高考数学一轮复习22导数的定义与计算学案理
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。
2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。
5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。
8. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。
七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。
鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。
2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。
2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。
3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。
导数的概念及其意义——高三一轮复习导学案
导数的概念及其意义2023.10.26课前一题记函数)(x f 的导函数是)(x f '，若)(x f ＝xx f 1)1(2-'，则)1(f '的值为 . 学习目标：1. 理解导函数的概念；2. 理解导数的几何意义；3. 学会应用导数的几何意义；4. 学会利用导数求曲线的切线方程。
温故知新：1．导数的概念对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到 ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到 ．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(1) 如果当Δx →0时， x y ΔΔ无限趋近于一个确定的值，即x y ΔΔ有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记作 或y ′|x ＝x 0，即xx f x x f x y x f x x ΔΔΔΔΔΔ)()(lim lim )(00000-+=='→→ (2)当0x x =时，)(0x f '是一个唯一确定的数，当x 变化时，)(x f y '=就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)，记为)(x f '(或y ′)，即x x f x x f y x f x ΔΔΔ)()(lim )(0-+='='→. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ．一、导数与图象问题例1. 函数f (x )的图象与其在点P 处的切线如图所示，则)1()1(f f '-等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．4变式. 已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，其中A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是( )A ．)()()(321x f x f x f '>'>'B ．)()()(123x f x f x f '>'>'C ．)()()(213x f x f x f '>'>'D ．)()()(231x f x f x f '>'>'例2. 函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0)3()2()1(>'>'>'f f fB ．0)3()2()1(<'<'<'f f fC ．)3()2()1(0f f f '<'<'<D ．)3(0)2()1(f f f '>>'>'变式1. 已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的图象是( )变式2. 已知函数y ＝f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、求切线方程 例3. 函数f (x )＝x ln(－2x )，则曲线y ＝f (x )在x ＝2e -处的切线方程为变式. 曲线y ＝xx ln ＋x 在点(1,1)处的切线方程为例4. 曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为 ， .变式1. 若过点P (1,0)作曲线y ＝x 3的切线，则这样的切线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条变式2. 过原点与曲线y ＝(x －1)3相切的切线方程为 .本堂小结：作业布置：1. 完成学案2. 课时作业163. 订正纠错。
高考数学第一轮复习教案——导数
高考复习——导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4．了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。
掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数及解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．5．导数的定义导数定义及求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则及某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)． (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数．(3)如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y-∆+=∆；(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)取极限，得导数xyx f x ∆∆=→∆00lim)('。
高中数学教学备课教案导数的定义和计算方法
高中数学教学备课教案导数的定义和计算方法高中数学教学备课教案导数的定义和计算方法一、导数的定义导数是微积分学中的基础概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在高中数学中，我们主要关注导数的几何意义和计算方法。
几何意义：函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，表示函数图像在该点处的切线斜率。
计算方法：常见的计算导数的方法有几何法、基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则以及链式法则等。
二、导数计算方法1. 几何法几何法是一种直观且易于理解的方法，通过绘制函数的图像，利用图形上两点间的斜率来求导数。
例如，对于函数y=f(x)，可以选择两个点A(x,f(x))和B(x+Δx,f(x+Δx))，其中Δx为一个趋近于0的小量。
利用这两个点构成的割线的斜率，可以近似地表示函数在点x处的导数。
当Δx趋近于0时，割线逐渐逼近函数图像上的某一点，即为函数在该点处的切线。
切线的斜率就是函数在该点处的导数，即f'(x)。
2. 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式是根据导数的定义和基本初等函数的性质得出的。
高中数学教学备课教案常用的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
常数函数的导数为0，幂函数的导数公式为n*x^(n-1)，指数函数的导数为a^x*ln(a)，对数函数的导数为1/x，三角函数的导数公式为cos(x)、sin(x)、tan(x)等。
通过掌握这些导数公式，可以快速计算各种复杂函数的导数。
3. 导数的四则运算法则导数的四则运算法则可以简化导数计算的复杂性。
加减法则：设函数f(x)和g(x)都可导，那么(f(x) ± g(x))' = f'(x) ±g'(x)。
乘法法则：设函数f(x)和g(x)都可导，那么(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
高中数学教案导数的基本概念与计算
高中数学教案导数的基本概念与计算高中数学教案——导数的基本概念与计算1. 概述高中数学中，导数是一个重要的概念，用于描述函数在某个点上的变化率。
在教学中，理解导数的基本概念以及掌握导数的计算方法是学生掌握微积分的关键。
本教案将通过引入导数的概念、导数的性质以及导数计算法则等内容，帮助学生深入理解导数的基本概念与计算方法。
2. 导数的概念导数可以看作是函数f(x)在某个点x=a的切线斜率，用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)表示。
引导学生通过图像、实例等方式感受导数的概念，并了解导数的几何意义和物理意义。
3. 导数的性质在导数的教学中，应当重点突出导数的局部性和增加性。
局部性指导数只与某个特定点附近的函数值相关，而与其他地方无关；增加性表示函数单调递增时，导数的变化情况。
4. 导数计算法则4.1 基本导数法则介绍导数的基本运算法则，如常数倍法则、和差法则、积法则、商法则等。
通过实例演示和练习，使学生掌握这些基本法则的应用。
4.2 常见函数的导数引导学生熟悉常见函数的导数表达式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
重点讲解这些函数的导数推导过程，并通过例题演示如何计算导数。
4.3 链式法则链式法则用于计算复合函数的导数。
