八年级上册数学第十二章全等三角形解答题 专题训练 12916含解析.docx

第十二章《全等三角形》解答题专题训练(12)
一、解答题
1.如图，点、B , F , C , E在一条直线上，FB = CE, AB = DE, AC = DF,求
证：AB//DE.
2.如图所示，已知ZDCE=90°, ZDAC=90°,BE±AC于B,且DC=EC,请找出与AB+AD相等的线段，并说明理由.
3.如图，RtAABC中，AB=AC, ZBAC=90°,直线AE®是经过点AIS的任一直线，BD丄AE于
D, CE±AE 于E,若BD>CE,试解答：
(1) AD与CE的大小关系如何？请说明理由；
(2) 若BD=5,CE=2,求DE 的长.
5.如图，CD是ZACB的平分线，EFXCD于H,交AC于F,交BC于G.
1
6.如图，四边形ABCD 中，BA=BC, DA=DC,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做 "筝形"，其对角线AC 、BD 交于点M,请你猜想关于筝形的对角线的一条性质，并加以证 明.
猜想：
证明：
7.如图，在锐角△ABC 中，AB=2cm, AC=3cm.
（1） 尺规作图：作BC 边的垂直平分线分别交4C, BC 于点D 、E （保留作图痕迹，不要求 写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连结BD,求AABD 的周长.
&如图，两车从路段AB 的两端同吋出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同吋间后分 别到达C 、D 两地，CEXAB, DFXAB, C 、D 两地到路段AB 的距离相等吗？为什么？ £ d f 9.如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，ZA = 90° , AB=AC, D 是斜边BC 的中点，E,
F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE 丄DF,若BE=15, CF=8,求ZX/IEF 的面积.
求证：®ZCFG=ZCGF ； ®ACFE = -^BAC + Z4BC). 乙 D B
10.如图，要测量河流AB的长，因为无法测河流附近的点4,可以在AB线外任取一点
D，在AB的延长线上任取一点E,连结ED和B£＞，并且延长BD到点G,使
DG = BD ；延长ED到点F,使= 连结FG ,并延长FG到点H,使点
H.D, 4在同一直线上•证明：测量出线段HG的长就是河流AB的长.
ZA = 60°, ZC= 40°, DE 垂直平分BC,连接BD.
（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为F.（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点D到B/», BC的距离相等.
12.如图，BD，CE是ZkABC的高，S.AE = AD，求证：AB = AC.
A
13.已知：如图，AE〃BF, ZE=ZF, DE=CF,
（1）求证：AC=BD；
（2）请你探索线段DE与CF的位置关系，并证明你的结论.
'B
14.如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.
(D若固定三根木条AB, BC, AD不动，AB = AD = 2cm, BC = 5cm,如图，量得第四根木条CD
= 5cm,判断此时与是否相等，并说明理由.
(2)若固定二根木条AB，不动，AB = 2cm, BC = 5cm,量得木条CD = 5cnz,
ZB = 90，写出木条4D的长度可能取到的一个值(直接写出一个即可).
⑶若固定一根木条4B不动，AB = 2cm,量得木条CD = 5c〃.如果木条AD,BC的长度不变，当点£>移到B4的延长线上时，点C也在的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点4，C, D 能构成周长为30c加的三角形，求出木条A£>, BC的长度.
15.如图，点O在AABC的内部，且在ZBAC的角平分线上，OM丄AB,垂足为M；
ON丄AC,垂足为N,并且OB=OC.
求证：AB=AC.
16.如图，点E在长方形ABCD的边BC上，AE丄EF,点F在边CD上，已知EC=AB=3cm,
BC=5cm.
求四边形AEFD的面积.
17.已知：如图，CD丄AB 于D, BE±AC 于E, Z1=Z2.求证：OB = OC.
18.如图，在口ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F,连接BE、CF,过点A作AP〃BC, 交DC的延长线于点P.
(1)求证：△ABE9Z\DCF；
(2)当ZP满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论.
