人教版中考数学压轴题 易错题难题专题强化试卷学能测试试卷

一、中考数学压轴题
1．已知四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P ，G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD =PG ，DF ⊥PG 于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，连结EF ．
（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时．
①求证：DF =PG ；
②若AB =3，PC =1，求四边形PEFD 的面积；
（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
2．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x
=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．
（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；
②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．
3．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．
（3）如图3，点M 的坐标为（32
，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．
4．已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=23，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB 折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，90EOF ∠=︒，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =，3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 也停止运动，设点P 的运动时间为()t s ，PDO △的面积为S ．
（1）分别写出点B 到OF 、OE 的距离（用含t 的代数式表示）；
（2）当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，求S 与t 之间的函数关系式；
（3）设点P 到BD 的距离为h ，当15h OD =时，求t 的值； （4）若在点P 出发的同时，点Q 从点B 以每秒43
个单位长度的速度向终点A 运动，当点Q 停止运动时，点P 与矩形ABCD 也停止运动，设点A 关于PQ 的对称点为E ，当PQE 的一边与CDB △的一边平行时，直接写出线段OD 的长．
6．已知：如图，二次函数213222
y x x =-++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90︒，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．
（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ∆的面积最大时点D 的坐标；在DEB ∆的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．
（2）在DEB ∆的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．
7．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系
(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．
①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；
(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；
(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．
8．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，
，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当2≤a ≤3时，
①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；
②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；
（2）已知函数()10Z x x x
=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．
9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．
已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．
（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；
（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；
（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝
12
x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．
10．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝13
，BC ＝8．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）求⊙O 的半径OC ；
（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．
11．如图，抛物线2
y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式．
（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．
①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．
②当S 取得最值时，求点P 的坐标．
（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．已知：如图①，在等腰直角ABC ∆中，斜边2AC =．
（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=︒；
（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；
（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=︒，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由．
13．（1）如图①，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，13AB =，5BC =，则tan A 的值是_______．
（2）如图②，在正方形ABCD 中，5AB =，点E 是平面上一动点，且2BE =，连接CE ，在CE 上方作正方形EFGC ，求线段CF 的最大值．
问题解决：（3）如图③，O 半径为6，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点, A B 在O 上，点C 在O 内，且3
tan 4
A =．当点A 在圆上运动时，求线段OC 的最小值．
14．（1）探究发现
数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”
经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：
在直线21y x =-上任取点()01A -，
， 向左平移3个单位得到点()31，
'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．
因为2y x n =+过点()31，
'--A ， 所以61n -+=-，
所以5n =，
填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为
（2）类比运用
已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；
（3）拓展运用
将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．
15．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点