通过引入中间变量和链接函数的概念，帮助学生理解链式法则的运用，并通过练习加深对链式法则的掌握。
4.4 隐函数求导隐函数求导用于计算由给定方程所确定的函数的导数。
介绍利用隐函数求导公式和求导规则进行隐函数求导的方法，并通过实例演示求解过程。
5. 应用题与拓展在导数的教学中，应通过应用题和拓展知识的讲解，帮助学生将导数运用到实际问题中。
包括利用导数求函数的极值、函数的单调性、曲线的凹凸性等应用题的解答。
6. 总结与归纳对导数的基本概念与计算方法进行总结归纳，强调导数在高中数学中的重要性，并和以后学习微积分的知识做关联。
通过本教案的学习，相信学生能够全面理解导数的基本概念与计算方法，并能够熟练运用导数进行函数分析和问题求解。
高考数学一轮复习学案导数的概念与运算
导数的概念与运算一、知识回顾⒈导数的概念：⑴曲线的切线；⑵瞬时速度；⑶导数的概念及其几何意义．○1．设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m )(0000/()()000l i m x x x f x f x x --=→ ○2函数)(x f y =的导数)('x f ，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即 x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00． ○3函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率．⒉常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=；⑸*x x x 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹*x xx 22csc sin 1)'(cot -==； ⑺x x e e =)'(； ⑻a a a x x ln )'(=； ⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =． ⒊导数的运算法则：⑴两个函数四则运算的导数：①'')'(v u v u ±=±； ②'')'(uv v u uv +=； ③)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． ⑵复合函数的导数：x u x u y y '·''=．二、基本训练 1.(05浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) (A)18 (B)41 (C) 21 (D)12.若2)(0='x f ，则=--→k x f k x f k 2)()(000lim 3．如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y =f （t ）=t 3+3，（1）当t 1=4，△t=0.01时，求△y 和比值x y ∆∆； （2）求t 1=4时，t y t ∆∆→∆0lim 的值； （3）说明ty t ∆∆→∆0lim 的几何意义. 4．在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则xy ∆∆为……………（ ） A .△x +x ∆1 +2 B .△x －x ∆1－2 C .△x +2 D .2+△x －x∆1 5．一质点的运动方程为s=5－3t 2，则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为……（ ）A . 3△t +6B . －3△t +6C . 3△t －6D . －3△t －66.已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
高三数学一轮复习导数的概念与运算导学案理
高三数学理科复习42——导数的概念与运算【高考要求】：导数的概念(A);导数的几何意义(B); 导数的运算(B).【学习目标】：1了解导数的概念,理解导数的几何意义.2 会用基本函数的求导公式,函数的和,差,积,商的求导法则求函数的导数.3根据导数的几何意义求函数图像或曲线在一点处切线方程.【知识复习与自学质疑】1.一质点M 的运动方程为21S t =+（位移单位：,m 时间单位：s ），则质点M 在2()s 到2()t s +∆的平均速度S t∆∆＝ （/m s ），质点M 在2()t s =时的速度/2t S == （/m s ） 2.(1)(2log x )/= ; (2)/(3)x = ; (3)/(2cos )x -= __; (4)/(sin 2)x = _.3.已知函数()y f x =的图象经过点(2,5)P ，且图象在点P 处的切线方程是 210x y -+=，则/(2)f = .4.求下列函数在0x x =处的导数.（1）230()cos sin cos ,3f x x x x x π=•+=（2）20()sin (12cos ),246x x f x x π=--=（3）0()2x xf x x == （4）0()1f x x ==【例题精讲】 例1已知曲线ln 1(0)y a x a =-≠在点00(,)P x y 处的切线1l 过点(0,1)-.（1）对任意的0a ≠，证明点P 在一条定直线上；（2）若直线12l l ⊥，12l l P ⋂=，求2l 在y 轴上截距的取值范围.例2,若曲线311:C y x x=-+在点11(,)x y 处的切线1l ，与曲线2:ln C y x =在点22(,)x y 处的切线2l 互相垂直，求证：2x ≥【矫正反馈】1向气球内充气，若气球的体积以336(/)cm s π的速度增大，气球半径()()R t cm 增大的速度/()R t ＝ . 2若曲线2ln x x x y e e =-在点2x =处的切线垂直于直线ln10y x =-，则P 的坐标为 .3.已知曲线y =,B C 处的两条切线交于点1(0,)3A ，则AB AC •su u r su u r =____________. 4已知曲线22ln y x x =+在点0x x =处的切线l 斜率4k ≤，求切线l 的方程.【迁移应用】1若曲线sin y a x =与cos y a x =在交点P 处的两条切线互相垂直，则 a = .3设直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ______.2设,A B 是曲线2:1C y x =++上不同的两点，且曲线C 在,A B 两点处的切线都与直线AB 垂直.(1)求证:直线AB 过点(1,-(2)求直线AB 的方程.4已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln ,2f x x axg x a x b =+=+，其中0a >.设两曲线(),()y f x y g x ==在公共点00(,)x y 处的切线相同，求证：()()(0).f x g x x ≥>。
数学高中导数专题整理教案
数学高中导数专题整理教案一、导数的定义和计算方法1. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的切线的斜率。
设函数y=f(x)，则函数f(x)在点x处的导数记为f'(x)，即：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 导数的计算方法：a. 基本导数常数函数：f(x) = c，导数为0幂函数：f(x) = x^n，导数为f'(x) = nx^(n-1)指数函数：f(x) = a^x，导数为f'(x) = a^x * ln(a)三角函数：f(x) = sin x，导数为f'(x) = cos x；f(x) = cos x，导数为f'(x) = -sin xb. 导数的四则运算和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2二、常见函数的导数1. 指数函数的导数f(x) = a^x，导数为f'(x) = a^x * ln(a)2. 对数函数的导数f(x) = log_a(x)，导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))3. 三角函数的导数sin x 的导数为 cos x，cos x 的导数为 -sin x4. 反三角函数的导数f(x) = arcsin x，导数为f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)f(x) = arccos x，导数为f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)f(x) = arctan x，导数为f'(x) = 1 / (1 + x^2)三、导数的应用1. 切线与法线导数表示函数在某点处的切线斜率，因此函数在该点处的切线方程为：y - f(x) = f'(x)(x - x0)而该点处的法线方程为：y - f(x) = -1 / f'(x)(x - x0)2. 凹凸性和拐点函数凹凸性由二阶导数确定，二阶导数大于0表示函数凸，小于0表示函数凹，而二阶导数为0的点为拐点。
高考数学一轮复习 导数的概念与运算讲义