19. (1)如图1,在四边形ABCD 中，AB = AD, ZB=ZD = 90°, E、F 分别是边BC、CD
上的点，且ZEAF=丄ZBAD.求证:EF=BE + FD;
2
(2) 如图2在四边形ABCD中，AB = AD, ZB+ZD = 180°, E、F分别是边BC、CD ±的点，且ZEAF=fzBAD,⑴中的结论是否仍然成立？不用证明.
(3) 如图3在四边形ABCD中，AB = AD, ZB+ZADC= 180°, E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且ZEAF=丄ZBAD,⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
B, C, D 在同一条直线上，EAXAD, FDXAD, AE=DF, AB=DC.
A
图1 图2 图3
试说明：ZACE=ZDBF. 20.如图，点A,
【答案与解析】
一、解答题
1. 见详解
由EB = CE得到BC = FE,利用SSS证明△ ABC^ADEF,得到ZB=ZE,即可得到
AB//DE.
解:•: FB = CE ,
:.FB+FC^CE+CF,
即BC = FE,
V AB = DE, AC^DF,
A AABC^ADEF,
.\ZB=ZE,
AB//DE-
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS, ASA, AAS, SSS.
2. AC和BE,理由见解析.
根据题意通过“角角边”证明厶DAC处CBE,得到AD=BC, AC=BE,贝lj
AB+AD=AB+BC=AC=BE.
解：与AB+AD相等的线段有AC、BE.
理由：V BE±AC,
:.ZACE+ZACD=90°,
'：ZDAC=90°,
.•.ZD+Z4CD=90°,
.I ZACE=ZD,
在△D4C 与ZiCBE 中，
\z.A = ^EBC
ZD =厶BCE
I DC = EC '
:.厶DAC竺"BE (AAS),
:.AD=BC, AC=BE,
:.AB+AD=AB+BC=AC=BE.
【点睛】
本题考点：全等三角形的判定与性质.
3. （1） AD=CE,理由见解析；（2） 3.
试题分析：（1）利用角角边证ABD^ACAE；得出BD=AE, AD=CE；
（2）证法同上，从而得出BD=DE+CE.
试题解析：（8分）（1） AD = CE
因为ZBAC = 90°, BD1AE,所以ZABD=ZCAE,
又因为AB = AC, ZADB=ZAEC = 90°,根据"AAS"可得Z\ABD竺ACAE,
所以AD = CE.
（2）因为△ ABD^ACAE,所以BD = AE,
所以DE=AE-AD = BD-CE=5 — 2=3.
考点：全等三角形的判定.
4•证明见解析.
先证明AADC竺△AEC,贝IJZACD=ZACE,再由AB〃DC,得至IJZACD=ZBAC,于是
ZACB=ZBAC.
证明：TAB 〃DC
.•.ZACD=ZBAC
TAE 丄BC
AZAEC=90°
在RtAACE 和RtAACD 中
AC = AC
CE = CD
:.RtAACE^RtAACD （HL）
.・.ZACB=ZACD.
.•.ZACB=ZBAC,
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键.
5.见解析
（1）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定得出ACFH^ACGH,进而得出
ZCFG=ZCGF；
（2）根据外角的性质以及（1）中结论得出ZBAC+ZABC=ZCFG+ZCGF,即可得出答案. 证明：①TCD是ZACB的平分线，EF±CD于H,
:.ZFCH=ZGCH,
•.•在ACFH和ACGH 中，
Z.FCH =厶GCH CH = CH
IzCHF =厶CHG
:.ACFH^^CGH(ASA),
:.ZCFG=ZCGF；
②'：ZE+ZBGE=ZABC,
:.Z BAC+ ZABC= Z BAC+ ZE+ZBGE,
•: ZCGF=ZBGE,
:.Z BAC+ ZABC= ZBAC+ ZE+ZCGF,
•: ZBAC+ZE=ZCFG,
:.Z BAC+ ZABC= ZCFG+ ZCGF,
•: ZCFG=ZCGF,
1
：.^CFE = -^BAC + Z/1BC).