A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点
B ，24O
C OB ==．
（1）如图1，求a m 、的值；
（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，当154
d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211
y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．
16．已知：菱形ABCD，点E 在线段BC 上，连接DE，点F 在线段AB 上，连接CF、DF， CF 与DE 交于点G，将菱形ABCD 沿DF 翻折，点A 恰好落在点G 上．
（1）求证：CD=CF；
（2）设∠CED= x，∠DCF= y，求y 与x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，当x=45°时，以CD 为底边作等腰△CDK，顶角顶点K 在菱形ABCD 的内部，连接GK，若GK∥CD，CD=4 时，求线段KG 的长．
17．如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm，点P从点B出发，沿B→C方向以1．5cm/s 的速度运动到点C停止，同时点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，过点P作BC的垂线，过点Q作BC的平行线，两直线相交于点M．设点P的运动时间为x（s），△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）（规定：线段是面积为0的图形）．
（1）当x= （s）时，PQ⊥BC；
（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；
（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．
18．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2
23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．
（1）如图1，求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若728
CG AG =，求点P 的坐标．
19．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC
（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；
（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．
①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证
明）；
②取BF的中点G，连接OG，判断OG与AD的数量关系，并说明理由；
（3）若四边形ABCD的周长为8，直接写出GE2＋GF2＝____．
20．已知：AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，点D为⊙O上一点，连接CD，交AB 于点M，AE为∠DAM的平分线，交CD于点E．
（1）如图1，连接BE，若∠ACD=22°，求∠MBE的度数；
（2）如图2，连接DO并延长，交⊙O于点F，连接AF，交CD于点N．
①求证：DM2+CN2=CM2；
②如图3，当AD=1，AB=10时，请直接写出
．．．．线段ME的长．
21．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm．bcm，满足(a－3)2＋|2a＋b－9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿
B→C→D运动，最终到达点D，设运动时间为t s．
（1）a＝______cm，b＝______cm；
（2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？
（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．
22．在△ABC中∠B=45°，∠C=30°，点D为BC边上任意一点，连接AD，将线段AD绕A
顺时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．
（1）如图1，点E 落在BA 的延长线上时，∠EDC= （度）直接填空．
（2）如图2，点D 在运动过程中，DE ⊥AC 时，AB=4 ，求DE 的值．
（3）如图3，点F 为线段DE 中点，AB=2a ，求出动点D 从B 运动到C ，点F 经过的路径长度．
23．已知，抛物线212y x bx c =
++与y 轴交于点()0,4C -与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为()2,0．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图1，若点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作//PE AC ，交BC 于E ，连接CP ，求PCE ∆面积的最大值．
（3）如图2，若直线y x m =+与线段AC 交于点M ，与线段BC 交于点N ，是否存在M ，N ，使得OMN ∆为直角三角形，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．
24．（1）（发现）如图1，在ABC 中，//DE BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD BE ⊥，3CD =，5BE =，求BC DE +的值．
思考发现，过点E 作//EF DC ，交BC 延长线于点F ，构造BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：BC DE +的值为______．
（2）（应用）如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD 与BC 不平行且AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ．若3CD =，5AB =，DAB CBA ∠=∠，求AC 的长．
（3）（拓展）如图4，已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，FD FB =，且30BFD ∠=︒，60EBF ∠=︒，判断AC 与DF 的数量关系并证明．
25．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线
l 交O 于A
B 、两点．
（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB的长度．
OM=．
（2）已知M是O一点，1cm
①若折叠后的圆弧经过点M，则线段AB长度的取值范围是________．
②若折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，则线段AB的长度为_________cm．
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一、中考数学压轴题
1．E
解析：（1）①详见解析；②8；（2）（2）四边形PEFD是菱形，证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD ，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到DF=PG；
②先判断四边形PEFD是菱形，然后求出22
3110
+=P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形，则△DHG∽△PMG，根据相似三角形的性质，即可求出答案；
（2）根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则
AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明
△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得
∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形．
【详解】
解：（1）①证明∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD ，∠A= ∠C=∠ADC=90°，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，
∵ PD=PG ，
∴∠PGD=∠PDG ，
∴∠ADF=∠CDP ，
∴△ADF ≌△CDP （ASA ），
∴DF=DP ，
∵ PD=PG ，
∴DF=PG ；