专题4.1 导数的概念与运算1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算,凸显数学运算的核心素养；2.与曲线方程相结合考查导数的几何意义,凸显数学运算、直观想象的核心素养.1.导数的概念 1.平均变化率函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为()()2121f x f x x x --，若21x x x ∆=-，21y y y ∆=-，则平均变化率可表示为y x∆∆. 2.函数()y f x =在0x x =处的导数定义：称函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0y x '=，即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆.3.函数()f x 的导函数设函数()y f x =在区间(),a b 上有定义，且()0,x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作()0f x '．若函数()y f x =在区间(),a b 内任意一点都可导，则()f x 在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作()f x 的导函数，记作()f x '． 即()()()=limx f x x f x f x x∆→+∆-'∆.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；（2）()()()()()()+f x g x f x g x f x g x '''⋅=⎡⎤⎣⎦； （3）()()2()'()()'()()'0()()f x f x g x g x f x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=≠⎢⎥⎣⎦. （4）复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()(),y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 3.函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线()y f x =上点()()00,x f x 处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数).相应地，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.导数的概念及计算【方法储备】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.步骤为：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导公式和法则进行求导；③整理结果.2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量； ③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程. 3.对于比较复杂的函数求导时, 先化简再求导, 技巧为: ①连乘积形式, 先展开化为多项式的形式再求导； ②分式形式的先化为整式函数或者简单的分式函数再求导； ③对数形式的先化为和、差的形式, 再求导； ④根式形式先化为分数指数幂的形式, 再求导；⑤三角形式先利用三角函数公式转化为和或者差的形式再求导； ⑥抽象函数求导, 恰当赋值是关键, 然后活用方程思想求解.|【精研题型】2.下列函数求导运算正确的个数为 ①()21log ln 2x x '=；②()33ln 3x x'=；③sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭ ；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭． A. 1 B. 2 C. 3 D.43.函数()=sin cos f x x x 的导函数()f x '在[]0π，上的图象大致为A. B.C. D.4.设()f x '是()f x 的导函数，写出一个满足()()f x f x '>在定义域R 上恒成立的函数(f x 【思维升华】C.等边三角形D.等腰钝角三角形【特别提醒】()f x '与()0f x '区别：()f x '是()f x 的导函数，而()0f x '是导函数在0x x =处的导函数值，导数值是常数.求曲线的切线方程及切点坐标【方法储备】利用导数研究曲线的切线问题：（1）函数在切点处的导数值．．．是切线的斜率．．，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标；（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点；（3）曲线()y f x = “在”点()00,P x y 处的切线与“过”点()00,P x y 的切线的区别： 在点()()00,P x f x 出的切线方程式()()()000y f x f x x x '-=-，切线只有一条； 过点(),P m n 的切线方程，需要先设出切点坐标()()00,x f x ，切线方程为()()0y n f x x m '-=-,在依据切点()()00,x f x 在直线上，将切点坐标带入方程求解，即可得切线条数.【精研题型】7.已知函数()221f x x ax a =+++为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为A. 20x y -=B. 210x y -+=C. 220x y -+=D. 210x y --=8.请写出与曲线()31f x x =+在点()0,1处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为()g x 【思维升华】9.已知函数()()()2ln 110h x a x a x a =+-+< ，在函数()h x 图象上任取两点,A B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是A. (),0-∞B. 2,4⎛--∞ ⎝⎭C. 2,4⎛⎫+-∞- ⎪ ⎪⎝⎭D. 24⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【特别提醒】导数运算及切线的理解应注意的问题：（1）注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.（2）直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有其它交点.与切线有关的参数问题【方法储备】1．利用导数的几何意义求参数的基本方法（1）利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．【精研题型】11.已知函数()1xf x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 上存在与直线12y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是 ．12.若直线y kx b =+是曲线()ln 2f x x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b13.已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切于点(00,x y【思维升华】14.已知函数()ln f x x x =+，曲线()y f x =在0x x =处的切线l 的方程为1y kx =-，则切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为 A.12 B. 14C.2D.4 15.若函数()ln f x x =与函数()()220g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是 A.1ln,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. ()1,-+∞C. ()1,+∞D. ()ln 2,-+∞ 16.已知函数()272,121ln ,12x x x f x x x ⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x kx =恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．专题4.1导数的概念与运算答案和解析 考点一1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题． 由导数的定义分析可得答案．解：函数()y f x =在0x x =处可导，00h 0()()limf x h f x h h→+--0000h 0h 0()()()()lim limf x h f x f x h f x h h→→+---=+- 02()f x ='，故选.B2.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的运算，属容易题. 根据导数运算法则逐个计算.【解答】解：()21log ln 2x x '=，(3)3ln 3x x '=，sin 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，211ln (ln )x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，正确的为①②，共2个． 故选.B3.【答案】B【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 先根据角的范围去绝对值，然后利用乘积函数的导数公式进行求导得到导函数()f x '，结合余弦函数的图象可得结论． 【解答】解：当[0,]x π∈时，sin 0x ，则()|sin |cos sin cos f x x x x x ==，22()cos sin cos 2f x x x x ∴'=-=，结合余弦函数的图象可知选项B 正确， 故选：.B4.【答案】()1(x f x e =-答案不唯一)【解析】根据()()f x f x '>可知()()0f x f x '->，据情况写出即可.