2019最新高中数学 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修4

(
1－tan2α
22sinα
要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．
(3)×.当cosα＝时，cos2α＝2cosα.
4224
28
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标：1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)
[自主预习·探新知]
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
S
2α
C
2α
T
2α
2．余弦的二倍角公式的变形
公式
sin2α＝2sin_αcos_α
cos2α＝cos2α－sin2α
2tanα
tan2α＝
3．正弦的二倍角公式的变形
1sin2α
(1)sinαcosα＝sin2α，cosα＝.
(2)1±sin2α＝(sin_α±cos_α)2.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()
(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()
(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．()
[解析](1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，ππ
24
(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα.
1－3
2
[答案](1)×(2)√(3)×
2．sin15°cos15°＝________.
1111
[sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝.]
1π
3．－cos2＝________.
4
1 1 1 4
2 8 2 2 2 2 2 2 4
3 1－tan 2θ 1－22 － [tan 2θ ＝ ＝ ＝－ .]
7 7 7 4 4 8
8
tan 75° ④ 1 sin 10° cos 10°
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 π
7 7 7 7 7 7 7
1
π π π 8 7 7 7 tan 75° 2tan 75° ＝2× ＝－2 3.
π
1＋cos 2 1 π 1
2 2 － [ －cos 2 ＝ － ＝ － － × ＝－ .]
4．若 tan θ ＝2 则 tan 2θ ＝________.
4 2tan θ 2×2 4 3
[合 作 探 究·攻 重 难]
给角求值
π
3π 5π (1)cos cos cos 的值为(
)
1
A ．
1 C ．
1
B ．－
1
D ．－
(2)求下列各式的值：
1－tan 275°
①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③ ；
3
－ .
【导学号：84352329】
3π 4π 5π 2π
(1)D [(1)∵cos ＝－cos ，cos ＝－cos ，
π π
2π 4π 8sin cos cos cos
π 3π 5π π
2π 4π ∴ cos cos cos ＝ cos cos cos ＝ ＝
8sin
2π 2π 4π 4π 4π 8π
4sin cos cos 2sin cos sin ＝ ＝ ＝－ .
8sin 8sin 8sin
(2)①cos 415°－ s in 415°＝ (cos 215°－ s in 215°)(cos 215°＋ s in 215°)＝ c os 215°－
sin 215°＝cos 30°＝ 3 2
.
②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－
1－tan 275° 1－tan 275°
③ ＝2×
1 tan 150°
3 2
.
④ 1 sin 10° cos 10° sin 10°cos 10°
3 2 sin 20° sin 50° cos 50° 2sin 36° 4sin 36° 4sin 36° 4
sin 50°cos 50° 2
3 2 ＝ 2sin 80° 1 1
2 2 ⎛ ⎛
π ⎫ (1)已知 cos α ＋ ⎪＝ ， ≤α ＜ ，求 cos 2α ＋ ⎪的值； (2)已知 α ∈ － ， ⎪，且 sin 2α ＝sin α － ⎪，求 α .
4 ⎭
5 2 2
3 cos 10°－ 3sin 10°
－ ＝
＝
⎛1 ⎫
2 cos 10°－ sin 10°⎪ ⎝
2 ⎭
sin 10°cos 10°
＝
－
2sin 10°cos 10°
＝ 4sin 20° ＝4.]
[规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：
直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式
子进行转化，一般可以化为特殊角.
若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求
解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的
正弦公式的形式.
[跟踪训练]
1．求下列各式的值
(1)cos 72°cos 36°；
1 3 (2) ＋ .
[ 解 ]
(1)cos 36°cos 72°＝ 2sin 36°cos 36°cos 72° 2sin 72°cos 72°
＝ ＝
sin 144° 1
＝ .
cos 50°＋ 3sin 50°
(2)原式＝
＝
⎛1 ⎫
2 cos 50°＋ sin 50°⎪
⎝2 ⎭
1
×2sin 50°cos 50°
2sin 80° ＝ ＝4.