【点睛】
考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
6.筝形有一条对角线平分一组对角，即BD平分ZABC且BD平分ZADC；证明见解析利用SSS 定理证明厶ABD^ACBD,可得ZABD=ZCBD, ZADB=ZCDB,从而可写出关于筝形的对角线的一条性质，筝形有一条对角线平分一组对角.
解：筝形有一条对角线平分一组对角，即BD平分ZABC且BD平分ZADC
证明：•.•在AABD和ACBD中
BA=BC, DA=DC, BD=BD
.•.AABD^ACBD(SSS)
.•.ZABD=ZCBD, ZADB=ZCDB
即BD平分ZABC,且BD平分ZADC.
A
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质，掌握SSS定理及全等三角形对应角相等是本题的解题关键.
7. （1）作图见解析；（2）ABD的周长为5cm.
分析：（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分BC；
（2）利用线段垂直平分线的性质得到DB=DC,贝闲用等量代换得到AABD的周长=AB+AC,然后把AB=2cm, AC=3cm代入计算计算.
详解：（1）如图，DE为所作；
（2） VDE垂直平分BC,
.・.DB=DC,
.'.△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5 （cm）.
点睛：本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.
8 . CE=DF,理由见解析.
根据题意可得ZAEC=ZBFD=90° , AC=BD,再根据平行线的性质可得ZCAE=ZDBF, 然后再利用AAS 判定△ AEC竺△BFD,进而可得CE=DF.
解：AC=BD
又T AC〃DB
.・.ZCAE=ZDBF
又TZDFB=ZCEA=90°；
在AOBF和Z\CAE中
ACEA = ZDFB
<ZCAE = ZDBF
AC = BD
A ADBF^ACAE (AAS)
CE=DF
AC, D两地到路段AB的距离相等.
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确理解题意，找出证明三角形全等的条件.
9. 60
由"ASA"可证△ AED^ACFD,可得AE = CF = 8,可得AF = BE = 15,即可求解.
解：I•在RtAABC中，AB = AC, AD为BC边的中线，
.•.ZDAC=ZBAD=ZC=45°, AD丄BC, AD = DC,
又TDE丄DF, ADXDC,
.•.ZEDA+ZADF=ZCDF+ZFDA=90°,
.\ZEDA=ZCDF
在Z\AED 与ACFD 中，
/EDA = ZCDF
<AD = CD
ZEAD = ZC
AAAED^ACFD (ASA).
.・.AE = CF = 8,
/.AB - AE=AC - CF,
.•.AF = BE=15,
VZEAF = 90°,
1
:.S AAEF —— xAExAF = 60.
2
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求AE=CF是本题的关键.
10.见解析.
利用全等三角形的判定得出△ BED^AGFD (SAS),结合题意，根据全等三角形的性质得到△ ABD 竺△HGD (ASA),根据利用全等三角形的性质对应边相等，进而得出答案. •.•在ABED 和
Z:\GFD 中
BD = DG
< ZBDE = ZGDF ,
DE = FD
.'.△BED 竺△GFD(SAS),
.•.ZE=ZF, ZEBD=ZFGD,
.•.ZABD=ZHGD,
在ZkABD 和Z\HGD 中
ZABD = ZHGD
•: <BD = DG ,
ZBDA = ZGDH
.-.AABD^AHGD(ASA),根据利用全等三角形的性质对应边相等.
.\HG=AB.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定(ASA、SAS)与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定(ASA、SAS)与性质.
11. (1)如图所示，DF即为所求，见解析；(2)见解析.
(1) 直接利用过一点作已知直线的垂线作法得出符合题意的图形；
(2) 根据角平分线的性质解答即可.
(2) '.•△ABC 中，Z4 = 60°, ZC=40°,
ZABC=80°,
T DE垂直平分BC,
:.BD = DC,
.•.ZDBC=ZC= 40°,
Z4BD=ZDBC=40°,
即BD是ZABC的平分线，
"：DF±AB, DE±BC,
:.DF=DE,
即点D到BA, BC的距离相等.