【解答】解：由题意，设函数()1xf x e =-，可得()xf x e '=，令()()()()110x x F x f x f x e e ='-=--=>恒成立，即函数()1xf x e =-，符合题意.故答案为：() 1.(xf x e =-答案不唯一)5.【答案】A【解析】 【分析】本题考查的知识点是直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中利用基本不等式构造关于a 的不等式是解答本题的关键，属于基础题． 由已知中M 是曲线()21ln 12y x x a x =++-上的任一点，曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于4π的锐角，则曲线在M 点处的切线的不小于1，即曲线在M 点处的导函数值不小于1，根据函数的解析式，求出导函数的解析式，构造关于a 的不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】 解：()21ln 12y x x a x =++-， 1(1)3y x a a x∴'=++--， 若曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于4π的锐角， 则31a -， 解得 2.a 故选.A6.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()f x '的解析式是解决本题的关键，属于拔高题．求函数的导数，先求出()16f π'=，然后利用辅助角公式进行化简，求出,A B 的大小即可判断三角形的形状． 【解答】解：函数的导数()()cos sin 6f x x x π'='-，则131()()cossin()()666662262f f f ππππππ'='-='-='-， 则11()262f π'=，则()16f π'=，则()sin 2cos()6f x x x x π'=-=+，()cos 2cos()3f x x x x π=+=-，()()1f A f B ='=，()2cos()16f B B π∴'=+=，即1cos()62B π+=，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos()13f A A π=-=，即1cos()32A π-=，则33A ππ-=，则23A π=，则2366C ππππ=--=，则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选：.D考点二7.【答案】A【解析】【分析】本题考查求曲线上一点的切线方程，属于基础题.根据函数()f x 是偶函数可得(1)(1)f f -=，可求出a ，求出函数在1x =处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程.【解答】 解：函数22()1f x x ax a =+++为偶函数， (1)(1)f f ∴-=，即2222a a a a -+=++，解得0a =，2()1f x x ∴=+，则()2f x x '=，(1)2k f ∴='=切，且(1)2f =，∴切线方程为22(1)y x -=-，整理得20.x y -=故选.A8.【答案】21x +(答案不唯一)【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义及求函数在一点处的切线方程，属于中档题．先求出曲线()31f x x =+在点()0,1处的切线方程，进而得出答案． 【解答】解：()()23,00f x x f ''==，即()31f x x =+在点()0,1处切线的斜率为0， 曲线()31f x x =+在点()0,1处的切线方程为y =1，所有在点()0,1处的切线方程为y =1的函数都是正确答案，如()21g x x =+或()21g x x =-+或()cos g x x =等. 故答案为：21x +答案不唯一)9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式的应用及一元二次不等式的解法，属中档题.故选B .10.【答案】(1)证明：若0a =，则321()13f x x x =-+， 令321()()(38)393g x f x x x x x =--=--+， 则2()23(3)(1)g x x x x x '=--=-+， 当(3,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 为增函数，所以()(3)0g x g >=，即()38f x x >-，得证．(2)解：易知曲线的切线斜率都存在， 设切点为321(,1)3N x x x ax -++，又(1,1)M -， 则32213()21MN x x ax k f x x x a x -+='=-+=+， 整理得32203x x a -+=，由题意可知此方程有三个解， 令32()23h x x x a =-+， 2()222(1)(1)h x x x x ∴'=-=+-，由()0h x '>，解得1x >或1x <-，由()0h x '<解得11x -<<，即函数()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，在(1,1)-上单调递减．要使得()0h x =有3个根，则(1)0h ->，且(1)0h <，解得4433a -<<，即a 的取值范围为44,.33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想．(1)若0a =，则321()13f x x x =-+，令()()(38)g x f x x =--，求导，利用单调性求得()0g x >，即可得证；(2)设切点为321(,1)3N x x x ax -++，由()MN k f x ='，可得关于x 的方程32203x x a -+=，由过点(1,1)M -可作曲线()y f x =的3条切线，可得方程有三个解，令32()23h x x x a =-+，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 考点三11.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和两条直线垂直的充要条件，考查推理能力和计算能力，属于中档题.利用()2x f x e m '=-=-即可求得,2x m e =+从而解出m 的范围.【解答】解：()1x f x e mx =-+，()x f x e m ∴'=-，曲线C 存在与直线12y x =垂直的切线， ()2x f x e m ∴'=-=-成立，22x m e ∴=+>，故实数m 的取值范围是(2,).+∞故答案为(2,).+∞12.【答案】1ln2-【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，两条切线重合的问题，属于中档题.函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率．相应地，切线方程为000()().y y f x x x -='-分别求出曲线ln 2y x =+的切线，曲线ln(1)y x =+的切线，根据两条直线表示同一条直线即可求解.【解答】解：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+， 设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-， 由点222(,)P x y 在切线上得2221ln (1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线， 所以12221211121ln (1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩， 解得11111,2,ln 211ln 2.2x k b x x =∴===+-=- 13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得01x b =-、00y =，进而可得1b a +=，再利用()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解. 【解答】解：对()ln y x b =+求导得1y x b'=+， 因为直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切于点00(,)x y ， 所以011x b=+即01x b =-， 所以00ln ()ln (1)0y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -，由切点()1,0b -在切线y x a =-上可得10b a --=即1b a +=， 所以1111()()2224b a b a b a b a b a b a +=++=+++⋅=， 当且仅当12b a ==时，等号成立. 所以11a b+的最小值是4. 故答案为：4.14.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得k ，0x 的方程组，解方程可得切线的方程，求得切线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式计算可得所求值．【解答】解：由()ln f x x x =+，得1()1f x x '=+， 则001()1f x k x '=+=，得011x k =-， 由111ln 11111k f k k k k ⎛⎫=+=-⎪----⎝⎭， 得1ln 01k =-，即2k =， 所以切线l 的方程为21y x =-，令0x =，得到1y =-，令0y =，得到12x =， 所求三角形面积为111|1|224⨯⨯-=， 故选.B15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，属于较难题.