高二数学几何选讲试题答案及解析

高二数学几何选讲试题答案及解析
1.如图，在梯形中，，若，，，则梯形与梯形
的面积比是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】延长，相交于，由相似三角形知识，则有
，设，，（），则梯形的面积，梯形的面积，所以梯形与梯形的面积比是，故选择D.
【考点】平面几何中的相似三角形.
2.如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P.
（1）求证：;
（2）若⊙O的半径为，OA=OM,求MN的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】
解题思路：（1）利用等腰三角形与切割线定理进行证明；（2）利用三角形的相似性进行求解. 规律总结：直线与圆的位置关系，是平面几何问题的常见题型，常考知识由：圆内接四边形、切割线定理、相似三角形、全等三角形等.
试题解析：（1）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，
则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB
∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN
由条件，根据切割线定理，有
所以
（2）OM=2，在Rt△BOM中，
延长BO交⊙O于点D，连接DN
由条件易知△BOM∽△BND，于是
即，得BN=6
所以MN=BN-BM=6-4=2.
【考点】1.切割线定理；2.相似三角形.
3.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，BD∥XY，AC、BD相交于
E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这
里有弦切角可以利用).（2）欲求,因
,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.
试题解析：(1)证明因为XY是⊙O的切线，所以.
因为，所以，∴. 2分
因为，所以. 4分
因为，又因为，
所以. 5分
(2)解因为，，
所以， 7分
所以，即 8分
因为，，
所以.所以. 10分
【考点】（1）三角形全等的证明；（2）三角形相似的证明与应用；（3）圆性质的应用.
4.如图，是⊙的直径延长线上一点，与⊙相切于点，的角平分线交于点，则的大小为_________．
【答案】
【解析】如图所示，连接OC，则
又因为∠APC的角平分线为PQ，，在中
，
又
【考点】圆的切线的性质及判定定理
5.如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于H，E是AB的中点，EF⊥BC于F，若HC＝BH，则FC∶BF等于
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由AH⊥BC，EF⊥BC知EF∥AH，又∵AE＝EB，
∴BF＝FH，∴HC＝BH＝BF，∴FC＝BF.
6.如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：
①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；④PA·CD＝PD·AB.
其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】根据割线定理知①式正确，②③④不正确．
7.如图所示，PA切圆于A，PA＝8，直线PCB交圆于C、B，连接AB、AC，且PC＝4，
AD⊥BC于D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，则的值等于
A. B. C．2 D．4
【答案】B
【解析】要求，注意到sin α＝，sin β＝，
即＝，又△PAC∽△PBA，得＝＝＝.
8.如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是________．
【答案】4π
【解析】∵在⊙O中，∠ACD＝∠ABC＝30°，且在Rt△ACD中，AD＝1，∴AC＝2，AB＝4，
又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径为2，∴圆O的面积为4π.
9.若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的长度之和为
A．24 cm B．21 cm C．19 cm D．9 cm
【答案】A
【解析】设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则＝＝，解得x＝15 cm，y＝9 cm.故x＋y＝24 cm.
10.如图所示，设l
1∥l
2
∥l
3
，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.
【答案】8
【解析】EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，
∴＝，
又DF＝20，∴DE＝8.
11.若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50 cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．
【答案】20 cm,30 cm
【解析】设较大的三角形的周长为x cm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意得＝，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.
12.如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的长．
【答案】9
【解析】解∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA.∴＝＝.
∴AC＝，AC＝.
∴＝.设CD＝x，
则＝，解得x＝9.故DC＝9.
13.如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为
A．1,2 B．2,2 C．2,6 D．1,6
【答案】C
【解析】∵PA、PB为⊙O切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，
PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB.
∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．
即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：
△OAB，△ABP.
14.如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若
EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．
【答案】3
【解析】∵CE为⊙O切线，D为切点，
∴ED2＝EA·EB.
又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，
又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.
在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.