②∵线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE
∴∠GPE=∠DHG=90°， PG=PE=DF= PD
∴PE ∥DF
∴四边形PEFD 是菱形
在Rt △DCP 中，AD=AB=3，PC=1，PG=DP=223110+= 过点P 作PM ⊥AD 于点M ，则四边形CDMP 是矩形
∴DM=MG=PC=1，DG=2DM=2，
∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM
∴△DHG ∽△PMG
∴DG GH PG MG = 即=110
GH ∴GH=
10， PH=PG-GH=410 由（1）DF=DP=10
∴四边形PEFD 的面积是DF PH ⋅=10×
4105
=8 ； （2）四边形PEFD 是菱形 ；
作PM ⊥DG 于M ，如图2，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD=AB ，
∵四边形ABPM 为矩形，
∴AB=PM ，
∴AD=PM ，
∵DF ⊥PG ，
∴∠DHG=90°，
∴∠GDH+∠DGH=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG ，
在△ADF 和△MPG 中
FAD PMG AD MP ADF MPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADF ≌△MPG （ASA ），
∴DF=PG ，而PD=PG ，
∴DF=PD ，
∵线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，
∴∠EPG=90°，PE=PG ，
∴PE=PD=DF 而DF ⊥PG ，
∴DF ∥PE ，且DF =PE ，
∴四边形PEFD 为平行四边形，
∵DF=PD ，
∴四边形PEFD 为菱形．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．
2．E
解析：（1）①EC ＝2； ②748CE <<；（2）点D 的坐标为233(,)82-或113(,)55
- 【解析】
【分析】
（1）①根据A (－4，3)和反比例函数图象上点的特征可得E 、F 的坐标，从而可表示出AE 、AF 并求得
43=AE AF ，从而证得△AEF ∽△ACB ，利用相似三角形的性质的折叠的性质可推出12
EC AC =，即可求得结果； ②当D 在BO 上时，由折叠的性质和同角的余角相等证得△AEF ∽△BAD ，设AF =x ，利用勾
股定理可列出方程，解之得AF 的长，进而求出AE 、CE 的长，即可得出CE 的取值范围； （2）由△ABD 是等腰三角形，可得AD BD =或AD AB =，分情况进行求解即可．
【详解】
解:（1）①由题意得(,3)3k E ，(4,)4--k F ，
∵k 0<，则3=-
k EC ，4=-k FB ， ∴43=+k AE ，34=+k AF ， ∴14(12)43313
3(12)44
+
+===++k k AE k AF k ， ∵由A (－4，3)得：4,3AC AB ==， ∴
43=AC AB ， ∴AE AC AF AB
=， 又∵∠A =∠A ，
∴△AEF ∽△ACB ，
∴∠AEF =∠ACB ，
∴EF ∥CB ，
如图2，连接AD 交EF 于点H ，
由折叠的性质得：AH =DH ，
∵D 在BC 上，
∴1==AE AH EC DH
，则AE EC =， ∴122=
=EC AC ； ②由折叠得EF 垂直平分AD ，
∴90AHE =︒∠，则90∠+∠=︒EAH AEF ，
又∵90∠+∠=∠=︒BAD EAH BAC ，
∴∠=∠BAD AEF ，
如图，当D 落在BO 上时，∵90∠=∠=︒EAF ABD ，
∴△AEF ∽△BAD ， ∴=AE AF AB BD ，则43
==AB AE BD AF ， ∴4393344=÷
=⨯=BD AB ， 设AF =x ，则FB =3－x ，FD=AF =x ，
在Rt △BDF 中，由勾股定理得：222FB BD FD +=， 即2229(3)4⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
x x ，解得：7532=x ， ∴7532=
AF ， ∴44752533328
==⨯=AE AF ， ∴2574488=-=-
=CE AE ， ∴748
CE <<，即折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），CE 的取值范围为748
CE <<； （2）∵△ABD 是等腰三角形，显然AB AD ≠，
∴AD BD =或AD AB =，
①当AD BD =时，BAD ABD ∠=∠，
由（1）得：∠=∠BAD AEF ，
∴∠=∠ABD AEF ，
如图，过点D 作//DG x 轴分别交AB 、y 轴于点M 、N ，
则DM AB ⊥，4==MN AC ，
∴90∠=∠=︒BMD EAF ，1322==BM AB ， ∴△AEF ∽△MBD ，
∴=AE AF MB MD ，则43
==MB AE MD AF ， ∴43393248
=÷=⨯=MD MB ， ∴923488=-=-=DN MN MD ， ∴点D 的坐标为233(,)82
-； ②当AD AB =时，如图，过点D 作//DG x 轴分别交AB 、y 轴于点M 、N ，
则3AD AB ==，DM AB ⊥，4==MN AC ，
∴90∠=∠=︒AMD EAF ，
由（1）得∠=∠BAD AEF ，
∴△AEF ∽△MAD ，
∴=AE AF AM MD ，则43
==AM AE MD AF ， 设4=AM a ，则3=MD a ，
在Rt △MAD 中，由勾股定理得：222+=AM MD AD ，
即222(4)(3)3+=a a ，解得：35
a =，
∴125=AM ，95
=MD ， ∴123355=-=-
=BM AB AM ，911455=-=-=DN MN MD ， ∴点D 的坐标为113(,)55
-； 综上所述，若折叠后，△ABD 是等腰三角形，点D 的坐标为233(,)82-或113(,)55-． 【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的判定与性质，解题的关系是熟悉反比例函数图象上点的特征和熟练掌握相似三角形的判定与性质．
3．E
解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为
【解析】
【分析】
(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为
2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式； （2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为
()2,23x x
x -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；
（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45
GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-m ， 可得m²-4m=
45（1-m ），解方程即可. 【详解】
（1）∵抛物线的顶点为C （1，4），
∴设抛物线的解析式为2
(1)4y a x =-+，
∵抛物线过点B,（3，0），
∴20(31)4a =-+，
解得a=-1，
∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+，
即2y x 2x 3=-++；
（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，
∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，
当y=0时，2023x x =-++，
解得x=-1或x=3，
∴A （-1.0），
∴点D （0,3），
∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，
则OM=x ，AM=x+1， ∴22(1)33
x AN AM +==， ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=
-=-， ∴21210(,)3333
x x F --+， ∴2210332233
FN EM x x x +-
-++==， 解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；
（3）设直线DM 的解析式为y=kx+b ，过点D （0,3），M （32
，0）， 可得，3023
k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，
解得k=-2，b=3，
∴直线DM 的解析式为y=-2x+3，
∴
3
2
OM=，3
OD=，
∴tan∠DMO=2，
如图，过点P作PT∥y轴交直线DM于点T，过点F作直线GH⊥y轴交PT于点G，交直线CE于点H.