由切线方程可得，分离参数，得到关于1x 的函数，求出2211111111ln (1)1ln (2)124a x x x x =+--=-+--的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键.【解答】解：设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >， 则切线方程为1111ln ()y x x x x -=-， 设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-， 所以有2121212(1)ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，210x x <<，1102x ∴<<， 又2211111111ln (1)1ln (2)124a x x x x =+--=-+--， 令11t x =，2102,ln 4t a t t t ∴<<=--， 设21()ln (02)4h t t t t t =--<<， 则211(1)3()1022t h t t t t'--=--=<， ()h t ∴在(0,2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln 2h t h e>=--=， 1(ln,)2a e∴∈+∞， 故选.A 16.【答案】1(2 【解析】【分析】 本题主要考查了分段函数性质，函数图像的运用，导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于拔高题.由题意根据关于x 的方程()f x kx =恰有4个不相等的实数根可得函数()f x 与y kx =的图象有四个不同的交点，作出函数()f x 与y kx =在同一坐标系中的图象，结合函数图象找到k 的上限和下限求解即可.【解答】解：由题意，关于x 的方程()f x kx =恰有4个不相等的实数根，等价于函数()f x 与y kx =的图象有四个不同的交点，作出作出函数()f x 与y kx =在同一坐标系中的图象如下：结合函数图象可得当直线y kx =过1(1,)2A 点时k 取得下限，即1012102k -==-， 当直线y kx =与1ln 2y x =+相切时k 取得上限， 由1ln 2y x =+，则1y x'=， 设切点00(,)B x y ，则切线方程为()0001y y x x x -=-， 又点B 在1ln 2y x =+上，即001ln 2y x =+， ∴切线方程为()00011ln 2y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即001ln 2x y x x =+-， 根据原点(0,0)在切线方程001ln 2x y x x =+-上， 00010ln 2x x ∴=+-，解得120x e =， ∴此时直线y kx =的斜率10211e k x e e ===， 综上可得实数k 的取值范围为1,2e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故答案为1,.2e ⎛ ⎝⎭17.【答案】解：()I 当14a =时，21()cos 14f x x x =+-，1()sin 2f x x x '=-， 所以()f x 的图象在点(,())(0)t f t t π<<处的切线方程为：221(sint)()+cos 1(sint)+sin cos 12424t t t y x t t t x t t t =--+-=--+-， 其在y 轴上截距设为2()+sin cos 14t g t t t t =-+-，则1()(cos ).2g t t t '=- 当(0,)3t π∈时，()0g t '>，()g t 为增函数； 当(,)3t ππ∈时，()0g t '<，()g t 为减函数.所以()g t 在3t π=时取最大值. 故3t π=时，直线l 在y 轴上的截距有最大值；()II 已知()2sin f x ax x '=-，设()()f x h x '=，则()2cos .h x a x '=-(1)当21a 即12a 时，()0h x '， 所以()f x '在R 上为增函数.又(0)0f '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 为减函数；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()(0)0f x f =，所以12a 时符合题意； (2)当21a -即12a -时，()0h x '，所以()f x '在R 上为减函数. 又(0)0f '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 为增函数；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数.所以()(0)0f x f =，所以12a -时不符合题意； (3)当121a -<<，即1122a -<<时， 当(0,2)x arccos a ∈时，()0h x '<，()f x '为减函数.又(0)0f '=，所以当(0,2)x arccos a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数.所以当(0,2)x arccos a ∈时，()(0)0f x f <=，所以1122a -<<时不符合题意. 综上，a 的取值范围为1[,).2+∞【解析】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性与最值，是较难题. ()I 求出14a =时，()f x 的图象在点(,())(0)t f t t π<<处的切线方程，即可求得在y 轴上截距设为2()+sin cos 14t g t t t t =-+-，求导，即可求得当3t π=时，直线l 在y 轴上的截距有最大值；()II 求导()2sin f x ax x '=-，设()()f x h x '=，则()2cos .h x a x '=-分类讨论，(1)当21a 即12a时，可判断出函数()f x 的单调性，求得其当0x =时函数有最小值，则本题可解； (2)当21a -即12a -时，求得其当0x =时函数有最大值，经检验该种情况不符合题意； (3)当121a -<<，即1122a -<<时，同样该情况不符合题意.。
高三一轮--导数的概念及运算教案
导数的概念及运算☆复习目标1．了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率与导数的关系;2．能根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数； 3．通过函数图象直观地理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程； 4．提高学生运算能力，培养数形结合思想，分类讨论思想； ☆复习重点1．导数的概念及运算2．导数的几何意义及应用 ☆复习难点 导数的几何意义及应用 ☻基础热身：2、求下列函数的导数☻知识梳理：1. 平均变化率与瞬时变化率：（1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 x y ∆∆＝()()1212x x x f x f --（2）函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率为 ()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim2. 导数的概念：（1）函数()f x 在x x = 处的导数： f （x ）在点x 0处的导数就是函数()f x 在x x = 处的瞬时变化率即()f x ' =lim →∆x x y∆∆=()()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆0000'lim（2）函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数，称()x f '为()f x 的导函数（简称导数）即()()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆0'lim()的瞬时速度为：，则在时刻单位：其运动方程是、一物体作直线运动，323612=-+=t m t t s ()52y 123++=x x ()x xe x ln y 2+=()2cos 2sin 2y 3x x x -=()xx sin y 42=()b a y x b b ax x y ,,01,032则求处的切线方程是在点若曲线、=+-++=3. 导数的几何意义与物理意义： （1）几何意义：（2）物理意义瞬时速度 加速度4．基本初等函数的导数①;C '= ②();nx'=③(sin )x '=; ④(cos )x '=; ⑤()x a '=;⑥();x e '=⑦()l g a o x '=; ⑧()ln x '=.5．导数的运算法则6．复合函数的导数()()()()的导数的关系为：的导数与复合函数x g u u f y x g f y ===,'''x u u y y ⋅=☆ 案例分析例1：2x y =已知曲线方程为（1） 求过A （2,4）点且与曲线相切的直线方程 （2） 求过B （3,5）点且与曲线相切的直线方程例2.