【点睛】
此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质解答是解题关键.
12. 详见解析
直接利用已知得出ZADB=ZAEC,进而利用全等三角形的判定与性质得出答案.
BD, CE是AABC 的咼，
ZADB = ZAEC = 90°，
在AABD和AACE中，
= ZA
< AD = AE
ZADB = ZAEC
:.ABD^ ACE (ASA).
AB=AC.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.
13. (1)见解析⑵见解析
试题分析:⑴先根据两直线平行，内错角相等证得ZA=ZB,再根据,A=,B,ZE=ZF,DE=CF可证得△4ED竺ZXBFC,再根据全等三角形的性质可得AD=BC,根据线段和差关系得:AC=BD,
⑵因为(1)中厶AED竺“BFC,所以ZEDA=ZFCB,根据内错角相等,两直线平行，
可证DE//CF.
(1)TAE〃BF, .I ZA=ZB,
，ZA=ZB
在AADE 和ZkBCF 中，< AE=BF ，
ZE=ZF
L
A A ADE^A BCF, .・.AD=BC,
...AD - DC=BC - CD,
即：AC=BD .
(2)DE/7CF.
V AADE^ABCF,
.•.ZADE=ZBCF,
.・.DE〃CF.
14. (1)相等，理由见解析；(2) A/29-5<AD<A/29+5;(3) AD = 13, BC^IO或AD=8, BC=15
试题分析：（1）相等.连接AC,根据SSS 证明两个三角形全等即可.
（2） 由勾股定理求出AC,再根据三角形三边的关系求出AD 的取值范围.
（3） 分两种情形①当点C 在点D 右侧时，②当点C 在点D 左侧时，分别列出方程组即可 解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意.
试题解析：
⑴解：相等.理由如下：
连结AC,如图所示：
AD^AB,BC = CD,AC^AC
.-.AABC = AA£>C
:.ZB = ZD
(2)解：连结AC,
ZB = 90
:.AC = 7AB 2+BC 2 = V29
.•.A /29-5< AD<>/29 + 5
（只要直接写出一个符合要求的值即可，如：1, 2等）
⑶设= BC = y,
AD = 13,
BC = 10. ①当点C 在点D 右侧时，＜ x+2=y+5 2 + y + 5 + x = 30 解得: x = 13 y = io
②当点C 在点D 左侧时，＜
解得：V 卜=15
AD = &
BC = 15.
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、二元一次方程组、三角形三边关系定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面.
15•证明见解析
试题分析：利用斜边直角边定理证明ABOM和ACON全等，根据全等三角形对应角相等得到ZMBO=ZNCO,再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；
试题解析：
证明：
•.•点0在ZBAC的角平分线上，0M丄AB, ON±AC
.•.OM=ON,
又VOB=OC,
在RtABOM 与RtACON 中
OM = ON
OB = OC
RtABOM ^RtACON,
.•.ZMBO=ZNCO,
又VOB=OC,
.•.ZOBC=ZOCB,
/.ZABC=ZACB,
.・.AB=AC.
16. ｛解析｝
根据ASA可证明A ABE= AECF,利用S HWAEFD=S长方形ABCD-2S AABE即可得答案.
•.•ZCEF+ZAEB=90°, ZAEB+ZBAE=90°,
.•.ZBAE=ZCEF,
又TAB=CE, ZABE=ZECF=90°, .'.AABE^AECF,
•'•S H边JKAEFD=S出方）BABCD-2S AABE=3X5-2X——x （5-3 ） x3=9.
2
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及长方形、三角形面积公式，利用ASA证明AABE^AECF是解题关键.
17. 证明见解析
试题分析：又CD丄AB, BE丄AC, Z1=Z2,可得OE=OD, ZBDO=ZCEO=90°,再由Z BOD=ZCOE,可得△ BOD竺△COE,从而0B = OC.
试题解析：TCD丄AB, BE丄AC, Z1=Z2, .•.OE=OD, ZBDO=ZCEO=90°,又VZBOD=Z
COE, .'.△BOD 竺△COE, /.OB = OC.