∵PQ⊥MT，
∴∠TFG=∠TPF，
∴TG=2GF，GF=2PG，
∴PT=2
5 GF，
∵PF=QF，
∴△FGP≌△FHQ，∴FG=FH，
∴PT=4
5 GH.
设点P（m，-m²+2m+3），则T（m，-2m+3），∴PT=m²-4m，GH=1-m，
∴m²-4m=4
5
（1-m），
解得：
111201
m
-
=
2
11201
m
+
=（不合题意，舍去），
∴点P 11201
-
【点睛】
本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.
4．C
解析：（1）y=﹣x23；（2）
333
⎝⎭
,
33
8
；（3）存在，P(
3
3
，
5
3
)或(﹣
3 3
，﹣
7
3
)
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，过点C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）求出直线OC的解析式，根据点M到OC的最大距离时，面积最大；平行于OC的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）分两种情况求出直线AP与y轴的交点坐标，然后求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=23，∠BOC=∠BAO=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
过点C作CD⊥OA于D，
则OD=
1
2
33 3
3
，
所以，顶点C33），
设过点O，C，A抛物线的解析式为为y=ax2+bx，
则
2
2
3)33
(23)230
a b
a b
⎧=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
解得：
1
23 a
b
=-⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
∴抛物线的解析式为y=﹣x23；（2）∵C33），
∴直线OC
的解析式为：y =，
设点M 到OC 的最大距离时，平行于OC
的直线解析式为y m =+，
联立2y m y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩， 消掉未知数y
并整理得，20x m +=，
△=
（2-4m=0，
解得：m=
34
．
∴2304x +=，
∴x =； ∴点M 到OC 的最大距离=34×sin30°=313428
⨯=；
∵OC ==
∴13288MOC S ∆=
⨯⨯=； 此时，
M ⎝⎭
，最大面积为8； （3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，
∴23=， ∴直线AP 与y 轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
当直线AP
经过点（0）、（0，2
）时，解析式为23
y x =-+，
联立22y x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩
，
解得110x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
2253x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 所以点P
的坐标为（3，53），
当直线AP
经过点（0）、（0，﹣2
）时，解析式为23
y x =-，
联立223y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩
解得110x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
22373x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
； 所以点P
的坐标为（73-）． 综上所述，存在一点P
，53
73），使∠OAP=∠BOA ． 【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M 到OC 的距离最大是，平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP 的解析式是解题的关键．
5．B
解析：（1）35t ，
45t ；（2）当0＜t ＜3时，224655
S t t =--+；当3＜t ＜7时，23391052
S t t =+-；（3）75；（4）132，7713，477 【解析】
【分析】
（1）过点B 作x 轴垂线，利用相似三角形可求得； （2）分2种情况，一种是点P 在AD 上，另一种是点P 在CD 上，然后利用三角形面积公式可求得；
（3）直接令15
h OD =即可求出； （4）存在3种情况，第一种是：QP ∥BD ，第二种是EP ∥CD 或EQ ∥CB ，第三种是QE ∥BD ，分别按照几何性质分析求解．
【详解】
（1）如下图，过点B 作x 轴垂线，垂足为点M
根据平移的特点，可得∠BOM=∠DBA
∵∠BMO=∠DAB=90°，∴△BMO ∽△DAB
∵AB=4，AD=BC=3
∴BD=5 ∵BM OM BO DA BA BD ==，OB=t ∴BM=3
5t ，OM=
45t （2）情况一：当0＜t ＜3时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N
∵∠NDP=∠BDA ，∠PND=∠BAD ，∴△PND ∽△BAD
∵AP=t ，∴PD=3－t
∵PN BA PD BD =，∴PN=()435
t - 图中，OD=5+t ∴()
()243124562555OBD t S t t t -=+=--+ 情况二：当3＜t ＜7时，图形如下，过点P 作OD 的垂线，交OD 于点N
图中，PD=t －3，OD=5+t
同理，△PND ∽△BCD ，可得PN=()335t - ∴()()
2331
3395251052
OBD t S t t t -=+=-+- （3）情况一：当0＜t ＜3时
则h=PN=
()435t - ∵15h OD =
∴()
43555t t -+= 解得：t=75
情况二：当3＜t ＜7时
则h=PN=
()335t - ∵15h OD =