由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2
得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.
15.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于
A．40° B．55°
C．65° D．70°
【答案】B
【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，
∴∠EDF＝55°.
16.如图所示，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角
________________________．
【答案】∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB
【解析】弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．
17.如图所示，已知BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，∠ACB＝80°，求∠P的度数．
【答案】55°
【解析】解因为PA与⊙O相切于点A，
所以∠PAC＝∠ABP＝25°.
又因为∠ACB＝80°，所以∠ACP＝100°.
又因为∠PAC＋∠PCA＋∠P＝180°，
所以∠P＝180°－100°－25°＝55°.
18.如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于
A．4π B．8π
C．12π D．16π
【答案】D
【解析】连接OA、OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
又AB＝4，
∴OA＝OB＝4，
∴S
＝π·42＝16π.
⊙O
19.如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝3 cm，BC＝4 cm，CD⊥AB，垂足为D，求AD、BD 和CD的长．
【答案】cm cm cm
【解析】解∴AB是⊙O的直径，
∵AC⊥BC.
∵CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB.
∵AC＝3 cm，
BC＝4 cm，
∴AB＝5 cm.
∴AD＝cm，
BD＝cm.
∵CD2＝AD·BD＝×＝cm2.
∴CD＝＝cm，AD＝cm，
BD＝cm.
20.如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．
【答案】①③
【解析】因为四边形ABCD为矩形，
所以∠A＝∠D＝90°.
因为∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.
因为∠1＋∠ABE＝90°，所以∠ABE＝∠2.
又因为∠A＝∠D＝90°，所以△ABE∽△DEF.
21.如图，已知Rt△ABC的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部
分．
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
【答案】(1) 20 cm,12 cm,16 cm (2)cm， cm
【解析】解(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，
则BC＝8x，
过D作DE⊥AB，
由Rt△ADC≌Rt△ADE可知，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48，
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得：x
1＝0(舍去)，x
2
＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB，
∴AF＝＝＝ (cm)；
同理：BF＝＝＝ (cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为cm， cm.
22.如图，设AA
1与BB
1
相交于点O，AB∥A
1
B
1
且AB＝A
1
B
1
.若△AOB的外接圆的直径为1，
则△A
1OB
1
的外接圆的直径为__________．
【答案】2
【解析】∵AB∥A
1B
1
且AB＝A
1
B
1
，
∴△AOB∽△A
1OB
1
，
∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比．
∴△A
1OB
1
的外接圆直径为2.
23.如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为A．2∶1B．3∶1
C．4∶1D．5∶1
【答案】C
【解析】要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D是BC的中点，可过D作DG∥AC交BE于G，则DG＝EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC
＝4∶1.
24.如图所示，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为
________．
【答案】3∶10
【解析】由AE∶EC＝7∶3，有EC∶AC＝3∶10.
根据MN∥DE∥BC，可得DB∶AB＝EC∶AC，即得DB∶AB＝3∶10．
25.如图所示，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，求＋
的值．
【答案】
【解析】解过点D作DG∥AB交EC于G，
则＝＝＝，而＝，
即＝，
所以AE＝DG，
从而有AF＝DF，
EF＝FG＝CG，
故＋＝＋
＝＋1＝.
26.如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________.
【答案】
【解析】由平行线等分线段定理可直接得到B′C′＝.
27.已知梯形的中位线长10 cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm，则该梯形中的较大的底是________ cm.
【答案】13
【解析】设梯形较大，较小的底分别为a，b，
则有可得：a＝13.
28.如图，在▱ABCD中，设E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P、Q 两点．
求证：AP＝PQ＝QC.
【答案】见解析
【解析】证明∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，
∴DF綉BE，∴四边形BEDF是平行四边形．
∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.
∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.
∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，
∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ，∴AP＝PQ＝QC.
29.如图，直线交圆于两点，是直径，平分，交圆于点，过作
丄于.
(1)求证：是圆的切线；
(2)若,求的面积
【答案】（1）连结OD，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA．，然后利用∠EDA＋∠ODA＝90°，即DE⊥OD来得到证明。

