一题多解与发散思维

Ｉ （ ６）
以上三种解法 ， 每种 解法 的依据都 不相 同 ， 是它们 但
最后都 归结到了求方程 ｘ＝ ＋ 正数根 的问题 。如果 我们 ２ｘ ｌ
事 求 ｓ８半 先 出ｉ一 ｎ １
以 有 下面 的不 同 的解 法 。
或。一 ｃ６ ｓ ３
的， 值还 可
收 稿 日期 ：０ ６ ０ — ４ ２０ — ５ ２
中 图 分 类 号 ： ７２ 文 献 标 识 码 ： 文 章 编 号 ： Ｇ １ Ａ
１Ｃ ０Ｂ棚 １ ２ ０ Ⅸ ０ （０ ６） ０ ２
这 道 题 的解 法 思 路 比 较 广 阔 ， 面 把 此题 的解 法 分 别 Ｆ
简述如下（ 在以下各种解法中均设 ＡＣ的长为 ｘ 。 ） ｃ 解法一 ： 利用相似三角形的性 质来解 因为 Ａ Ｃ Ｅ为圆 内接正五边形（ １ ２ ， Ｂ Ｄ ３图 ）
ＺＢ Ｃ ＝／Ａ Ｂ ＝ ３。 ／Ａ Ｃ ＝ １８，所 以 — ＿Ａ Ｃ ６，－ Ｂ ０。
ｓｎ１ ｉ Ｏ８
即 ａ－ ａ ＋ ｏ。 ２４ｂ ｂ＝ 解方程得 ａ （土、广 ｂ ＝２ ／ ）。由角 ａ 为锐角 ， 取 ａ （一、 ）。 ＝ ２ ／ ｂ
＝
一
Ｌ
０
， ，
＝
０
上
０
ＡＧ ＡＤ， 以 鼍 其 Ａ＝Ｇ ＡＦ ＡＣ所 ｝， 中 Ｆ Ａ ＝
（ －１ ＝２ Ｘ 所以 ｘ ） － ，
Ｘ— ｌ — Ｘ
在 数学学 习中， 常常通过一题多解的训练来培养发散
思 维 。举 例 如 下 ：
Ａ －Ｆ ＝ Ｘ １Ｆ ＝Ｂ －Ｂ Ｃ－ Ｃ 一 ，Ｇ Ｇ－ Ｆ＝ Ｂ Ｇ一（ Ｅ－Ｅ ） １ Ｂ － Ｆ ＝ 一
Ｉ
Ｘ １所 以 － 。
＝ — ，
下， 就要求 我们要 改变思维 的方 向 ， 换一个 角度去进 行思
考 ，以便找 到一 条绕 过障碍 的新 的途径 。 这就 是我们常
ｌ Ｘ— ｌ
所 以 ｘ一 一 ＝ 解这个方程得 ２ｘ １ ０，
Ｘ —１ Ｖ １ ＋ ＇ ５－
一
，
常提到 的一题多解与发散思维 。 发散 思维是思维 的一种形式 ， 它指 的是思维沿多个方
作者简介 ： 康保凤 （９ ７ ， １６ －）山西综合职 业技术学院高级讲师 。
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解 法四： 利用正弦定理来解 （ 图 ６， 如 ）五边 形 Ａ Ｃ Ｂ ＤＥ为圆 内接 正五边 形 ， 的 它
＋ ：ａ ｂ
所 有的 内角都可 以计算 出来 ，都是 １８。在 ＡＡ Ｃ 中 ， ０ｏ Ｂ
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一
题 多解 与 发散 思 维
０００） ３０６
Ｂ
Ｄ
康保 凤
（ 山西综合职 业技术学院 ， 山西太原
摘
要： 发散思维 是思 维的一种形式 ， 的是思维沿 多个 指
图 （） ７ （） ８
