且仅当=-=-222,422a b 时取等号），所以+12ab的最小值为322+分。