（2）54．
【解析】（Ⅰ）连结OD，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA．
因为∠EAD＝∠OAD，所以∠ODA＝∠EAD．
因为∠EAD＋∠EDA＝90°，所以∠EDA＋∠ODA＝90°，即DE⊥OD．
所以DE是圆O的切线．
（Ⅱ）因为DE是圆O的切线，所以DE2＝EA·EB，
即62＝3(3＋AB)，所以AB＝9．
因为OD∥MN，所以O到MN的距离等于D到MN的距离，即为6
又因为O为AC的中点，C到MN的距离等于12
故△ABC的面积S＝AB·BC＝54．
【考点】三角形的面积以及圆的切线
点评：主要是考查了圆的切线定义以及切割线定理的运用，属于基础题。

30.如图，在中，直径与弦垂直，垂足在半径上，，垂足为，若，，则
【答案】1
【解析】，则，。

连接AC，则
，故，。

由解得。

【考点】几何证明
点评：关于几何证明的题目，一般都要利用到相似三角形的性质。

31.已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（）．
A．B．C．D．无法确定的
【答案】B
【解析】∵四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为，又四边形的对角和为，∴
这三个角为，从而剩余的角为，∴底面四边形的最小角是，故选B
【考点】本题考查了四边形内角和的性质
点评：熟练掌握四边形内角和的性质是解决此类问题的关键，属基础题
32.在中，,过点的直线与其外接圆交于点，交延长线于点.
（1）求证：；（2）若，求
【答案】（1）利用～证明；(2) 9
【解析】（1）,,～,
.
(2) ～,
【考点】本题考查了三角形的相似及圆的性质
点评：此类问题要求学生熟练掌握考纲要求的几个定理如射影定理、圆周角定理、相交弦定理、
圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等.
33.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，圆的半径，则
圆心到的距离为
【答案】
【解析】解：设BC=x，∵AD=4，圆O的半径r=AB=4，∴(4)2=4(4+x)，解得
BC=x=4．∴△OBC是边长为4的等边三角形，∴圆心O到AC的距离d==2故答案为：2
【考点】与圆有关的性质
点评：本题考查与圆有关的比例线段，是基础题．解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．
34.如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为；
【答案】4
【解析】连接OC,
【考点】平面几何
点评：充分利用直线与圆相切的性质，只需先求出相关量的值
35.若直线与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】解：因为作图可知
当直线与曲线为参数，且有两个不同的交点则实数的取值范围是
36.（本小题满分10分）如图，⊙O
1与⊙O
2
交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次
交于A、B、C、D、E。

求证：
【答案】见解析。

【解析】本试题主要是考查了四点共圆性质的运用，以及割线定理的运用求证线段的长度的关系的运用。

证明：因为A,M,D,N四点共圆
所以
同理：
即
37.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12和18两段,另一弦被分为,则另一弦的
长为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：设另一弦长xcm；
由于另一弦被分为3：8的两段，
故两段的长分别为3 11 xcm，8 11 xcm，
有相交弦定理可得：311 x•811 x=12•18
解得x=33
故答案为B
38.（几何证明选讲选做题）
如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆
与交于点，则＝.
【答案】
【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知
.
39.如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H， HB="2" ．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若ＰＣ＝２，求ＰＤ的长.
【答案】(1)、DE=8；（2）、PD=2
【解析】本试题主要是考查了圆内的性质和切线长定理的运用，以及相交弦定理的综合运用，求解边长问题。

40.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350 求证：ΔEAC∽ΔCBF
【答案】证明见解析
【解析】本试题主要是考查了平面几何中相似三角形的证明的求解。

利用已知中ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350 ，结合相似三角形的判定定理得到结论。

证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACE，
∵∠ECF=1350
∴△CBF∽△EAC
41.
证明：四点共圆.
如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合.已知AE的长的m，AC 的长为n,AD，AB的长是关于x的方程的两个根.
【答案】略
【解析】本小题的关键是证明∽,从而得到,
可知，到此问题得证
42.如图，空间四边形中，分别是的中点。

①求证：平面
；②求证：四边形是平行四边形。

（12分）
【答案】解：①因为为中位线，所以
又平面, 平面,所以平面
②因为为中位线，所以
又为中位线，所以
所以,即四边形是平行四边形
【解析】略
43.选修4—1：几何证明选讲。

如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，
OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转到OD．
（1）求线段PD的长;
（2）在如图所示的图形中是否有长度为的线段?若有,指出该线段;若没有,说明理
由．
【答案】（1）∵PA切圆O于点A,且B为PO中点,∴AB=OB=OA．
∴
----------------5分
（2）∵PA是切线,PB=BO=OC
------------------------10分
【解析】略
44.（12分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点
（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC
（Ⅱ）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长
【答案】（1）
又切圆于点，
而（同弧）
所以，BD平分∠ABC
（2）由（1）知，又，
又为公共角，所以与相似。

，因为AB＝4，AD＝6，BD＝8，所以AH=3
【解析】略
45.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12和18两段,另一弦被分为,则另一弦的长为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】略
46.如图,设为内的两点,且,＝＋,则的面积与
的面积之比为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．
分析：利用向量的运算法则：平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，同理求出，两个式子比求出△ABP的面积与△ABQ的面积之比
解：设=，=
则=+
由平行四边形法则知NP∥AB
所以==
同理=
故=
故答案为：B
47.如图， AB是⊙O的直径， PB， PC分别切⊙O于 B， C，若∠ACE=380，则
∠P=_______．
【答案】
【解析】略
48.（本题12分）
如图：△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。

①证明：AB·AC=AD·AE；
②若△ABC的面积S= AD·AE，求∠BAC的大小。

【答案】证明：∵
∴（2分）
∵
∴（4分）
∴
∴（6分）
(2) ∵ (10分)
∴
90° (12分)
【解析】略
49.延长平行四边形ABCD的边BC到F，AF依次交DB、DC于E、G，AE比EG大2，GF=5，则EG=________________。

【答案】4
【解析】略
50.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和
ΔACD相似的是（）
A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB
C．BE=CD，AB=AC D．AD∶AC=AE∶AB
【答案】C
【解析】因为，根据三角形相似的判定定理可知：，，或
，两个三角形都相似，只有不满足相似的条件．
【考点】相似三角形的判定。