空间距离问题
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A G・ 2a b2 - a2 ・ 2a = . b b 在 △A B C 中 , 易求得 b2 - (
AB = 2
2 3 a) 2 = 2 3
b2 -
4 2 a . 3
又由 △C EF∽ △A GB 得
2
b 2
AB AG = , CF C E
2
即
4 2 a 3
2a
=
b - a
2 2
2
b - a ・ 2a b
.
4 ( 1984 年全国高中数学联赛试题) 已知两
cx , b
,
故 PQ =
1
b a + b
2 2
・
( a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) x 2 - 2 a2 b3 x + a2 b4 ・ a b 2 2 2 2 2 2 时 , PQ 取到 a b + b c +c a abc 最小值 , 即 A′ C′ 与 B′ C 2 2 2 2 2 2 a b + b c +c a abc 的距离为 2 2 . a b + b2 c2 + c2 a2
3 a. 3
= = 4 当 x= 7
8 7 4
21 21 7
x + 12 )2 +
36 , 7 6 7. 7
21 时 , PQ 有最小值
所以 , A C 与 B D 体任意两个相邻面上的 两条不相交对角线之间 的距离都相等 . 证 如图 , 设在长 方体 A B CD - A ′ B′ C′ 图5 例5图 D′ 中 , 连结 B ′ C , A′ C′ , 在 B′ C 上取一点 P , 过 P 作 PE ⊥B ′ C′ 于 E, 于是 PE ⊥ 平面 A ′ B′ C′ D′ . 过 E 作 EQ ⊥A ′ C′ , Q 为垂足 , 于是 A ′ C′ ⊥ 平面 PQ E , 从而 PQ ⊥A ′ C′ . 令 A B = a , B C = b , A A′ = C. 由比例关系可得 PE CC′ Q E C′ E B′ C′ - B′ E = , = = . B′ E B′ C′A ′ B′ A ′ C′ A′ C′ 设 B′ E = x , 则有 PE =
课外园地
空 间 距 离 问 题
赵小云
( 杭州师范学院 , 浙江 杭州 310036)
中图分类号 :O12 - 44 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 06 - 0040 - 03
立体几何研究的对象是空间图形中各元 素之间的位置关系和数量关系 . 由于位置关 系可由数量关系来描述 , 因而立体几何研究 归根到底还是数量关系 . 空间距离是数量关 系中最为基本的一个 . 我们常见的空间距离有 : 1 ) 两点间的距离 ; 2 ) 点到直线的距离 ; 3 ) 两条平行线间的距离 ; 4 ) 两条异面直线间的距离 ; 5 ) 点到平面的距离 ; 6 ) 直线与平面平行时 , 线面间的距离 ; 7 ) 两平行平面间的距离 ; 8 ) 球面上两点间的距离 . 在上述几种距离中 , 以两点间的距离和 点到直线及平面的距离最为基本 , 而异面直 线间的距离问题最为综合 . 例 1 ( 1996 年全国高中数学联赛试题) 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘 在一起 , 恰得到一个所有二面角都相等的六 面体 , 并且该六面体的最短棱的长为 2 , 则最 远的两顶点间的距离是 . 分析 :欲求最远的两顶点间的距离 , 则需 求得该六面体中最远的两顶点间连线段的 长 . 由条件可知 , 六面体中两个正三棱锥底面 粘在一起的截面是一个正三角形 , 它的三条 棱长相等 , 且该六面体其它六条棱长也相等 .
特别地的正方体两个相邻面上不相交的两条对角线间的距离为1986年全国高中数学联赛试题如果四面体的每一个面都不是等腰三角形那么其长度不等的棱的条数最少为1997年全国高中数学联赛试题已知三棱锥s2abc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形sa四点均在以o为球心的某个球面上
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数 学 通 讯 2001 年第 6 期
HE
2
AD - A G , BE - BH ,
2 2
2
2
=
2
KF
=
CF - C K ,
又 AD =
15 , B E =
以 O1 O2 = O1 O3 = O1 O4 = O2 O3 = O2 O4 = O 3 O 4 = 2 , 因此 O 1 2O 2 O 3 O 4 可以看作是一 个棱长为 2 的正四面体 ( 如图) . 过 O 1 作正四面体的高 O 1 K , 则 K 是正 三角形 O 2 O 3 O 4 的中心 , 连 O 2 K , 则 O 2 K 2 = 3. 3 2 2 故 O1 K = O1 O2 6. 2 - O2 K = 3 由于 O 2 , O 3 , O 4 到桌面距离都等于 1 , 所以面 O 2 O 3 O 4 平行于桌面 , 于是球 O 1 上 最高点到桌面的距离为 2 2 1+ 6 +1=2+ 6. 3 3 例 3 ( 1992 年 全 国高中数学联赛试 题 ) 设 l , m 是两条异面直 线 , 在 l 上有 A , B , C 三 点 ,且 AB = B C , 过 A , 图3 例3图 B , C 分别作 m 的垂线 A D , B E , CF , 垂足依次为 D , E , F , 已知 A D 7 = 15 , B E = , CF = 10 . 求 l 与 m 的距 2 离. 解 设 L M 为直线 l 与 m 的公垂线 , L ∈l , M ∈ m . 过 m 作平面 P 平行于直线 l , 过 A , B , C 分别作平面 P 的垂线 A G , B H , C K , 垂足分别为 G , H , K , 则点 G , H , K 落 在与 l 平行的直线 l′ 上 , 连 GD , H E , KF.
