人教版高数必修二第10讲：点、直线的距离和对称(教师版)

点、直线的距离和对称
一、距离问题
1. 设平面上两点()()111222,,,P x y P x y ，则
12PP
=为两点间距离
2．点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2
＋B 2
≠0)的距离d ＝
.
3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝
.
二、对称问题
1. 关于点对称问题 （1）点关于点对称
点()00,M x y 关于点(),P a b 的对称点是()002,2a x b y --．特别地，点()00,M x y 关于原点的对称点为()00,x y --．
（2）线关于点对称
已知l 的方程为：0Ax By C ++=()
22
0A B +≠和点()00,P x y ，则l 关于P 点的对称直线方程．设'
P ()'',x y 是对称直线'l 上任意一点，它关于()00,P x y 的对称点()
''
002,2x x y y --在直线l
上，代入得()()
''
00220A x x B y y C -+-+=．此直线即为所求对称直线．
2. 关于线对称问题 （1）点关于线对称
已知点()00,M x y ，直线:l 0Ax By C ++=()0A B ≠，设点M 关于直线l 的对称点为
()00,N x y ，则由1MN l k k =-得到一个关于,m n 的方程，又线段MN 的中点在直线l 得到另一个关于,m n 的方程，解方程组00
001022
n y A B m x x m y n A B C -⎧-⨯=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩ 即可求出点()00,N x y ．
特别说明：
①点()00,M x y 关于x 轴对称的点的坐标是()00,x y -，关于y 轴对称点的坐标是()00,x y - ②点()00,M x y 关于直线y x =的对称点坐标是()00,y x ，关于y x =-对称点为()00,y x -- （2）线关于线对称
已知1111:0,:0l A x B y C l Ax By C ++=++=,求直线1l 关于直线l 对称直线2l
如右图所示，在直线上任取不同于l 与1l 交点P 的任一点M ，先求出点M 关于直线l 的对称点N 的坐标，再由,N P 在2l 上，用两点式求出直线2l 的方程．
常见的对称结论有：设直线:0l Ax By C ++=．
① l 关于x 轴的对称的直线是：()0Ax B y C +-+=； ②l 关于y 轴的对称的直线是：()0A x By C -++=； ③l 关于原点的对称的直线是：()()0A x B y C -+-+=； ④l 关于y x =的对称的直线是：0Ay Bx C ++=；
⑤l 关于y x =-的对称的直线是：()()0A y B x C -+-+=；
类型一 点到直线的距离
例1：求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)3x －4y －1＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴．
解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直接代入点到直线的距离公式即可． 答案：(1)由点到直线的距离公式可得
d ＝|3×3－－－1|32＋－
2
＝165. (2)由直线y ＝6与x 轴平行，得
d ＝|6－(－2)|＝8.
或将y ＝6变形为0·x ＋y －6＝0，
∴d ＝|0×3＋－－6|02＋1
2
＝8. (3)d ＝|3|＝3.
练习1：求点P (－1,2)到直线2x ＋y －5＝0的距离；
答案：由点到直线距离公式d ＝ 5.
练习2：点A (a,6)到直线3x －4y ＝2距离等于4，求a 的值；
答案：由点到直线的距离公式|3a －4×6－2|
32＋4
2
＝4， ∴a ＝2或46
3
.
练习3：求过点A (－1,2)且与原点距离等于
2
2
的直线方程． 答案：设所求直线l ：y －2＝k (x ＋1)，原点O (0,0)到此直线距离为
2
2
，可求得k ＝－1或－7， ∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或7x ＋y ＋5＝0.
例2：已知在△ABC 中，A (3,2)、B (－1,5)，C 点在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，求C 点坐标．
解析：本题易求|AB |＝5，C 点到AB 的距离即为△ABC 中AB 边上的高．设C (x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋3，从而可建立x 0的方程求解．
答案：设点C (x 0，y 0)，
∵点C 在直线3x －y ＋3＝0上，
∴y 0＝3x 0＋3.
∵A (3,2)、B (－1,5)， ∴|AB |＝
－
2
＋－1－2
＝5.
设C 到AB 的距离为d ，则1
2
d ·|AB |＝10，∴d ＝4.
又直线AB 的方程为y －25－2＝x －3
－1－3
，
即3x ＋4y －17＝0，
∴d ＝|3x 0＋x 0＋－17|
32＋4
2
＝|15x 0－5|5＝|3x 0－1|＝4.
∴3x 0－1＝±4，解得x 0＝－1或5
3.