sin 100° sin 80°
给值求值、求角问题
⎝ ⎝
4 ⎭
⎛ π π ⎫ ⎛
π ⎫ ⎝ 2 2 ⎭ ⎝
4 ⎭
(1)α ＋ 与 2α ＋ ，α － 与 2α － 具有 2 倍关系，用二倍角公式联系；
(2)2α ＋ 与 2α 差 ，用诱导公式联系．
2 ，∴3π [解] (1)∵ ≤α ＜3π 2 ＜α ＋ ＜ 4 ，
4 ⎭ ∵cos α ＋ ⎪＞0，∴ ⎛
π ⎫ ⎛
π ⎫ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭
∴sin α ＋ ⎪＝－ 1－cos 2
α ＋ ⎪＝－
⎛3⎫
4 ⎝5⎭
1－ ⎪2＝－ ，
⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ 4⎫ 3
24 ∴cos 2α ＝sin 2α ＋ ⎪＝2sin α ＋ ⎪cos α ＋ ⎪＝2× － ⎪× ＝－ ，
⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛3⎫ 7 sin 2α ＝－cos 2α ＋ ⎪＝1－2cos 2 α ＋ ⎪＝1－2× ⎪2＝ ， ⎛
π ⎫ 4 ⎭ ∴cos 2α ＋ ⎪＝ 2 cos 2α － 2 sin 2α ＝ 2 × － ⎪－ 2 × ＝－ 50 . (2)∵sin 2α ＝－cos 2α ＋ ⎪＝－⎢2cos 2 α ＋ ⎪－1⎥
⎛
π ⎫ 4 ⎭
＝1－2cos 2
α ＋ ⎪， ⎛
π ⎫ ⎛π ⎫ 4 ⎭
⎝
4 sin α － ⎪＝－sin
－α
⎪ ＝－cos ⎡π ⎢ － ⎝ －α ⎪⎭⎥⎦
＝－cos ＋α ⎫⎪， ⎛
π ⎫ 4 ⎭ ∴原式可化为 1－2cos 2
α ＋ ⎪
⎛
π ⎫ 4 ⎭ ＝－cos α ＋ ⎪，
4 ⎭ 4 ⎭ 解得 cos α ＋ ⎪＝1 或 cos α ＋ ⎪＝－ .
∵α ∈ － ， ⎪，
π ⎛ π 3π ⎫
∴α ＋ ∈ － ， ⎪，
3 ，
故 α ＋ ＝0 或 α ＋ ＝
[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：
π π π π
4 2 4 2
π π
2 2
π π 7π
2 4
≤α ＋ 4 ＜ 4 .
⎛
π ⎫ 3π π 7π ⎝ 4
⎝
5
⎝ 2 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 5⎭ 5 25
⎝ 2 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝5⎭ 25
⎝ 2 2 2 ⎛ 24⎫ 2 7 31 2 ⎝ 25⎭ 25
⎛ π ⎫ ⎡ ⎛
π ⎫ ⎤ ⎝ 2 ⎭ ⎣ ⎝ 4 ⎭ ⎦
⎝
⎝
⎭
⎛π ⎫⎤
⎣ 2 4
⎛π ⎝ 4 ⎭
⎝
⎝
⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫
1 ⎝ ⎝ 2
⎛ π
π ⎫ ⎝ 2 2 ⎭
4 ⎝ 4
4 ⎭ π π 2π
4 4
cos ＋x ⎪
[解]
∵0＜x ＜ ，∴ －x ∈ 0， ⎪.
∴cos －x ⎪＝ .
－2x ⎪
又 cos 2x ＝sin －x cos －x ⎪ ⎪
⎛π ⎫ ⎛π ⎫ ⎭ cos ＋x ⎪
＝sin ⎢ －
＋x ⎪⎥⎭⎝ ＝sin －x ⎪＝ ，
cos 2x ＝sin －2x ⎪＝2sin －x ⎪cos －x .⎪
即 α ＝－ 或 α ＝
.
7 ⎛
24⎫ 336
[解] 由例 2(1)解析知 sin 4α ＝2sin 2α cos 2α ＝2× × － ⎪＝－
. 2．将例 2(1)的条件改为 sin －x
⎪＝ ，0＜x ＜ ，求 的值． π⎝ 4 ⎭ 13 ⎛ ⎫ 又 sin ⎛
π －x ＝ ，⎪
4⎝ 4 ⎭ ⎝ 13 13 169 5 13
π
5π 4 12
母题探究：1.在例 2(1)的条件下，求 sin 4α 的值．
25 ⎝ 25⎭ 625
⎛π ⎫ 5 π cos 2x
⎝ 4 ⎭
π π ⎛
π ⎫ 4 4 ⎝ 4 ⎭
⎫ 5 ⎝ 4 ⎭ 13
⎛π ⎫ 12
⎝ 4 ⎭ 13
⎛π ⎫
⎝ 2 ⎭
＝2sin
5 12 120
＝2× × ＝ ，
⎛π ⎫ ⎝ 4 ⎭
⎡π ⎛π ⎫⎤ ⎣ 2 4 ⎦
⎛π ⎫ 5
⎝ 4 ⎭ 13
120
169 24
∴原式＝ ＝ .
13
[规律方法] 解决条件求值问题的方法
有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适
合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
当遇到\f(π ,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论
沟通.