已知函数 y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如右图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（ ）()()()()()====k x f x x f y x f y x x f y 切线的斜率即：处的在点是曲线处的导数在函数000'0,P ()0'x f x x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(00lim0()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t V V V ===t t t t ()()()[]=±'1x g x f ()()()[]='.2x g x f ()()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'3x g x f ()()x g x f ''±()()()()x g x f x g x f ''⋅+⋅[]2)()()()()(x g x g x f x g x f '-'☆ 走进高考：例3.（08北京）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A BC ，， 的坐标分别为(04)(20)(64，，，，，，则((0))f f = ；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）例4.（2010天津文科20）☆ 课堂小结：（1） 导数的概念及运算 （2） 导数的几何意义及运算☆ 课后练习：（2010辽宁12）()()()()()()()()的取值范围；恒成立，求上，若在区间处的切线方程；在点，求曲线若其中已知函数a x f f x f y a a R x x ax x f 021,2122,2110,12323>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==>∈+-=取值范围的求处的切线的倾斜角，则为曲线在点上，在曲线已知点ααP 14P +=x e y。
2022届新高考一轮复习 第四章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及其运算 教案
1．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限的思想，理解导数的几何意义． 2．能根据导数定义求函数y c =(c 为常数)，y x =，2y x =，3y x =，cy x=，y =的导数．3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数． 1．导数的概念函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率()()0000limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆．2．导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()(),x f x 处的切线斜率，即()0k f x '=，相应地切线方程()()()000y f x f x x x '-=-． 3．函数()f x 的导函数函数()y f x =在区间(),a b 内每一点处都可导，那么其导数值在(),a b 内构成一个新的函数，叫做()y f x =在开区间(),a b 内的导函数，记作()f x '或y '． 4．根本初等函数的导数公式第四章 导数及其应用第1讲 导数的概念及其运算5．导数的运算法那么假设函数()f x ，()g x 均可导，那么：〔1〕()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦； 〔2〕()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； 〔3〕()()()()()()()2f x f xg x f x g x g x g x ''-=⎡⎤⎣⎦． 6．复合函数求导复合函数求导法那么：复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，即()y f u =，()u g x =，()()y f u g x '''=． 【例1】〔1〕函数1()ln x f x e x x -=+，那么()1f '=〔〕 A ．0 B ．1 C ．e D ．2【答案】D【解析】因为1()ln x f x e x x -=+，所以111()ln 1ln x x f x e x x e x x--'=++⨯=++， 所以11(1)1ln12f e -'=++=，应选D ． 〔2〕函数1ln 1ln xy x-=+的导数是〔〕 A ．()221ln x -+ B ．()211ln x x +C ．()221ln x x -+D ．()211ln x x -+【答案】C【解析】2211(1ln )(1ln )1ln 21ln (1ln )(1ln )x x x x x y x x x x -+--'-⎛⎫'===- ⎪+++⎝⎭，应选C ．〔3〕求sin cos 22x xy x =-⋅的导数．【答案】11cos 2y x '=-．【解析】∵1sin cos sin 222x x y x x x =-⋅=-，∴11cos 2y x '=-．【变式1．1】〔1〕函数sin(21)y x x =+的导数是___________________． 【答案】sin(21)2cos(21)y x x x '=+++【解析】[]sin(21)sin(21)sin(21)2cos(21)y x x x x x x x '''=+++=++⨯+sin(21)2cos(21)x x x =+++，故答案为sin(21)2cos(21)y x x x '=+++． 〔2〕函数()f x =+，那么()f x 在2x =处的导数()2f '=________． 【答案】2 【解析】()21f x x ==-，()()221f x x '∴=-，()22f '∴=， 故答案为2．〔3〕求函数2sin 12cos 24x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的导数．【答案】1cos 2y x '=-．【解析】因为1sin cos sin 222x x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()11sin cos 22y x x ''=-=-．【例2】函数()()3212f x x f x '=-+，那么()2f =〔〕A ．2-B ．103C ．6D ．14【答案】C【解析】2()32(1)f x x f x ''=-，那么(1)32(1)(1)1f f f '''=-⇒=， 那么32(2)f x x x =-+，32(2)2226f =-+=，应选C ．【变式2．1】()f x 的导函数为()f x '，3()2(1)x x f x f x e'-=+⋅，那么(1)f '=________．【答案】3e-【解析】因为3()2(1)x x f x f x e '-=+⋅，所以4()2(1)xxf x f e'+'-=， 所以3(1)2(1)f f e '+'=，3(1)f e'=-， 故答案为3e-．【例3】假设()()()()126f x x x x x =--⋅⋅⋅-，那么()1f '=〔〕 A ．120 B ．24C ．24-D ．120-【答案】D【解析】令()()()()236g x x x x x =--⋅⋅-⋅，那么()()()1f x x g x =-， 所以()()()()1f x g x x g x ''=+-，所以()()()()111250120f '=⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-+=-，应选D ． 【变式3．1】函数()()()()()1232021f x x x x x =----，那么()2021f '=〔〕A ．1232020-⨯⨯⨯⨯B ．1232020⨯⨯⨯⨯C ．1232021-⨯⨯⨯⨯D ．1232021⨯⨯⨯⨯【答案】A 【解析】()()()()()1232021x x x x f x =----，故()()()()()()()232021132021f x x x x x x x '=--------()()()()()()()1220192021122020x x x x x x x ---------，因此，()()()()2021202020191122020f '=--⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯，应选A ． 1．求切线方程【例4】曲线()x f x xe -=在点()()1,1f --处的切线方程为〔〕A ．2y ex e =-B ．y ex e =+C ．2y ex e =+D ．2y ex e =-+【答案】C 【解析】1()x xf x e-'=，(1)2f e '∴-=， 又(1)f e -=-，∴所求切线方程为()21y e e x +=+，即2y ex e =+，应选C ．【变式4．1】曲线3221y x x =-+在1x =处的切线方程为___________．【答案】870x y --=【解析】()3221y f x x x ==-+，那么()212111f =-+=，()2226f x x x +'=，所以()221681f +'==，即切线的斜率8k ， 所以切线方程为()181y x -=-，即870x y --=， 故答案为870x y --=．【例5】曲线ln y x x =的一条切线过点(0,3)-，那么该切线的斜率为_________． 【答案】1ln3+【解析】由1ln y x '=+，设切线斜率为k ，切点横坐标为t ，那么1ln ln 3t k t t kt +=⎧⎨=-⎩，得ln (1ln )3t t t t =+-，所以3t =，1ln3k =+，故答案为1ln3+．【变式5．1】函数()2x f x e x =+，过点()1,2作曲线()y f x =的切线， 那么函数的切线方程为________________． 