当x 0＝－1时，y 0＝0；当x 0＝5
3时，y 0＝8.
∴C 点坐标为(－1,0)或(5
3
，8)．
练习1：求经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程．
答案：解法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y －2＝k (x －1)，
由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|
k 2＋1
，解得k ＝4，
故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.
解法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过AB 中点． ∵k AB ＝4，
若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.
若l 过AB 中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， ∴所求直线方程为：x ＝1或4x －y －2＝0.
练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则
12PP 的中点
P 到原点的距离的最小值是（ ）
A ． D ．答案：B
类型二 两条平行线之间的距离
例3：求两平行线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：3x ＋4y ＝15的距离． 解析：由题目可获取以下主要信息： ①直线l 1与l 2的方程已知； ②l 1与l 2平行．
解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的差，从而求解．
答案：解法一：若在直线l 1上任取一点A (2,1)，则点A 到直线l 2的距离，即是所求的平行线间
的距离．如图①所示，
∴d ＝|3×2＋4×1－15|32＋4
2
＝1. 解法二：设原点到直线l 1、l 2的距离分别为|OF |、|OE |，
则由图②可知，|OE |－|OF |即为所求．
∴|OE |－|OF |＝|－15|32＋42
－|－10|
32＋42＝1，即两平行线间的距离为1. 解法三：直线l 1、l 2的方程可化为
3x ＋4y －10＝0,3x ＋4y －15＝0， 则两平行线间的距离为 d ＝|－10－－32＋4
2
＝55＝1. 练习1：两平行直线x ＋3y －4＝0与2x ＋6y －9＝0的距离是________． 答案：
10
20
练习2：已知平行线2330x y +-=与2390x y +-=，则与它们等距离的直线方程是（ ） A ．23120x y +-= B ．2360x y +-= C ．230x y += D ．2330x y ++= 答案：B
类型三 对称问题
例4：点P (－1,1)关于直线ax －y ＋b ＝0的对称点是Q (3，－1)，则a 、b 的值依次是( )
A ．－2,2
B ．2，－2 C.12， －12 D.12，12 解析：设PQ 的中点为M ，则由中点坐标公式得M (1,0)． ∵点M 在直线ax －y ＋b ＝0上，∴a ＋b ＝0. 又PQ 所在直线与直线ax －y ＋b ＝0垂直，
∴
－1－1
3－－
·a ＝－1，
∴a ＝2.故b ＝－2. 答案：B
练习1已知直线l ：y ＝3x ＋3，求点P (4,5)关于直线l 的对称点坐标． 答案：设点A (x ，y )是点P 关于直线l 的对称点，
∵A 、P 的中点在直线l 上， ∴y ＋52＝3×x ＋42
＋3，即3x －y ＋13＝0
又∵AP 与直线l 垂直， ∴y －5x －4
×3＝－1，即x ＋3y －19＝0 ②
解①、②组成的方程组可得x ＝－2，y ＝7， 即所求点的坐标为(－2,7)．
练习2：已知(),P a b 和()1,1Q b a -+是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程为（ ） A ．0x y += B ．0x y -= C ．10x y ++= D ．10x y -+=
答案：D
例5：在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：
(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小． 解析：设点B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；点C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．事实上，对于(1)，若P ′是l 上异于P 的点，则||P ′A |－|P ′B ||＝||P ′A |－|P ′B ′||<|AB ′|＝||PA |－|PB ′||＝||PA |－|PB ||；
对于(2)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C ′|>|AC ′|＝|PA |＋|PC |. 答案：(1)如图所示，设点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，
则k BB ′·k l ＝－1，
即3·b －4a
＝－1.
∴a ＋3b －12＝0.
又由于线段BB ′的中点坐标为A (a 2，b ＋42)，且在直线l 上，
∴3×a 2－b ＋4
2
－1＝0，即3a －b －6＝0.
②
解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．
于是AB ′的方程为y －13－1＝x －4
3－4
，即2x ＋y －9＝0.
∴由⎩⎪⎨
⎪⎧
3x －y －1＝02x ＋y －9＝0
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2y ＝5
.