于是 , 我们可进一步利用该六面体所有二面 角相等的条件 , 通过解三角形和三角形之间 的关系来确定该六面体最远两顶点间的距 离. 解 如图 , 作 C E ⊥A D , 连接 EF , 易证 EF ⊥A D , 则 ∠C EF 为 面 A D F 和面 A CD 所成 二面角的平面角 . 设 G 为 CD 的 中 点 , 同 理 ∠A GB 为面 A CD 和面 B CD 所 成 二 面 角 的 平 面角 . 由已知 , ∠C EF = 图1 例1图 ∠A GB . 设三棱锥底面 △CD F 的边长为 2 a , 侧棱 A D 长为 b. 在 △A CD 中 , C E・ b = A G・ 2a, ∴ CE =
.
4 a. 故 b = 2 , 2 a = 3 . 3 注意到 CD > A D , 则 A G < C E ,
从而求得 b =
收稿日期 :2000 - 12 - 29 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
CD = 2 3 , HC = 21 . 在 A C 上取一点 P , 过 P 作 PE ⊥HC , E 为垂足 , 则 PE ⊥平面 B CD . 过 E 作 EQ ⊥ B D , Q 为垂足 , 连结 PQ , 则 PQ ⊥B D . 设 C E = x , 根据比例关系可得
O 2 O 4 , O 3 O 4 , 因为这四个小球两两相切 , 所
∵ A B = B C , A G ∥B H ∥C K , ∴ CB =
H K.
又 ∵ A D ⊥ m , B E ⊥ m , CF ⊥ m , 由三 垂线定理得 GD ⊥m , H E ⊥m , KF ⊥m . 故 GD ∥ H E ∥ KF , 且 E , H 分 别 为 FD , KG 的中点 . 设 l 与 m 的距离为 x , 则 A G = B H = CK = LM = x. ∵ GD =
QE = a ( b - x) a + b
2 2
习 题 1 ( 1986 年全国高中数学联赛试题) 如果四 面体的每一个面都不是等腰三角形 , 那么 ( ) 其长度不等的棱的条数最少为 ( A) 3 . (B) 4 . ( C) 5 . ( D) 6 . 2 ( 1997 年全国高中数学联赛试题) 已知三 棱锥 S 2A B C 的底面是以 A B 为斜边的等 腰直角三角形 , S A = SB = S C = 2 , A B = 2 , 设 S , A , B , C 四点均在以 O 为球心的 某个球面上 . 则点 O 到平面 A B C 的距离 为 . 3 ( 1986 年全国高中数学联赛试题) 在底面 半径为 6 的圆柱内 , 有两个半径也为 6 的 球面 , 其球心距为 13 . 若作一平面与这二 球面相切 , 且与圆柱面相交成一椭圆 , 则 这个 椭 圆 的 长 轴 长 与 短 轴 长 之 和 是
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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PE C E EQ H E CH - C E = , = = . A H CH CD CH CH
数 学 通 讯 2001 年第 6 期
解之得 x = ± 6 ( 舍去负根 ) , 求得直 线 l 与 m 的距离为 6 . 例4 设有四边形 A B CD , 把 四 边 形 沿 B D 折起 , 使 △A B D 与 △B CD 所 在 平 面 成 90° 的二面角 , 若 B D = 6 , A B = A D , ∠B DC = 图4 例4图 90° , ∠B CD = 60° , ∠A = 90° , 连结 A C , 试求 A C 与 B D 间的距离 . 解 如图 , 作 A H ⊥B D , H 为垂足 , 由于 A B = A D , 所以 H 为 B D 的中点 . 由 B D = 6 , 可得 A H = B H = D H = 3 . 因为两个三角形构 成直二面角 , 可得 A H ⊥ 面 B CD . 连 HC , 则 平面 A HC ⊥ 平面 B DC. 由 ∠B CD = 60° 得
当 x =
2
3
条异面直线 a , b 所成的角为θ, 它们的公 垂线 A ′ A 的长度为 d . 在直线 a , b 上分 别取点 E , F , 设 A ′ E = m , A F = n , 求 EF ( A′ 在直线 a 上 , A 在直线 b 上) . 5 ( 1990 年全国高中数学联赛试题) 设棱锥 M2 A B CD 的 底 面 是 正 方 形 , 且 M A = M D , M A ⊥A B , 如果 △A M D 的面积为 1 , 试求能够放入这个棱锥的最大球的半 径. 答 案
于是 PE =
PQ =
2
3x 2 , EQ = 21
2
21 - 2 x , 7
