62算术平均数与
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2 2 2
都为正数， 例2：已知 ：已知a,bຫໍສະໝຸດ Baiduc,d都为正数， 都为正数 求证： 求证：( ab + cd )( ac + bd ) ≥ 4abcd
练习 1.“a>0且b>0”是“a+b≥2 ab 的( 且 是 (A)充分不必要 充分不必要 ( C)充要 充要 )条件 条件
(B)必要不充分 必要不充分
极值定理
已知x,y都为正数，求证： 已知 都为正数，求证： 都为正数 为定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P （1）如果积 为定值 ，那么当 ）如果积xy为定值 时 有最小值
1 2 为定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 S （2）若x+y为定值 ，那么当 ） 为定值 时 有最大值 4
2
证明： 证明：∵ ( a ) 2 + ( b ) 2 ≥ 2 a b
∴
a + b ≥ 2 ab
a+b ≥ ab 即： 2 a+b 当且仅当 a = b 时, = ab 2
a+b 为 a, b 的算术平均数， 称 的算术平均数， 2
的几何平均数。 称 ab 为 a, b 的几何平均数。
a 注意：1．这个定理适用的范围：, b ∈ R
利用均值不等式求最值应注意三点： 利用均值不等式求最值应注意三点： ⅰ）条件（或目标）式中各项必须都是正数 条件（或目标）式中各项必须都是正数; 正数 目标式中含变数的各项的和或积必须是定值 ⅱ)目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）； 目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）； ⅲ）等号成立的条件必须存在. 等号成立的条件必须存在 等号成立的条件必须存在
2 2 2
求证：
a + b + c ≥ ab + bc + ca
证：∵ a 2 + b 2 ≥ 2ab
b 2 + c 2 ≥ 2bc
c 2 + a 2 ≥ 2ca
以上三式相加： a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2ab + 2bc + 2ca 2( ∴
a + b + c ≥ ab + bc + ca
2
当a = b时， − b) = 0 (a 2 2 ⇒ a + b ≥ 2ab 2 当a ≠ b时， − b) > 0 (a
①定理适用范围： ②取“=”的条件：
a =b
a, b ∈ R
2. 定理 ：如果 a, b是正数，那么 a + b ≥ ab 定理2： 是正数，
（当且仅当
时取“ ） 时取 a = b “=”）
x +2
2
=
x +2+
2
1 x +2
2
练习 2 1.求函数 1.求函数 的最值． 的最值．
2.求函数 2.求函数 最大值．
的
练习3 练习3 若正数x 满足6x+5y=18 6x+5y=18， xy的最大值 的最大值． 1. 若正数x，y满足6x+5y=18，求xy的最大值 2．设 求 且 的最大值． 的最大值．
(D)既不充分也不必要 既不充分也不必要
2.b>a>0,则下列等式中一定成立的是（ ） 则下列等式中一定成立的是（ 则下列等式中一定成立的是
a+b A. a > > ab > b 2 a+b > ab > a C. b > 2
a+b >a B. b > ab > 2 a+b D. b > a > > ab 2
+
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于 两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 它们的几何平均数。
a+b 我们把 看做两个正数a, b 的等差中项， 2
ab 看做正数 a, b 的等比中项，那么定理2可以
叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
a > b > 0 ⇒ n a > n b(n ∈ N, 且n > 1) 1 1 a > b, ab > 0 ⇒ < a b
1. 定理 如果 a, b ∈ R，那么 a2 + b2 ≥ 2ab 定理1.如果 （当且仅当a = b 时取“=”） 当且仅当 时取“ ） 证明：
a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2
6 x • 5 y 1 6 x + 5 y 2 81 27 1. 目标式 xy = ≤ ( ) = = 30 30 2 30 10
2.目标式
6.2算术平均数与 6.2算术平均数与 几何平均数
复习： 性质1 复习： 性质
性质2 性质 性质3 性质 性质4 性质
a > b, c < d ⇒ a − c > b − d
性质5 性质
a > b, b > c ⇒ a > c a > b ⇔a + c > b + c a > b, c > d ⇒ a + c > b + d
a +b 3. ≥ ab 的几何解释： 2
D
a+b ab 2
A
a
C
b
B
CD = ab
a+b 而半径 ≥ CD = ab 2
4.关于“平均数”的概念： 关于“平均数”的概念： 关于
a1 , a2 ,L , an ∈ R + , n > 1且n ∈ N * 则： 1．如果
a1 + a 2 + L + a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n n a a L a 叫做这n个正数的几何平均数。 1 2 n
例1
1 求函数 y = x + ( x ≥ 0) x +1
最小值， 最小值，并求相应的 的值． x的值．
的
例2
求函数 的最大值． 的最大值．
例练习1 判断正误 练习1 练习 函数y=x+ 的最小值为2 （1）函数y=x+ 的最小值为2 （2）已知1≤x≤3, 2≤y≤4,则当x=y=3时，xy有最大值 已知1≤x≤3 ≤y≤4 则当x=y=3 xy有最大值 x=y= 1 9 x 函数y= （3）函数y= 的最小值为2 的最小值为2 + 3 x2
2.基本不等式：
a1 + a 2 + L + a n ≥ n
n
a1 a 2 L a n n ∈ N * , a i ∈ R + ,1 ≤ i ≤ n
语言表述： 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
5.举例： 举例： 举例 例1.已知 a, b, c ∈ R
a > b ⇔b < a
性质6 性质 性质7 性质 性质8 性质 性质9 性质
a > b, c > 0 ⇒ ac > bc a > b, c < 0 ⇒ ac < bc a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd
