初中数学：分而治之（分类讨论法）

初中数学：分而治之（分类讨论法）
分而治之
【阅读与思考】
1.在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法.运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类.正确分类的标准是:对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行.
2.初中数学分类讨论问题的常见形式有:
(1)一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；
(2)题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；
(3)一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；
(4)一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；
(5)对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论.
【例题与求解】
【解析】
1.此题注意两种情况:(1)圆与AB相切时；(2)点A在圆内部，点B 在圆上或圆外时.
2.根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解.
【点评】
本题利用的知识点:勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系.
【解析】
解此方程首先须脱去方程左边的绝对值符号，这就应对x的取值范围进行分类讨论，分类标准是应使x-2及x+3各自保持正负性不变(即x-2，x+3在分类中都不能既取正值又取负值)，这样才能根据绝对值定义去绝对值符号.
【解析】
解答本题的关键在于分两种情况讨论:①当k=6或9；②当k≠6且k≠9.
【点评】
本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程.
【点评】
本题比较复杂，综合考查了相似三角形及直角三角形的性质，难度较大.
【A级能力训练】
【点评】
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题.
解题思路：分高AD在△ABC内部或外部两种情况.
【解析】
画出图形可知有两种情况:∠BAC=∠BAD+∠CAD和∠BAC=∠BAD-∠CAD.
【点评】
本题考查的是三角形内角和定理及高线的概念:高线可能在三角形内部，也可能在三角形的外部.注意本题要分两种情况讨论.
解法一：
【解析】
先在直角坐标平面内描出A、B两点,连接AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠P为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程.即可求P的坐标.
【点评】
本题考查了平面直角坐标系中勾股定理的运用，考查了分类讨论思想，本题中根据勾股定理计算P点的纵坐标x是解题的关键.
解法二：
【解析】
△APB为直角三角形，A，B，P都可为直角点，A，B可各取一个，关键是P可确定几个.画图后求解即可.
【点评】
本题考查平面直角坐标系内点的位置关系，以及考查了一元二次方程的解的情况.
【解析】
在使用分类思想解数学题时，要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答.
分类讨论一般应遵循以下原则:
(1)对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准；(2)分类要完整，不重复，不遗漏；(3)有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准一定要统一.
【点评】
本题综合考查了圆周角定理、三角形的面积公式及特殊角的三角函数值.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解.
【解析】
本题主要应用两三角形相似的判定定理，列出比例式求解即可.
【点评】
此题考查了相似三角形的判定.
【解析】
【点评】
此题主要考查了利用一元二次方程的判别式判定方程的根的情况，其中判别式若△>0，则方程有两个不相等的实数根；若△=0，则方程有两个相等的实数根；若△<0，则方程没有实数根.
【解析】
先找出底为2，高为1的所有符合条件的普通平行四边形，注意变换位置；再找出长为2，宽为1的所有矩形；接下来找出边长为√2的正方形，据此即可得到答案.
【解析】
利用直接开平方法解方程对(1)进行判断；根据因式分解法解方程
对(2)进行判断；根据分类讨论和勾股定理对(3)进行判断.
【点评】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解.
【B级能力训练】
【点评】
此题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及圆内接四边形的性质，是一道综合性较强的题，本题有两解，学生做题时注意不要漏解.
【解析】
分两种情况进行分析，△DAP~△CBP或△DAP~△PBC，从而可求得点P的个数.
【点评】
此题主要考查相似三角形的判定及梯形的性质的综合运用.
此题考查根与系数问题，将菱形的性质与一元二次方程根与系数
的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
【点评】
本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答(2)问的函数解析式需要分段求，此题难度不大.
【点评】
本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答(2)问的函数解析式需要分段求，此题难度不大.
【解析】 (1)结合题意，画出相应图形帮助解答.要分两种情况来求y 关于x 的函数表达式:①点P 在边CA 上运动时y 与x 的函数关系式；②点P 在边AB 上运动时y 与x 的函数关系式；
(2)依题意，y=1/4*S△ABC 求出x 的值即可.
【点评】
本题主要考查对相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解一元一次方程等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
【解析】
(1)首先求出顶点坐标，再代入直线解析式，分析得出二次函数解析式，利用相似△BPE~△BAF，得出m的值；(2)假设△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质分析得出C点的坐标，从而求出解析式.
【点评】
此题主要考查了中心对称的性质，以及二次函数的对称性和等腰三角形的判定，题目综合性较强，注意从已知入手细心分析.
【点评】
本题考查完全平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特殊值法.
【点评】
本题主要考查了推理与论证，关键是读懂题意，从中获取有用的信息.
【解析】
假设出三队人数，由甲队最少，丙队最多得出，甲的取值范围，再结合比赛场数确定符合题意的人数.
【点评】
此题主要考查了三元一次方程的解法，以及整数解的有关知识，题目比较简单.。