【答案】22()20e x y e +--=【解析】()2x f x e '=+，设切点坐标为00(,)x y ，那么()002x f x e '=+，()0002x f x e x =+，所以切线方程为0000(2)(2)()x x y e x e x x -+=+-，且该直线过点()1,2， 所以00002(2)(2)(1)x x e x e x -+=+-，得00(2)0x e x -=，得02x =， 所以切线方程为22()20e x y e +--=， 故答案为22()20e x y e +--=．1．求经过某点的曲线()f x 的切线方程时，需注意该点不一定是切点； 2．利用导数求切线方程的一般过程：〔1〕曲线()f x 在点()00,P x y 处的切线方程为()()000y y f x x x '-=-； 〔2〕曲线()f x 过点()00,P x y 处的切线方程： ①设切点坐标()111,P x y ；②写出()111,P x y 的切线方程()()111y y f x x x '-=-； ③将点()00,P x y 的坐标代入切线方程求出1x ；④将1x 的值代入方程()()111y y f x x x '-=-，得到所求切线方程． 2．求参数值【例6】直线1y kx =-是曲线1ln y x =+的一条切线，那么实数k 的值为〔〕 A ．e B ．2eC ．1D ．1e -【答案】A【解析】设切点为()00,1ln x x +， 由1ln y x =+，得1y x'=，那么001x x y x ='=，那么曲线在切点处的切线方程为()00011ln y x x x x --=-， 由可得，切线过定点()0,1-，代入切线方程可得02ln 1x --=-，解得01x e =，那么01k e x ==，应选A ． 【变式6．1】函数2()2ln f x x x x =-在点(1,2)处的切线方程为0x my t ++=，那么t =___________．【答案】13-【解析】2()2ln f x x x x =-，()4ln 1f x x x '∴=--，()13f '∴=，13m ∴-=，即13m =-， 又(1,2)为切点，11203t ⎛⎫∴+-⨯+= ⎪⎝⎭，解得13t =-，故答案为13-．【变式6．2】函数2()ln f x a x bx =+的图象在点(1,1)P 处的切线与直线10x y -+=垂直，那么a 的值为___________． 【答案】3-【解析】由可得(1,1)P 在函数()f x 的图象上，所以(1)1f =， 即2ln111a b +⨯=，解得1b =， 所以2()ln f x a x x =+，故()2af x x x'=+． 那么函数()f x 的图象在点(1,1)P 处的切线的斜率(1)2k f a '==+， 因为切线与直线10x y -+=垂直，所以21a +=-，即3a =-， 故答案为3-． 3．公切线问题【例7】曲线()x f x e =在点()()0,0P f 处的切线也是曲线()()ln g x ax =的一条切线，那么a 的值为〔〕A ．3eB ．2eC ．2eD ．33e【答案】C 【解析】()x f x e =，()x f x e '∴=，()01f =，()01f ∴'=，()f x ∴在点()()0,0P f 处的切线方程为1y x =+， 设1y x =+与()g x 相切于点()()00,ln x ax ，那么()0011g x x '==，解得01x =， 又()00ln 110ax x -=-，ln 11a ∴-=，解得2a e =，应选C ．【变式7．1】假设曲线x y e =在0x =处的切线也是曲线ln 2y x b =+的切线，那么实数b =〔〕 A ．1- B ．1C ．2D ．e【答案】B【解析】曲线x y e =的导数为x y e '=，可得在0x =处的切线斜率为1k =，切点为(0,1)， 那么切线的方程为1y x =+，设直线1y x =+与ln 2y x b =+相切的切点为(,2ln )m b m +， 由ln 2y x b =+的导数为1y x '=，可得切线的斜率为1m， 那么11m=，2ln 1b m m +=+，解得1m =，1b =，应选B ． 【变式7．2】函数()2x f x ae x =+的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是()22y e x b =++，那么ab =〔〕 A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】因为()2x f x ae x =+，所以()2x f x ae x '=+， 因此切线方程的斜率(1)2k f ae '==+， 所以有222ae e +=+，得2a =，又切点在切线上，可得切点坐标为(1,22)e b ++，将切点代入()f x 中，有(1)2122f e e b =+=++，得1b =-， 所以2ab =-，应选D ．【例8】设曲线() x f x ae b =+和曲线()πcos 2xg x c =+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，那么b c a +-的值为〔〕 A ．0 B ．πC ．2-D ．3【答案】D 【解析】()x f x ae '=，()ππsin 22xg x '=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=， 解得1c =，2103b c a ∴+-=+-=，应选D ．【变式8．1】曲线2ln y a x =-在点(1,)a 处的切线与曲线x y e =-相切，那么a =_____．【答案】2ln 24-【解析】对2ln y a x =-求导，得2y x'=-，∴12x y ='=-∣， 那么曲线2ln y a x =-在点(1,)a 处的切线方程为2(1)y a x -=--， 即22y x a =-++．设22y x a =-++与x y e =-相切于点()00,x x e -， 对x y e =-求导，得x y e '=-，由02x e -=-，得0ln 2x =，即切点为(ln 2,2)-．又切点在切线22y x a =-++上，∴2ln 222a -++=-，即2ln 24a =-， 故答案为2ln 24-．【例9】假设函数()()210f x ax a =->与()1ln g x x =-的图象存在公切线，那么实数a 的最小值为〔〕 A ．12eB ．21e C ．2eD ．1【答案】A【解析】法一：设公切线与()f x ，()g x 图象分别切于点()()1122,,A B x y x y ，， 那么()f x 图象在A 处的切线方程为()()211112y ax ax x x --=--， 即21121y ax x ax =-++，同理：()g x 图象在B 处的切线方程为()()22211ln y x x x x --=--， 即2212ln y x x x =-+-， 由上述两直线重合，122121212ln ax x ax x⎧=⎪⎨⎪+=-⎩消元1x 可得()22211ln 4x x a =-，令()()()21ln 0h x x x x =->，那么()()12ln h x x x '=-，当(x ∈时，()0h x '>；当)x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x在(单调递增，在)+∞单调递减，那么()max 142e h x h a≤==，解得12a e≥． 方法二：在同一坐标系中作出()f x ，()g x 的图象如下图：由图象知：()f x ，()g x 分别为上凸和下凸函数，要使()f x ，()g x 存在公切线，只须()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立即可， 即2ln xa x≥在()0,∞+上恒成立， 令()2ln x h x x =，求导得()312ln xh x x -'=，当(x ∈时，()0h x '>；当)x ∈+∞时，()0h x '<，所以当x =()h x 取得最大值为12e， 所以12a e≥，应选A ． 【变式9．1】曲线x y e =在点()11,x x e 处与曲线ln y x =在点()22,ln x x 处的切线相同，那么()()1211x x +-=_________． 【答案】2-【解析】x y e =，那么x y e '=，切线斜率为1x k e =，所以曲线x y e =在点()11,x x e 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-， 即1111x x x y e x e x e =-+， 由ln y x =得1y x'=，切线斜率为21k x =，所以曲线ln y x =在点()22,ln x x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-，即2211ln y x x x =-+， 于是11121211ln x x x e x e e x x⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩得121x x e =，11112111ln 1ln1x x x e e x x x e-=-+=-+=--， 那么11111x x e x +=-，所以12111x x x -=+，所以1211121111x x x x ---=-=++， 得()()12112x x +-=-，故答案为2-． 4．切线条数问题【例10】假设过点(),a b 可以作曲线x y e =的两条切线，那么〔〕 A ．b e a < B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<【答案】D【解析】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得x y e '=， 所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t t b ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，那么()()t f t a t e '=-． 