即直线l 与AB ′的交点坐标为(2,5)． ∴点P (2,5)为所求．
(2)如图所示，设点C 关于直线l 的对称点为C ′，求出点C ′的坐标为(35，24
5
)．
∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，
AC ′和l 的交点坐标为(117，26
7)．
故P 点坐标为(117，26
7
)，为所求．
练习1：已知()()3,5,2,15A B -,直线:3440l x y -+= （1）在l 上求一点P ，使PA PB +的值最小； （2）在l 上求一点Q ，使QA QB -的值最小． 答案：（1）设点A 关于直线l 的对称点()'
00,A x y ，则
00005433353440
22y x x y -⎧=-⎪+⎪⎨-+⎛⎫⎛⎫⎪-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩ 解得0033x y =⎧⎨=-⎩ ∴()'
3,3A -
由两点式可得'
A B 的方程为18510x y +-= 又∵点P 应是'A B 和l 的交点
∴解方程组18503440x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得833
x y ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩ ∴所求点P
8,33⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）∵2AB k = ∴AB 的方程为211y x =+ 由于直线AB 与l 的交点Q 即为所求
∴解方程组3440211x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 得8
5x y =-⎧⎨=-⎩
∴所求点()8,5Q --
练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则
12PP 的中点
P 到原点的距离的最小值是（ ） A
．
2
．
．2
D
．答案：
B
1．已知点()()1,3,2,6A B -，则AB 的长及中点坐标分别是（ ）
A ．()1,9--
B ．19,22⎫-⎪⎭
C ．19,22⎫--⎪⎭
D ．19,22⎫⎪⎭
答案：B
2．若点(),6A a 到直线342x y -=的距离等于4，则a 的值是（ ） A ．2 B ．463 C ．0或2 D ．2或46
3
答案：D
3．过点()1,2A -的直线方程是（ ） A ．10x y +-= B ．750x y ++=
C ．10x y +-=或750x y ++=
D ．10x y --=或750x y ++= 答案：C
4．若点P 到点()()120,1,7,2P P 及x 轴的距离相等，则
P 的坐标是（ ） A ．()3,5 B ．()17,145- C ．()3,5或()17,145- D ．以上全不对 答案：C
5．两平行线4x ＋3y －1＝0与8x ＋6y ＋3＝0之间的距离是( )
A.25
B.110
C.15
D.12 答案：D
6.若点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是( )
A.10
B ．2 2
C. 6 D ．2 答案： B
7. 已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )
A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0
B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0
C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0
D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0 答案：B
8. 两平行直线x ＋3y －5＝0与x ＋3y －10＝0的距离是________．
答案：
102
9.已知正方形中心G (－1,0)，一边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．
答案：正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32
＝6
10
.
设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0， 由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7.
故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.
设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.
由－＋c 2|10＝6
10
，得c 2＝9或c 2＝－3.
∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.
综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
基础巩固
1．已知点A (a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )
A.2
B ．2－ 2
C.2－1
D.2＋1 答案：C
2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A ．x ＋2y －5＝0
B ．2x ＋y －4＝0
C ．x ＋3y －7＝0
D ．3x ＋y －5＝0 答案：A
3．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )
A.95
B.185
C.2910
D.295 答案：C
4．过点A (－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．
答案：3x －y ＋10＝0
能力提升
5．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 答案：B
6．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)、Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0,5]
C ．(0,5]
D ．[0，17] 答案：C
7. 已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点P (m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．
答案：4
8. 与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．
答案：x ＋y －10＝0或x ＋y ＝0
9. △ABC 的三个顶点是A (－1,4)、B (－2，－1)、C (2,3)．
(1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .
答案：(1)设BC 边的高所在直线为l ，
由题意知k BC ＝3－－
2－－
＝1，
则k l ＝－1
k BC
＝－1，
又点A (－1,4)在直线l 上，
所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，
点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|
12＋－2
＝22， 又|BC |＝
－2－
2
＋－1－
2
＝42，
则S △ABC ＝1
2·|BC |·d
＝1
2
×42×22＝8. 10. 已知直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程．
答案：解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，
∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －－t ＋1|2＝|t －－t －1|2
，
解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，
由两点式得y －324－32＝x －32
2－32，
即5x －y －6＝0，
故直线l 的方程为5x －y －6＝0.
解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得
|c －1|
2＝|c ＋1|2
，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．
解方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
y －y ＝0x ＋y －3＝0
，得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝
32
y ＝3
2
.
∴M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)， 故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0. 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在， 设l ：y －4＝k (x －2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y －4＝k x －x －y －1＝0
，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2k －5
k －1y ＝k －4
k －1
.
∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝
⎛⎭
⎪
⎫2k －3k －1，3k －4k －1，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2k －4k －1，2k －4k －1.
又点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)， 即5x －y －6＝0.。