考点：1.角平分线的性质；2.三角形全等的判定与性质.
18. （1）证明详见解析；（2） ZP=90。

时，四边形BECF是菱形.理由详见解析.
试题分析：（1）因为ABCD是平行四边形，所以对角相等，对边相等.而E、F又是对边中点，利用"SAS"即可证明厶ABE^ADCF
（2） ZP=90°时，四边形BECF是菱形.
要使四边形BECF是菱形，只要邻边相等即可，也就是说只要满足BE=EC即可，假设
BE=EC,由于AE=EC,所以有AE=BE, BE=CE,所以ZABE=ZBAE, ZEBC=ZECB,而ZABE+ ZBAE+ZEBC+Z ECB=180°（AABC 内角和）.所以2ZABE+2ZEBC=180°,所以ZABE+Z EBC=90°,即ZABC=90°,由于AB//CP, AP//BC,所以四边形BAPC是平行四边形，所以Z P=ZABC=909.
试题解析：
（1）证明：TABCD是平行四边形，
ZA=ZD,AB=CD,BD=AC
TE、F分别为AC,BD中点
.'.AE=FD
在AABE 和ZiDCF 中，
AB=CD, ZA=ZD, AE=FD
/. AABE^ADCF
（2）解：问题可知使四边形BECF是菱形，
/.BE=EC
又TAE=EC
.・.ZEBC=ZECB
BE=AE .\ZA=ZABE
•? ZA+ZABE+ZEBC+ZECB=1809
.•.2ZABE+2ZEBC=1809
.•.ZABE+ZEBC=909
ZABC=909
又VAB//CP, AP//BC
四边形BAPC是平行四边形
.\ZP=ZABC=90?
即ZP=90?时，四边形BECF是菱形
考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定；3.菱形的性质.
19. （1）证明见解析；（2）（1冲的结论EF= BE + FD仍然成立；（3）结论EF=BE + FD不成立，应当是EF=BE —FD.
分析：（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换.延长EB到G,使BG=DF,连接AG.目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE,那么这样EF=BE+DF 了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键.三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE,我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF, AB=AD,因此两三角形全等，那么AG=AF, Z1=Z2,那么Z1+Z3=Z2+Z3=Z EAF=1 ZBAD.由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS）,那么就能得出
2
EF=GE 了.
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明ZABG=ZADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样.因此与（1）的结果完全一样.
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在BE 上截取BG,使BG=DF,连接AG.根据（1）的证法，我们可得出DF=BG, GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的.
详解：（1）延长EB到G,使BG=DF,连接AG.
V ZABG=ZABC=ZD=90°, AB=AD,
/. AABG^AADF.
.・.AG=AF, Z1=Z2.
1
A Z1+Z3=Z2+Z3=ZEAF=- ZBAD.
2
AZGAE=ZEAF.
又VAE=AE,
.•.AAEG^AAEF.
・•・ EG=EF.
I EG=BE+BG.
・・・EF二BE+FD
(2) (1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.
(3) 结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD.
.\ZB=ZADF.
TAB 二AD,
A AABG^AADF.
・•・ ZBAG=ZDAF, AG=AF.
1
・・・ ZBAG+ ZEAD=ZDAF+ ZEAD=ZEAF= - ZBAD.
2
AZGAE=ZEAF.
VAE=AE,
A AAEG^AAEF.
.・・EG=EF
•・• EG=BE-BG
・・・EF二BE-FD.
点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形.
20.证明见解析
根据EA±AD, FD±AD,得出ZEAD=ZFDB,再根据AB=DC得出AC=BD,最后根据SAS证出厶EAC竺HFDB,即可得出ZACE=ZDBF.
解："：EA±AD, FD±AD, :. ZEAD= ZFDB=90°.
又'：AB=DC, :.AB+BC=DC+BC,即AC=BD.
在/XEAC 和ZXFDB 中，•:AE=DF, ZEAD=ZFDB, AC=BD,
.•.△E4C竺△FDB, A ZACE=ZDBF.。