∴()
33555
t t -+= 解得：t=7(舍)
（4）情况一：QP ∥BD ，图形如下
由题意可得：BQ=
43t ，AP=t ，则QA=4－43t ，DP=3－t ∵BD ∥QP
∴QA PA QB PD
= 代入得：4()2243t t =-
解得：t=32
∴OD=5+t=13 2
情况二：如下图，EP∥CD(或EQ∥CB)
∵点E是点A关于QP对称的点
∴EP=PA，EQ=QA，QP=QP
∴△APQ≌△EPQ
∵EP∥CD，CD⊥AD
∴EP⊥AD
∴∠APQ=∠EPQ=45°
∴△AQP是等腰直角三角形，AQ=PA
∴4－4
3 t
t=
解得：t=12 7
∴OD=5+t=47 7
情况三：如下图，QE∥BD，延长QE交DA于点N
∵△APQ≌△EPQ，∴∠QEP=∠QAP=90°
∴△ENP是等腰直角三角形
∵QN∥BD，∴∠NQA=∠DBA，∠A=∠A
∴△QNA∽△BDA
∵BQ=4
3
t
，AP=t，QA=4－
4
3
t
，DP=3－t
∴QN QA AN BD BA AD
==
∴QN=5－43t ，NA=3－t ∴EN=QN －QE=QN －QA=1－
3
t ，NP=NA －AP=3－2t ，EP=PA=t ∴在Rt △ENP 中，()
2223213t t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 解得：t=1213
或t=3(舍) ∴OD=5+t=
7713 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是利用相似将图形中各边用t 表示出来．
6．D
解析：（1）D 点坐标为()2,3，矩形MONC 的最小值为
645；（2）交点坐标为（3+13，﹣
9313+），（3﹣13，﹣9313-），（1﹣5，15-），（1+5，
15+）． 【解析】
【分析】
（1）当△DEB 的面积最大时，直线DN 与抛物线相切，可求出直线DN 的解析式和点D 的坐标，当矩形面积最小时，MG 最小，求出MG 的最小值即可．
（2）分两种情况讨论，以DB 为边和以DB 为对角线，分别求出此时ON 的解析式，联立求出交点坐标即可．
【详解】
解：（1）如图1所示，过点D 作y 轴的平行线交MB 于点H ，过点O 作OQ 垂直MB 于点Q ，
令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，
∴E（0，2），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，则
2, 40,
b
k b
=
⎧
⎨
+=⎩
解得
1
2
2
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线BE的解析式为y＝﹣1
2
x+2，
∵DN∥BE，
∴设直线DN的解析式为y＝﹣1
2
x+b1，
S△DEB＝DH
1
2
⨯•（x B﹣x E），
∴当△DEB面积最大时，即是DH最大的时候，
∴﹣1
2
x+b1＝﹣
1
2
x2+
3
2
x+2，
△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，解得b1＝4，点D（2，3），
S矩＝2S△MOG+S平形四边形，
∴矩形面积最小时就是MG最小，
设QG＝m，MQ＝n，
∴MG＝m+n，
∵m+n≥
∵△QOG∽△MQO，
∴OQ2＝m•n，
∵△OEQ∽△EOB，
∴OQ
＝
5
，
∴m•n＝16
5
，
∴m+n
．
∴MG
，
∴S 矩＝2S △MOG +S 平形四边形＝
645
． （2）分两种情况讨论， 情况一：当GN ∥DB 时，
直线DB 的解析式为：y ＝﹣32
x +6， 则直线NG 的解析式为y ＝﹣
32x ， ∴﹣32x ＝﹣12x 2+32
x +2，
解得x 1＝x 2＝3
∴交点坐标为（），（3）， 情况二：DB 为对角线时，此时NG 必过DB 的中点（3，
32）， 设直线ON 的解析式为y ＝k 1x ，
则k 1＝12
， ∴直线OD 的解析式为y ＝
12x ， 12＝﹣12x 2+32
x +2，
解得x 1＝1x 2＝
∴交点坐标为（1），（），
综上所述：交点坐标为（），（3），（1﹣
），（）． 【点睛】
此题考查了二次函数的性质以及二次函数与几何相结合的问题，转化矩形面积最小和三角形面积最大为某条线段的最值为解题关键．
7．C
解析：（12CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3． 【解析】
【分析】
（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②
根据限距关系的定义判断即可．
（2）直线3y x b =
+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解
即可．
（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．
【详解】
（1）①如图1中，
∵D （-1，0），E(03，
∴OD=1，3OE =
∴3OE tan EDO OD
∠== ∴∠EDO=60°，
当OP ⊥DE 时，3•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小， 当点P 与E 重合时，OP 3
当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒=
当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，
故答案为：32
332CP ≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，
故点O 与线段DE 满足限距关系．
故答案为O ．
（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），
当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，
此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ，
∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，
∴1+b ≥2（1-b ），
