2018_2019学年高二数学下学期模拟开学考试试题理word版本

榆林市二中2018—2019学年第二学期模拟考试
高二年级数学（理科）试题
时间:120分钟满分:150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）1．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A．a∥b，a⊥b B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.1
2B．
2
2C．1 D．2
3．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为=6.5x+17.5，则t的值为（）
A. 40
B. 50
C. 60
D. 70
5．已知平面α，直线lα，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
6．如图给出的是计算1＋2＋4＋…＋219
的值的一个算法框图，则其中判断框内应填入的是( )
A ．i ＝19
B ．i ≥20
C ．i ≤19
D ．i ≤20
7．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A 、
B 、D B ．A 、B 、
C C ．B 、C 、
D D ．A 、C 、D
8．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2
－y2
2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互
为倒数，则该椭圆的标准方程是( )
A.x22＋y 2
＝1 B.x23＋y24＝1 C.x29＋y26＝1 D.x225＋y2
20＝1
9．四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，E ，F 分别为
PB ，PD 的中点，则P 到直线EF 的距离为( )
A ．1
B ．22 C. 32 D ．6
2
10．已知抛物线y 2
＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )
A ．2x －y －4＝0
B ．2x ＋y －4＝0
C ．2x －y ＋4＝0
D ．2x ＋y ＋4＝0 11．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是( )
A.24 B ．23 C.63 D ．32
12．已知点P 是抛物线y 2
＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.172 B ．3 C. 5 D ．92
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．执行如下图所示的程序框图，则输出的k 的值是 .
14．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA1→
表示向量MN →，则MN →
＝________．
15．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________．
16．命题“存在x ∈R ，使2x 2
－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，且AD ＝AA 1＝1，AB ＝2.
(1)求证：平面BCD 1⊥平面DCC 1D 1；
(2)求异面直线CD 1与A 1D 所成角的余弦值．
18．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆C ：x 2＋2y 2＝2交于A ，B 两点．
(1)求椭圆C 的长轴长和焦点坐标；
(2)若|AB |＝42
3，求 t 的值．
19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，且∠ACB＝90°，AC＝BC＝CP＝2.
求二面角B­AP­C的余弦值；(1)
求点C到平面PAB的距离．(2)
20.(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260）， [260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则
月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少
户？
21．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；
(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．
22．(本小题满分12分)已知F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2
b2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P (－1，2
2)在椭圆上，且
·
＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx
＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当
·
＝2
3，求k 的值．
高二年级开学考试数学（理科）试题答案
一、选择题
1—5：CBBCB 6—10：BACDA 11—12： CA 二、填空题
13、5 14、12AB →＋12AD →＋12AA1→
15、3 16、[－22，2 2 ]
三、解答题
17．(本小题满分10分)
解：(1)证明：在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥BC . 因为底面ABCD 是矩形，所以DC ⊥BC .又DD 1∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面DCC 1D 1. 又BC 平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面DCC 1D 1.
(2)取DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，
则D (0，0，0)，C (0，2，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)． 所以CD1→＝(0，－2，1)，DA1→
＝(1，0，1)，
所以cos 〈CD1→，DA1→
〉＝CD1→·DA1→|CD1→||DA1→|＝15·2＝1010.
所以异面直线CD 1与A 1D 所成角的余弦值是10
10.
18．(本小题满分12分)
解：(1)因为x 2
＋2y 2
＝2，所以x2
2＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，所以c ＝1，
所以长轴为2a ＝22，焦点坐标分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)． (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
因为⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2y2－2＝0，
y ＝x ＋t ，
消元化简得3x 2＋4tx ＋2t 2
－2＝0，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧Δ＝16t2－12（2t2－2）＝24－8t2＞0，
x1＋x2＝－4t
3，x1x2＝2t2－2
3，
所以|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2324－8t2，又因为|AB |＝423， 所以2324－8t2＝42
3，解得t ＝±1.
19．(本小题满分12分)
解：(1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系． 则C (0，0，0)，A (0，2，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)．
易得面PAC 的法向量为n 1＝(1，0，0)，PA →＝(0，2，－2)，PB →
＝(2，0，－2)，
n 2＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，
∴⎩⎪⎨⎪⎧n2·PA →＝0n2·PB →＝0
，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝02x －2z ＝0.可取n 2＝(1，1，1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n1·n2|n1||n2|＝13＝33.∴二面角B ­AP ­C 的余弦值为33. (2)d ＝|CA →
·n2||n2|＝23＝233，∴点C 到平面PAB 的距离为233.
20.(本小题满分12分)
解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025）×20=1， 解方程可得x =0.0075，∴直方图中x 的值为0.0075； （2）月平均用电量的众数是
=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a ，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a -220）=0.5可得a =224，∴月平均用电量的中位数为224； （3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25， 月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15， 月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10， 月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5， ∴抽取比例为
=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．
21．(本小题满分12分)
解：(1)证明：如图所示，由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y2＝－x ，
y ＝k （x ＋1）消去x 后，整理， 得ky 2＋y －k ＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得y 1·y 2＝－1. ∵A ，B 在抛物线y 2
＝－x 上，
∴y 21＝－x 1，y 2＝－x 2.∴y 21·y 2＝x 1x 2.
∴k OA ·k OB ＝y1x1·y2x2＝y1y2x1x2＝1
y1y2＝－1，∴OA ⊥OB .
(2)设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN
＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝1
2|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·（y1＋y2）2－4y1y2＝1
2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4.
∵S △OAB ＝10，∴10＝1
2
1k2＋4，解得k ＝±1
6.
22．(本小题满分12分)解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a2＋1
2b2＝1，a 2
＝b 2
＋c 2
，解得a 2
＝2，b 2
＝1，c 2
＝1，∴椭圆的方程为x2
2＋y 2＝1.
(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2
＝1相切， 则|m|k2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧
x22＋y2＝1，y ＝kx ＋m ，
得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.
∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2
>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2，x 1x 2＝2m2－2
1＋2k2，
∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2
x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝m2－2k21＋2k2＝1－k2
1＋2k2，
·
＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k21＋2k2＝2
3，∴k ＝±1.。