⎛π ⎫ ⎛π ⎫ ⎛π ⎫
⎝ 2 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭
类似的变换还有：
cos2x＝sin ＋2x⎪＝2sin ＋x⎪cos ＋x，⎪
sin2x＝cos －2x⎪＝2cos2 －x⎪－1，
sin2x＝－cos ＋2x⎪＝1－2cos2 ＋x⎪等.
tanθ＋1tanθ－1
(2)证明：
3tan12°－3
tan2θ－11－tan2θ
3
2
＝
23
1
2
⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫
⎝2⎭⎝4⎭⎝4⎭
⎛π⎫⎛π⎫
⎝2⎭⎝4⎭
⎛π⎫⎛π⎫
⎝2⎭⎝4⎭
化简证明问题
[探究问题]
1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？
提示：通常要切化弦后再进行变形．
2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？
提示：由复杂一侧向简单一侧推导．
11
(1)化简：＋＝________.
212°－
＝－4 3.
[思路探究](1)通分变形．
(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值
(1)－tan2θ[(1)原式＝
－tan2θ.
tanθ－1＋tanθ＋1
θ＋θ－
＝
＝
－
＝
2tanθ2tanθ
(2)左边＝
3sin12°－3cos12°
cos12°
212°－
＝
⎛1⎫
23 sin12°－cos12°⎪
⎝2⎭
2sin12°cos12°cos24°
－
sin24°cos24°
－23sin48°
＝
sin48°
＝－43＝右边，所以原等式成立．]
[规律方法]证明三角恒等式的原则与步骤
观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
证明恒等式的一般步骤：
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，法消
6
设
－
A －2B
＝ (cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B )
⎛
sin 2θ ⎫ (2)法一：左边＝cos 2θ 1－ ⎪
⎛ sin 2θ ⎫
＝cos θ 1－ ⎪
＝cos 2θ (1－tan 2θ )＝左边． ⎝ cos 2θ ⎭ 1．下列各式中，值为 3
2 2 ＝1－cos 30°＝1－ 3；sin 215°＋cos 215°＝1，故选 B.] B [易知 f (x )＝2cos 2
x －sin 2
x ＋2＝3cos 2
x ＋1＝ (2cos 2x －1)＋ ＋1＝ cos 2x ＋ ，则
3．若 sin α ＝3cos α ，则sin 2α
除差异，达到证明的目的.
[跟踪训练]
2．求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ；
(2)cos 2θ (1－tan 2θ )＝cos 2θ .
1＋
[证明]
(1)左边＝
2
A ＋2B
1－
2
＝
A ＋2
B ＋
2
A －2B
1
2
＝cos 2A cos 2B ＝右边，
∴等式成立．
⎝ cos 2θ ⎭
＝cos 2θ －sin 2θ ＝cos 2θ ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ ＝cos 2θ －sin 2θ
2
[当 堂 达 标·固 双 基]
2
的是( )
A ．2sin 15°cos 15°
C ．2sin 215°
B ．cos 215°－sin 215°
D ．sin 215°＋cos 215°
1 3
B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝ ；2sin 215°
2
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则(
)
A ．f (x )的最小正周期为 π ，最大值为 3
B ．f (x )的最小正周期为 π ，最大值为 4
C ．f (x )的最小正周期为 2π ，最大值为 3
D ．f (x )的最小正周期为 2π ，最大值为 4
3 3 3 5
2 2 2 2
f (x )的最小正周期为 π ，当 x ＝k π (k ∈Z)时，f (x )取得最大值，最大值为 4.]
cos 2α
＝________.
cos2α
＝
2sinαcosα
cos2α
＝
2sinα
cosα
＝
6cosα
6[
sin2α
4．设sin2α＝－sinα，α∈ ，π⎪，则tan2α的值是________.
由α∈ ，π⎪知sinα≠0，
∴cosα＝－，∴α＝
2π
∴tan2α＝tan
4π
5．已知＜α＜π，cosα＝－.
[解](1)因为cosα＝－，＜α＜π，
所以sinα＝，
所以tanα＝
sinα
(2)因为sin2α＝2sinαcosα＝－，
cos2α＝2cos2α－1＝，
cosα
＝6.]
⎛π⎫
⎝2⎭
3[∵sin2α＝－sinα，
∴2sinαcosα＝－sinα.
⎛π⎫
⎝2⎭
1
23
，
π
3
＝tan
3
＝ 3.]
π4
25
(1)求tanα的值；
(2)求sin2α＋cos2α的值．
4π
52
3
5
3
cosα
＝－
4
.
24
25
7
25
24717
所以sin2α＋cos2α＝－
25
＋
25
＝－
25.。