河北省秦皇岛市卢龙中学2020学年高二数学下学期期末考试试题 文

2020～2020学年度第二学期期末质量检测试题高二数学（文科）注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。

卷Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、已知集合}7,6,5,4,3,2,1{=U ，5}43{2，，，=A ，7}63{2，，，=B ，则=A C B U I （ ） A {}1,6 B {}1,7 C {}6,7 D {}1,6,7 2、已知函数()3log ,0{ 2,0x x x f x x >=≤，则19f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ） A. 4 B. 14-C. -4D. 143、已知命题200:1,10p x x ∃>-> ，那么命题p 的否定为（ ） A 201,10x x ∀>-> B 201,10x x ∀>-≤ C 2001,10x x ∃>-≤ D 2001,10x x ∃≤-≤4、02x <<是不等式13x +<成立的（ ）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要条件D 既不充分也不必要 5、设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ） A.若20z ≥,则z 是实数B.若20z <,则z 是虚数C.若z 是虚数,则20z ≥D.若z 是纯虚数,则20z <6、已知变量x 和y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A $0.4 2.3y x =+B $2 2.4y x =-C $29.5y x =-+D $0.3 4.4y x =-+ 7、函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ）A (]1,1-B (]0,1C [)1,+∞D ()0,+∞8、已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A 2 B6252D 1 9、执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（ ）A 105B 16C 15D 110、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递增，若()lg 0f x <，则x 的取值范围是( ) A.(0，1)B.(1，10)C.(1，＋∞)D.(10，＋∞)11、函数()(01)xxa f x a x=<<的图象的大致形状是( )A B C D12、已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（ ）A.1222=+y xB. 12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x总分2020～2020学年度第二学期期末质量检测试题高 二 数学（文科）一、选择题答题卡二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上。

） 13、曲线323y x x =-+在点()1,2处的切线方程为__________14、若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________ 15、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为_______________16、设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为 三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17、(本题满分10分) 在直角坐标系xOy 中，半圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．18、(本题满分12分) 设函数()32132a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y = (1)求,b c 的值；(2)若0a >，求函数()f x 的单调区间。

19、(本题满分12分)设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。

20、(本题满分12分) 某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表.数学成绩与性别是否有关；(2)规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.优分非优分总计男生女生总计100附表及公式P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝2a＋b c＋d a＋c b＋d.21、(本题满分12分) 第47届联合国大会于1993年1月18日通过193号决议，确定自1993年起，每年的3月22日为“世界水日”，以此推动对水资源进行综合性统筹规划和管理，加强水资源保护，解决日益严重的水问题．某研究机构为了了解各年龄层的居民对“世界水日”的了解程度，随机抽取了300名年龄在[10,60]内的公民进行调查，所得结果统计为如下的频率分布直方图．(1)求抽取的年龄在[30,40)内的居民人数；(2)若按照分层抽样的方法从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中抽取6人进行知识普及，并在知识普及后再抽取2人进行测试，求进行测试的居民中至少有1人的年龄在[50,60]内的概率．22、 (本题满分12分) 已知抛物线22y px = ()0p >，过点()2,0C -的直线l 交抛物线于,A B 两点，坐标原点为O ，12OA OB ⋅=u u u r u u u r(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．卢龙县中学2020学年度第二学期高二年级期末质量检测试卷 数学（文）答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBACABDCADB二、填空题（每空5分）13．3x y 1=0-- 14．(0,2) 15．4316．(-∞,-1) 17．（本小题满分10分）解：(1)半圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 4分(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3， 6分设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3， 8分由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4. 10分 18．(本小题满分12分) 解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0. 6分(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． 12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=.即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =. 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--.当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>. 所以，当1x =时，()f x 取得极大值()158f c =+，又()08f c =，()398f c =+8分则当[]0,3x ∈时，()f x 的最大值为()398f c =+ 因为对于任意的[]0,3x ∈，有()2f x c <恒成立，所以298c c +<解得1c <-或9c >因此c 的取值范围是()(),19,-∞-+∞U12分 20、（本小题满分12分）解：(1)x 男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，x 女＝45×0. 15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，4分从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关． 5分 (2)由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：优分 非优分 总计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 总计30701008分可得K 2＝100×15×25－15×45260×40×30×70≈1.79，因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”． 12分 21．（本小题满分12分）解：(1)依题意，知年龄在[30,40)内的频率P ＝1－(0.02＋0.025＋0.015＋0.01)×10＝0.3，故所求居民人数为300×0.3＝90. 6分 (2)依题意，从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中分别抽取4人和2人，记年龄在[10,20)内的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[50,60]内的2人为1,2，故抽取2人进行测试的所有情况为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A,1)，(A,2)，(B ，C )，(B ，D )，(B,1)，(B,2)，(C ，D )，(C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共15种，其中满足条件的情况为(A,1)，(A,2)，(B,1)，(B,2)，(C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共9种，故所求概率P ＝35. 12分 22．（本小题满分12分）解：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . 6分 (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m 216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝± 3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0. 12分。