PE + EQ x (x2
由 a , b , c 的对称性即可得长方体任意 两个相邻面上的两条不相交对角线之间的距 离相等 . 特别地 , 当 a = b = c 时 , 可得边长为 a 的正方体两个相邻面上不相交的两条对角线 间的距离为
1 ( A ) . 2 3 . 3 25 . 4 EF = 3
2001 年第 6 期 数学通讯
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∴ A B < CF. ∴最远的两顶点 C , F 间的距离为 3 . 例 2 ( 1978 年全 国数学竞赛试题 ) 把半 径为 1 的四个小球叠成 两层放在桌面上 : 下层 三个 , 上层一个 , 两两相 切 , 求上层小球最高点 离桌面的高度 . 图2 例2图 解 设上层小球球 心为 O 1 , 下层三个小球球心分别为 O 2 , O 3 , O4 . 连 接 O1 O2 , O1 O3 , O1 O4 , O2 O3 ,
7 , CF = 2
10 ,
当点 A , B , C 在点 L 的同一侧时 ( 当 A , B , C 不在点 L 的同侧时 , 可平移 m , 使得 A , B , C 在 L 的同侧) , 有 2 H E = KF + GD , 于 是 2
15 - x 2 , 49 - x2 = 4 10 - x 2 +
AB = 2
2 3 a) 2 = 2 3
b2 -
4 2 a . 3
又由 △C EF∽ △A GB 得
2
b 2
AB AG = , CF C E
2
即
4 2 a 3
2a
=
b - a
2 2
2
b - a ・ 2a b
.
4 ( 1984 年全国高中数学联赛试题) 已知两
cx , b
,
故 PQ =
1
b a + b
2 2
・
( a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) x 2 - 2 a2 b3 x + a2 b4 ・ a b 2 2 2 2 2 2 时 , PQ 取到 a b + b c +c a abc 最小值 , 即 A′ C′ 与 B′ C 2 2 2 2 2 2 a b + b c +c a abc 的距离为 2 2 . a b + b2 c2 + c2 a2
3 a. 3
= = 4 当 x= 7
8 7 4
21 21 7
x + 12 )2 +
36 , 7 6 7. 7
21 时 , PQ 有最小值
所以 , A C 与 B D 体任意两个相邻面上的 两条不相交对角线之间 的距离都相等 . 证 如图 , 设在长 方体 A B CD - A ′ B′ C′ 图5 例5图 D′ 中 , 连结 B ′ C , A′ C′ , 在 B′ C 上取一点 P , 过 P 作 PE ⊥B ′ C′ 于 E, 于是 PE ⊥ 平面 A ′ B′ C′ D′ . 过 E 作 EQ ⊥A ′ C′ , Q 为垂足 , 于是 A ′ C′ ⊥ 平面 PQ E , 从而 PQ ⊥A ′ C′ . 令 A B = a , B C = b , A A′ = C. 由比例关系可得 PE CC′ Q E C′ E B′ C′ - B′ E = , = = . B′ E B′ C′A ′ B′ A ′ C′ A′ C′ 设 B′ E = x , 则有 PE =
课外园地
空 间 距 离 问 题
赵小云
( 杭州师范学院 , 浙江 杭州 310036)
中图分类号 :O12 - 44 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 06 - 0040 - 03
立体几何研究的对象是空间图形中各元 素之间的位置关系和数量关系 . 由于位置关 系可由数量关系来描述 , 因而立体几何研究 归根到底还是数量关系 . 空间距离是数量关 系中最为基本的一个 . 我们常见的空间距离有 : 1 ) 两点间的距离 ; 2 ) 点到直线的距离 ; 3 ) 两条平行线间的距离 ; 4 ) 两条异面直线间的距离 ; 5 ) 点到平面的距离 ; 6 ) 直线与平面平行时 , 线面间的距离 ; 7 ) 两平行平面间的距离 ; 8 ) 球面上两点间的距离 . 在上述几种距离中 , 以两点间的距离和 点到直线及平面的距离最为基本 , 而异面直 线间的距离问题最为综合 . 例 1 ( 1996 年全国高中数学联赛试题) 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘 在一起 , 恰得到一个所有二面角都相等的六 面体 , 并且该六面体的最短棱的长为 2 , 则最 远的两顶点间的距离是 . 分析 :欲求最远的两顶点间的距离 , 则需 求得该六面体中最远的两顶点间连线段的 长 . 由条件可知 , 六面体中两个正三棱锥底面 粘在一起的截面是一个正三角形 , 它的三条 棱长相等 , 且该六面体其它六条棱长也相等 .