n n
a > b > 0 ⇒ a > b (n ∈ N, 且n > 1)
都为正数， 例2：已知 ：已知a,bຫໍສະໝຸດ Baiduc,d都为正数， 都为正数 求证： 求证：( ab + cd )( ac + bd ) ≥ 4abcd
练习 1.“a>0且b>0”是“a+b≥2 ab 的( 且 是 (A)充分不必要 充分不必要 ( C)充要 充要 )条件 条件
(B)必要不充分 必要不充分
极值定理
已知x,y都为正数，求证： 已知 都为正数，求证： 都为正数 为定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P （1）如果积 为定值 ，那么当 ）如果积xy为定值 时 有最小值
1 2 为定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 S （2）若x+y为定值 ，那么当 ） 为定值 时 有最大值 4
2
证明： 证明：∵ ( a ) 2 + ( b ) 2 ≥ 2 a b
∴
a + b ≥ 2 ab
a+b ≥ ab 即： 2 a+b 当且仅当 a = b 时, = ab 2
a+b 为 a, b 的算术平均数， 称 的算术平均数， 2
的几何平均数。 称 ab 为 a, b 的几何平均数。
a 注意：1．这个定理适用的范围：, b ∈ R
利用均值不等式求最值应注意三点： 利用均值不等式求最值应注意三点： ⅰ）条件（或目标）式中各项必须都是正数 条件（或目标）式中各项必须都是正数; 正数 目标式中含变数的各项的和或积必须是定值 ⅱ)目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）； 目标式中含变数的各项的和或积必须是定值（常数）； ⅲ）等号成立的条件必须存在. 等号成立的条件必须存在 等号成立的条件必须存在
2 2 2
求证：
a + b + c ≥ ab + bc + ca
证：∵ a 2 + b 2 ≥ 2ab
b 2 + c 2 ≥ 2bc
c 2 + a 2 ≥ 2ca
以上三式相加： a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2ab + 2bc + 2ca 2( ∴
a + b + c ≥ ab + bc + ca
2
当a = b时， − b) = 0 (a 2 2 ⇒ a + b ≥ 2ab 2 当a ≠ b时， − b) > 0 (a
①定理适用范围： ②取“=”的条件：
a =b
a, b ∈ R
2. 定理 ：如果 a, b是正数，那么 a + b ≥ ab 定理2： 是正数，
（当且仅当
时取“ ） 时取 a = b “=”）
x +2
2
=
x +2+
2
1 x +2
2
练习 2 1.求函数 1.求函数 的最值． 的最值．
2.求函数 2.求函数 最大值．
的
练习3 练习3 若正数x 满足6x+5y=18 6x+5y=18， xy的最大值 的最大值． 1. 若正数x，y满足6x+5y=18，求xy的最大值 2．设 求 且 的最大值． 的最大值．
(D)既不充分也不必要 既不充分也不必要
2.b>a>0,则下列等式中一定成立的是（ ） 则下列等式中一定成立的是（ 则下列等式中一定成立的是
a+b A. a > > ab > b 2 a+b > ab > a C. b > 2
a+b >a B. b > ab > 2 a+b D. b > a > > ab 2
+
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于 两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 它们的几何平均数。
a+b 我们把 看做两个正数a, b 的等差中项， 2
ab 看做正数 a, b 的等比中项，那么定理2可以
叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
a > b > 0 ⇒ n a > n b(n ∈ N, 且n > 1) 1 1 a > b, ab > 0 ⇒ < a b
1. 定理 如果 a, b ∈ R，那么 a2 + b2 ≥ 2ab 定理1.如果 （当且仅当a = b 时取“=”） 当且仅当 时取“ ） 证明：
a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2
6 x • 5 y 1 6 x + 5 y 2 81 27 1. 目标式 xy = ≤ ( ) = = 30 30 2 30 10
2.目标式
6.2算术平均数与 6.2算术平均数与 几何平均数
复习： 性质1 复习： 性质
性质2 性质 性质3 性质 性质4 性质
a > b, c < d ⇒ a − c > b − d
性质5 性质
a > b, b > c ⇒ a > c a > b ⇔a + c > b + c a > b, c > d ⇒ a + c > b + d
a +b 3. ≥ ab 的几何解释： 2
D
a+b ab 2
A
a
C
b
B
CD = ab
a+b 而半径 ≥ CD = ab 2
4.关于“平均数”的概念： 关于“平均数”的概念： 关于
a1 , a2 ,L , an ∈ R + , n > 1且n ∈ N * 则： 1．如果
a1 + a 2 + L + a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n n a a L a 叫做这n个正数的几何平均数。 1 2 n
例1
1 求函数 y = x + ( x ≥ 0) x +1
最小值， 最小值，并求相应的 的值． x的值．
的
例2
求函数 的最大值． 的最大值．
例练习1 判断正误 练习1 练习 函数y=x+ 的最小值为2 （1）函数y=x+ 的最小值为2 （2）已知1≤x≤3, 2≤y≤4,则当x=y=3时，xy有最大值 已知1≤x≤3 ≤y≤4 则当x=y=3 xy有最大值 x=y= 1 9 x 函数y= （3）函数y= 的最小值为2 的最小值为2 + 3 x2
2.基本不等式：
a1 + a 2 + L + a n ≥ n
n
a1 a 2 L a n n ∈ N * , a i ∈ R + ,1 ≤ i ≤ n
语言表述： 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
5.举例： 举例： 举例 例1.已知 a, b, c ∈ R
a > b ⇔b < a
性质6 性质 性质7 性质 性质8 性质 性质9 性质
a > b, c > 0 ⇒ ac > bc a > b, c < 0 ⇒ ac < bc a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd
n n
a > b > 0 ⇒ a > b (n ∈ N, 且n > 1)