4导数研究三次函数的性质

4导数研究三次函数的性质
复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。

复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；
【典型例题】
例1．已知函数32
()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围.
例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ,
（I ）求f (x )的单调递减区间；
（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
题型二：三次函数极值，最值的讨论
例3. 已知a 是实数，函数2
()()f x x x a =-；
（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．
例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<.
（1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；
（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++⋅，试判断函数()F x 的极值点个数．
【课后作业】
1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为
2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．
3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是
4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
31812343
y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
5．设函数b x a ax x x f +-+-=223323
1)( (0<a <1)． (1)求函数)(x f 的单调区间； (2)当x ∈[]2,1++a a 时，不等式|()x f
/ |≤a ，求a 的取值范围．
6.已知函数3221()21(0)32
a f x x x a x a =--+> （1）求函数()f x 的极值；
（2）若函数()y f x =的图象与值线0y =恰有三个交点，求实数a 的取值范围；
（3）已知不等式2
'()1f x x x <-+对任意(1,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.
7.已知函数()()a x x f -=2()x b -,b a ,为常数, (1)若a b ≠,求证:函数()x f 存有极大值和极小值
(2)设()x f 取得极大值、极小值时自变量分别为12,x x ,令点A 11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),
若a >b ，直线AB 的斜率为12
-
,求函数()x f 和/()f x 的公共递减区间的长度.
答案：
【典型例题】
1． 6
1≥
a .
2．（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II ）)}2(),2(m ax {)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-
)2()2(,22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f
于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．
故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，所以f (－1)＝－7，
即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．
3. 解析：（1）2'()32f x x ax =-．因为'(1)323f a =-=，
所以0a =．
又当0a =时，(1)1,'(1)3f f ==，
所以曲线()(1,(1))y f x f =在处的切线方程为3x y --2=0．
（2）令'()0f x =，解得1220,3a x x ==
． 当203
a ≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-． 当223
a ≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==． 当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而max 84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩综上所述，max 84, 2.0, 2.
a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩
4.解（Ⅰ）由已知得，323()2f x x ax b =-
+； 由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，
∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；
当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减．
∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =． 又33(1)11222f a a =-+=-，33(1)1122
f a a -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<． 由题意得(1)2f -=-，即322a -=-，得43a =．故43
a =，1
b =为所求． （Ⅱ） 2222()(3361)33(2)1x x F x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦．
∴ []222()63(2)233(2)1x x F x x a e x a x e '⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦
22[66(3)83]x x a x a e =--+-⋅．
二次函数2
66(3)83y x a x a =--+-的判别式为
22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦，
令0∆≤，得：21(2),223a a -≤≤≤+
令0∆>，得2,233
a a <->+或 ∵20x e >，12a <<，
∴当223
a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0；
当12a <<-
()0F x '=有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．
【课后作业】
1.(1,0)或(-1,-4)
2.解：f (x )＝a·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，……4分
∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . …………7分
∵f (x )在(－1,1)上是增函数，
∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在x ∈(－1,1)上恒成立．
∴t ≥3x 2－2x ， ……………11分
令g (x )＝3x 2－2x ，x ∈(－1,1)．
∴g (x )∈⎣⎡⎭
⎫－13，5，∴t ≥5. ……………15分
3． f (x )max =1,f (x )min =－2。

4.9万件 解析：令导数2'810y x =-+>，解得09x <<；令导数2'810y x =-+<，解得9x >，所以函数31812343
y x x =-+-在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)+∞上是减函数，所以在9x =处取得极大值，也是最大值。

5. (1)∵f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －3a )(x －a )，……3分
由f ′(x )>0得：a <x <3a ；由f ′(x )<0得：x <a 或x >3a ；
……………7分
则函数f (x )的单调递增区间为(a,3a )，单调递减区间为(－∞，a )和(3a ，＋∞)．
(2)∵f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －2a )2＋a 2，∴f ′(x )在[a ＋1，a ＋2]上单调递减，
∴f ′(x )max ＝f ′(a ＋1)＝2a －1，
f ′(x )min ＝f ′(a ＋2)＝4a －4. ……………11分
∵不等式|f ′(x )|≤a 恒成立，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ |2a －1|≤a 4a －4≥－a
，解得：45≤a ≤1， ……………14分 又0<a <1，∴45
≤a <1， 即a 的取值范围是45
≤a <1. ……………15分
6.（1）22'()2,f x x ax a =--令22()20f x x ax a '=--=，则x a =-或2x a =
22()20f x x ax a '∴=-->时，x a <-或，2x a >
x a ∴=-时，()f x 取得极大值37()1,26
f a a x a -=+=时，()f x 取得极小值
310(2)13f a a =-+ （2）要使函数()y f x =的图象与直线0y =恰有三个交点，则函数()y f x =的极大值大于零，极小值小于零；由（1）的极值可得
33710610103
a a ⎧+>⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩解之得3333001010a >= （3）要使2
'()1f x x x <-+对任意(1,)a ∈+∞都成立
即22221x ax a x x --<-+, 2(1)21a x a -<+ (1,)10a a ∈+∞∴-<
2211a x a
+>-对任意(1,)a ∈+∞都成立, 则x 大于2211a a
+-的最大值 22212(1)4(1)33[2(1)4]111
a a a a a a a +-+-+=-=--++--- 由(1,)a ∈+∞，310,2(1)261
a a a ->∴-+≥-，当且仅当612a =+时取等号， 221(264)1a a
+∴≤-+- 故2max 21()(426)1a x a
+>=-+-
7【答案】(1)[])2(3)()(/
b a x b x x f +--= b a ≠ 32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和3
2b a +
∴f (x )存有极大值和极小值
(2)①若a =b ,f (x )不存有减区间
②若a >b 时由(1)知x 1=b ,x 2=3
2b a + ∴A (b ,0)B ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+9)(2,322b a b a 213
29)(22
-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a )(x f ∴的减区间为)32,(b a b +即(b ,b +1),,f (x)减区间为)2
1,(+-∞b ∴公共减区间为(b ,b +21)长度为2
1。