方 向进 行 ， 不同角度去理 解问题 ， 寻找 某一结论 的各种可 能 的条件 ， 出解决某一 问题 的设想和方法 。 提 关键词 ： 一题 多解 ； 发散思维 ； 创造思维
， ‘一 厶
．
（ 舍去 负根） 所 以 Ａ Ｃ＝
，
ｌ ￣ ＋ ／ Ｘ
—
。
（ ＡＢ Ｅ中 ， ／Ｂ Ｅ的角平分线 ， ￣ Ｃ ＣＦ Ｃ 同理
也可以求出 ｘ ）
解法三： 托勒密定理＝Ｂ Ｅ＝ｘ 如 图 ５ 。在四边形 （ ）
ＡＣ Ｂ Ｅ中 ， Ｂ＝Ｂ ＝Ａ Ａ Ｃ Ｅ＝１（ 正五边 形的边长都相等 ） ，
】＝— ｇ 舍去 负根 ） 所以 Ａ ＝— ｇ （ １ Ｖ －（ ２ － ｃ ｌＶ － ＋
， 。
向进行 。 发散思维又叫做求异思维 、 扩散思维。 它由某一事
件或事实出发 ， 从各个方面思考 ， 产生出多种答案 ， 即它的
思考方向是向外散发 的。
或 者 （ 图 ３ ，连 结 Ａ 交 Ｂ 如 ） Ｄ Ｅ于 点 Ｇ，容 易知道
＝ Ｌ ， 以 — 一 ＝ ， 所 ｘ １ ０ 解这个
【 １ 五边 形 Ａ Ｃ 例 】 设 Ｂ ＤＥ为圆 内接正 五边形 ， 角线 对
Ｂ Ｅ与 Ａ Ｃ相交于点 Ｆ如 图 １。 （ ）设正五边形的边长 为 １求 。
对 角线 Ａ 的长 。 Ｃ
方程得 ｘ＝ １ Ｖ＂－ｘ２ － Ｔ＋ ５
，
单
～
｝
我们在解决 数学 问题 的时候 ， 常规 的思考方 法就是 由
条件到结论 的思考。 但是有些问题利 用这样 的思考方法来 寻找解题途径 ， 往往比较困难 ， 甚至无从下手。 在这种情况
所 以 ＬＢ Ｃ ＝ Ａ Ｂ ＝ ＬＡ Ｆ 所 以 Ａ Ｃ Ｂ ，
ＡＡ Ｆ— Ｂ
ＡＢ， ＝ ， 中 Ｃ ＸＢ Ｂ：＇ ＝ Ａ 告 其 Ａ－＇ ＝ｃ １Ｆ Ｃ Ａ Ａ
ｓｎ３ ｉ ６
ｓｎ７ ｉ ２
ｓｎ ｉ ３６
，… ｒ ｓｎ３ ｏ ｏ ３６ ／ ２ｉ ６ ｓ 。 、 ， 所 以 ｃ
＝ —
因 ａ 一／ 争 １ 而 得 形 锐 为 此ｔ寺 ｝ ２、 ５从 解 菱 的 角 ｎ ， ０ ９
３Ｏ 。ｏ
＝
ｓｎ３ 。 ｉ ６
Ａ Ｃ＝Ｂ Ｅ＝Ｃ Ｅ＝ｘ 正五边形 的对 角线 的长都相 等 ）由托 （ ，
一 一 ＝ ， 以 ｘ Ａ — — ｘ １ ０所 ＝ Ｃ＝１ ｘ ５ — ／ ＋
— 一
勒密定理得 ＡＣＸＢ Ｅ＝Ａ Ｂ× Ｃ＋ Ｃ× Ｅ， 以 ，２ｘ １ Ｅ Ｂ Ａ 所 ｘ＝ ＋ ，
ｘ２
。
Ｃ
（ ５）
Ｃ
（去 根， 以 Ｃ 舍 负 ）所 Ａ＝
１ ＋ｖ
— 。
解法二 ：利用三角形的内角平分线的性质定理来解
（ 如图 ４ ， ）连结 Ｃ ， Ｃ Ｅ 则 Ｅ＝Ｘ 在 ＡＡ Ｃ中 ，Ｆ是 ＬＡ Ｃ ｓ Ｅ Ｅ Ｅ
的角平分线 ，
，其中 Ａ Ｃ＝Ｅ Ｃ＝ｘＡ ，Ｅ＝Ｆ ＝ Ｃ
１Ａ ， Ｆ＝ｘ ， 以 ＝ｊ丁 ， 一１ 所 Ｘ 所以 】一 一１ ０， （ ｘ ＝ 解这 个方 ２ 程得 Ｘ ＝— ５ Ｘ ２ － — －ｘＴ １ １ Ｖ＂－ ＋ １ ／