解得13
b ≥，
∴b 的取值范围为131b ≤＜． 当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系，
当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点，
此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为
121b -，最大距离为b+1， ∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，
∴11212b b ⎛⎫+≥-
⎪⎝⎭， 而11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭
总成立， ∴b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为13b ≥
． （3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，
两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，
∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系，
∴2r+2≥2（2r-2），
解得r ≤3，
故r 的取值范围为0＜r ≤3．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
8．A
解析：（1）①(1,2),(2.5,0)A C ；②2232m ≤；（2）最小值为2．
【解析】
【分析】
（1）①根据“特征点”的定义判断即可；
②如图2中，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，1(22,0)W ，当⊙W 2与直线y =−x +3相切
时，2(32,0)W +，结合图象，⊙W 与图中阴影部分有交点时，⊙W 上存在满足条件的特
征点．
（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x
+的值最小（如图3中）．
【详解】
解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5，
又∵2≤a ≤3，
∴A ，C 是特征点，
故答案为：(1,2),(2.5,0)A C ； ②如图1，∵2≤a ≤3，
∴直线y =−x +2和直线y =−x +3之间的区域（包括两直线）上的点都为“特征点”， 直线y =−x +2和直线y =−x +3分别与x 轴的交点为(2,0)P ，(3,0)Q ，
当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，设切点为M ，
此时2OP =，1MW MP ⊥，145MPW ∠=︒，则1MPW 为等腰直角三角形， ∵⊙W 1半径为1，即11MW =，
∴12PW =1122OW OP PW =-=-
∴1(22,0)W ，
当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，设切点为N ，
此时3OQ =，2NW NQ ⊥，245NQW ∠=︒，则2NQW 为等腰直角三角形，
同理得：22QW =，则2232OW OQ QW =+=+，
∴2(32,0)W +，
观察图象可知满足条件的m 取值范围为：2232m ≤
（2）根据0x >，在第一象限画出1y x
=的图象，
∴在此坐标系中图象上的点就是1x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， ∵特征点满足x y a +=（x ≥0，a 为常数），
∴在此图象上对应的就是1x a x
+=， ∴将特征点的图象由原点向外扩大，当与反比例函数1y x =
的图象第一次有交点时，1x x +出现最小值，
如图2，由x >0可将1x a x
+=整理得：210x ax -+=， ∴2()40a ∆=--=，解得：12a =，22a =-（舍去），
∴2a =，
∴12Z x x =+=，即()10Z x x x
=+>的最小值为2．
【点睛】
本题属于反比例函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．
9．C
解析：（1）C ；（2）﹣12≤x k 22﹣1≤x k 2；（3）m≤3﹣10或10
【解析】
【分析】
（1）由题意可知当Q 与A 重合时，点C 在以AP 为直径的圆上，所以可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ；
（2）根据题意由两点的距离公式可得2，分别画以AP 和BP 为直径的圆交x 轴于4个点：K 1、K 2、K 3、K 4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；
（3）由题意先根据直线y=12
x+3，当x=0和y=0计算与x 轴和y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在A 的左侧和右侧，先计算圆E 与直线y=
12x+3相切时m 的值，从而根据图形可
得结论．
【详解】
解：（1）如图1，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ，
故答案为：C ；
（2）∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．
∴AP ＝BP ＝22(20)(11)--+--＝22，
如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，
∵OP ＝OG ＝1，OE ∥AB ，
∴PE ＝AE 2，
∴OE ＝12
AG ＝1， ∴K 1（﹣12，0），k 2（120），k 32﹣1，0），k 4（2，0）， ∵点K 为点P 与线段AB 的共圆点，
∴﹣12≤x k ≤122﹣1≤x k 2；
（3）分两种情况：
①如图3，当M 在点A 的左侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12
x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，。