特别地的正方体两个相邻面上不相交的两条对角线间的距离为1986年全国高中数学联赛试题如果四面体的每一个面都不是等腰三角形那么其长度不等的棱的条数最少为1997年全国高中数学联赛试题已知三棱锥s2abc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形sa四点均在以o为球心的某个球面上
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HE
2
AD - A G , BE - BH ,
2 2
2
2
=
2
KF
=
CF - C K ,
又 AD =
15 , B E =
以 O1 O2 = O1 O3 = O1 O4 = O2 O3 = O2 O4 = O 3 O 4 = 2 , 因此 O 1 2O 2 O 3 O 4 可以看作是一 个棱长为 2 的正四面体 ( 如图) . 过 O 1 作正四面体的高 O 1 K , 则 K 是正 三角形 O 2 O 3 O 4 的中心 , 连 O 2 K , 则 O 2 K 2 = 3. 3 2 2 故 O1 K = O1 O2 6. 2 - O2 K = 3 由于 O 2 , O 3 , O 4 到桌面距离都等于 1 , 所以面 O 2 O 3 O 4 平行于桌面 , 于是球 O 1 上 最高点到桌面的距离为 2 2 1+ 6 +1=2+ 6. 3 3 例 3 ( 1992 年 全 国高中数学联赛试 题 ) 设 l , m 是两条异面直 线 , 在 l 上有 A , B , C 三 点 ,且 AB = B C , 过 A , 图3 例3图 B , C 分别作 m 的垂线 A D , B E , CF , 垂足依次为 D , E , F , 已知 A D 7 = 15 , B E = , CF = 10 . 求 l 与 m 的距 2 离. 解 设 L M 为直线 l 与 m 的公垂线 , L ∈l , M ∈ m . 过 m 作平面 P 平行于直线 l , 过 A , B , C 分别作平面 P 的垂线 A G , B H , C K , 垂足分别为 G , H , K , 则点 G , H , K 落 在与 l 平行的直线 l′ 上 , 连 GD , H E , KF.
于是 , 我们可进一步利用该六面体所有二面 角相等的条件 , 通过解三角形和三角形之间 的关系来确定该六面体最远两顶点间的距 离. 解 如图 , 作 C E ⊥A D , 连接 EF , 易证 EF ⊥A D , 则 ∠C EF 为 面 A D F 和面 A CD 所成 二面角的平面角 . 设 G 为 CD 的 中 点 , 同 理 ∠A GB 为面 A CD 和面 B CD 所 成 二 面 角 的 平 面角 . 由已知 , ∠C EF = 图1 例1图 ∠A GB . 设三棱锥底面 △CD F 的边长为 2 a , 侧棱 A D 长为 b. 在 △A CD 中 , C E・ b = A G・ 2a, ∴ CE =
.
4 a. 故 b = 2 , 2 a = 3 . 3 注意到 CD > A D , 则 A G < C E ,
从而求得 b =
收稿日期 :2000 - 12 - 29 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
CD = 2 3 , HC = 21 . 在 A C 上取一点 P , 过 P 作 PE ⊥HC , E 为垂足 , 则 PE ⊥平面 B CD . 过 E 作 EQ ⊥ B D , Q 为垂足 , 连结 PQ , 则 PQ ⊥B D . 设 C E = x , 根据比例关系可得
O 2 O 4 , O 3 O 4 , 因为这四个小球两两相切 , 所
∵ A B = B C , A G ∥B H ∥C K , ∴ CB =
H K.
又 ∵ A D ⊥ m , B E ⊥ m , CF ⊥ m , 由三 垂线定理得 GD ⊥m , H E ⊥m , KF ⊥m . 故 GD ∥ H E ∥ KF , 且 E , H 分 别 为 FD , KG 的中点 . 设 l 与 m 的距离为 x , 则 A G = B H = CK = LM = x. ∵ GD =
QE = a ( b - x) a + b
2 2
习 题 1 ( 1986 年全国高中数学联赛试题) 如果四 面体的每一个面都不是等腰三角形 , 那么 ( ) 其长度不等的棱的条数最少为 ( A) 3 . (B) 4 . ( C) 5 . ( D) 6 . 2 ( 1997 年全国高中数学联赛试题) 已知三 棱锥 S 2A B C 的底面是以 A B 为斜边的等 腰直角三角形 , S A = SB = S C = 2 , A B = 2 , 设 S , A , B , C 四点均在以 O 为球心的 某个球面上 . 则点 O 到平面 A B C 的距离 为 . 3 ( 1986 年全国高中数学联赛试题) 在底面 半径为 6 的圆柱内 , 有两个半径也为 6 的 球面 , 其球心距为 13 . 若作一平面与这二 球面相切 , 且与圆柱面相交成一椭圆 , 则 这个 椭 圆 的 长 轴 长 与 短 轴 长 之 和 是
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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PE C E EQ H E CH - C E = , = = . A H CH CD CH CH
数 学 通 讯 2001 年第 6 期
解之得 x = ± 6 ( 舍去负根 ) , 求得直 线 l 与 m 的距离为 6 . 例4 设有四边形 A B CD , 把 四 边 形 沿 B D 折起 , 使 △A B D 与 △B CD 所 在 平 面 成 90° 的二面角 , 若 B D = 6 , A B = A D , ∠B DC = 图4 例4图 90° , ∠B CD = 60° , ∠A = 90° , 连结 A C , 试求 A C 与 B D 间的距离 . 解 如图 , 作 A H ⊥B D , H 为垂足 , 由于 A B = A D , 所以 H 为 B D 的中点 . 由 B D = 6 , 可得 A H = B H = D H = 3 . 因为两个三角形构 成直二面角 , 可得 A H ⊥ 面 B CD . 连 HC , 则 平面 A HC ⊥ 平面 B DC. 由 ∠B CD = 60° 得
当 x =
2
3
条异面直线 a , b 所成的角为θ, 它们的公 垂线 A ′ A 的长度为 d . 在直线 a , b 上分 别取点 E , F , 设 A ′ E = m , A F = n , 求 EF ( A′ 在直线 a 上 , A 在直线 b 上) . 5 ( 1990 年全国高中数学联赛试题) 设棱锥 M2 A B CD 的 底 面 是 正 方 形 , 且 M A = M D , M A ⊥A B , 如果 △A M D 的面积为 1 , 试求能够放入这个棱锥的最大球的半 径. 答 案
于是 PE =
PQ =
2
3x 2 , EQ = 21
2
21 - 2 x , 7
PE + EQ x (x2
由 a , b , c 的对称性即可得长方体任意 两个相邻面上的两条不相交对角线之间的距 离相等 . 特别地 , 当 a = b = c 时 , 可得边长为 a 的正方体两个相邻面上不相交的两条对角线 间的距离为
1 ( A ) . 2 3 . 3 25 . 4 EF = 3
2001 年第 6 期 数学通讯
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∴ A B < CF. ∴最远的两顶点 C , F 间的距离为 3 . 例 2 ( 1978 年全 国数学竞赛试题 ) 把半 径为 1 的四个小球叠成 两层放在桌面上 : 下层 三个 , 上层一个 , 两两相 切 , 求上层小球最高点 离桌面的高度 . 图2 例2图 解 设上层小球球 心为 O 1 , 下层三个小球球心分别为 O 2 , O 3 , O4 . 连 接 O1 O2 , O1 O3 , O1 O4 , O2 O3 ,
7 , CF = 2
10 ,
当点 A , B , C 在点 L 的同一侧时 ( 当 A , B , C 不在点 L 的同侧时 , 可平移 m , 使得 A , B , C 在 L 的同侧) , 有 2 H E = KF + GD , 于 是 2
15 - x 2 , 49 - x2 = 4 10 - x 2 +