当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增； 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减， 所以，()()max a f t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点， 那么()max a b f t e <=，当1t a <+时，()0f t >；当1t a >+时，()0f t <， 作出函数()f t 的图象如下列图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点， 应选D ．解法二：画出函数曲线x y e =的图象如下图，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线．由此可知0a b e <<． 应选D ．【变式10．1】过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有〔〕条．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】假设直线与曲线切于点()()000,0x y x ≠，那么3200000011111y x k x x x x --===++--， 又∵23y x '=，∴2003y x x x '==，∴200210x x --=，解得01x =，012x =-，∴过点()1,1P 与曲线3:C y x =相切的直线方程为320x y --=或3410x y -+=， 应选C ．【变式10．2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条， 那么实数m 的取值范围是〔〕 A ．(),e -∞ B ．(),e +∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,【答案】B【解析】设切点为()00,x y ，()ln 1f x x '=+， 所以切线方程为：0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，代入(),A m m ，得0000ln (ln 1)()m x x x m x -=+-，即这个关于0x 的方程有两个解．化简方程为00ln m x x =，即ln 1x m x =， 令ln ()x g x x =(0x >)，21ln ()xg x x -'=，()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，1()g e e =，(),()0,10x g x g →+∞→=，所以110m e<<，所以m e >，选B ． 一、选择题．1．函数2()6f x x =-+，且()02f x '=，那么0x =〔〕 AB．C．D．【答案】B【解析】由题意可得()6f x '=-+，因为()0062f x '=-+=，所以0x =B ．2．函数()4f x x ax =+，假设()()02lim12x f x f x x→--=△△△△，那么a =〔〕 A ．36 B ．12 C ．4 D ．2【答案】C【解析】根据题意，()4f x x ax =+，那么()34f x x a '=+，那么()0f a '=， 假设()()2lim=12x f x f x x→--△△△△，那么()()()()()0022lim=3lim 30123x x f x f x f x f x f x x→→----'==△△△△△△△△， 那么有312a =，即4a =，应选C ．3．曲线()y f x =在1x =处的切线如下图，那么()()11f f '-=〔〕 A ．0 B ．2C ．2-D ．1-【答案】C【解析】设曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y kx b =+，那么220b k b =⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y x =+， 所以()11f '=，()1123f =+=， 因此，()()11132f f '-=-=-，应选C ．4．()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，那么()f x =〔〕 A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +-【答案】B【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，那么()2f x ax b '=+， 由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此()221f x x x =++，应选B ．5．曲线()x f x e =在点(1,(1))P f 处的切线也是曲线()ln g x a x =的一条切线，那么a =〔〕A ．3eB ．2eC ．2eD ．33e【答案】C【解析】()x f x e =，()1f e =，所以切点()1,e ．()x f x e '=，()1k f e '==，切线()1y e e x -=-，即y ex =． 设()ln g x a x =的切点为()00,x y ，()a g x x '=，()00ak g x e x '===，所以0a x e=．将0a x e =代入切线y ex =，得0y a =，()g x 的切点为,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭， 将,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭代入()ln g x a x =，得ln a a a e =，解得2a e =，应选C ． 二、填空题．6．设函数()()sin πx x f x e =，那么曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】ππ0x ey +-= 【解析】由题意得()sin π10f e==，切点为()1,0，()()()()()2πcos πsin ππcos πsin πx x x xx e e x x x f x e e--'==， 所以()πcos πsin ππ1f e e-'==-，所以过点()1,0的切线方程为()π1y x e=--，即ππ0x ey +-=， 故答案为ππ0x ey +-=． 7．曲线()1f x x b x=++在点()(),a f a 处的切线经过坐标原点，那么ab =______． 【答案】2- 【解析】由()1f x x b x =++，那么()211f x x'=-， 所以()211f a a '=-， 所以()()()22011110f a f a b f a a a a a a-'=-===++-， 化简整理可得2ab =-，故答案为2-．8．曲线()31()x f x x mx e -=-在点(1,(1))f 处的切线与直线410x y --=垂直，那么该切线的方程为__________． 【答案】410x y +-=【解析】由题意得()321()3x f x x x mx m e --'=+-，那么(1)42f m '=-， 所以切线的斜率142k m =-， 直线410x y --=的斜率214k =． 因为两直线相互垂直，所以121(42)14k k m =-=-，解得4m =，那么1(1)4k f '==-，所以()31()4x f x x x e -=-，那么(1)3f =-，故该切线的方程为34(1)y x +=--，即410x y +-=， 故答案为410x y +-=．9．曲线x y e -=，那么曲线上的点到直线10x y ++=的最短距离是________．【解析】∵x y e -=，∴x y e -'=-，设与曲线x y e -=相切，且与直线10x y ++=平行的直线为0x y m ++=， 切点00(,)x P x e -．那么01x e --=-，解得00x =，故切点为(0,1)P ．∴曲线x y e -=上的点到直线10x y ++=的最短距离d ==，．10．直线y kx b =+与曲线1x y e -=相切，也与曲线x y e e =-相切(其中e 为自然对数的底数)，那么k =___________． 【答案】e【解析】由题设知：1()x f x e -=，那么1()x f x e -='；()x g x e e =-，那么()x g x e '=．∴要使y kx b =+与()f x 、()g x 都相切，假设切点分别为1122(,),(,)x y x y ，那么有12()()f x g x k ''==， ∴121x x e e -=，那么121x x -=，∴211212121x x y y e e e k e x x x x ----===--，故答案为e ．三、解答题．11．设曲线(),0x f x e x =≤在点00(,)x P x e 处的切线l 与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S ．〔1〕求切线l 的方程； 〔2〕求S 的最大值．【答案】〔1〕000(1)0x x e x y x e -+-=；〔2〕2e ．【解析】〔1〕因为()x f x e '=，所以0l x k e =，所以切线l 的方程为000()x x y e e x x -=-，整理得000(1)0x x e x y x e -+-=． 〔2〕在切线l 的方程中，令0x =，可得00(1)x y x e =-， 令0y =，可得01x x =-． 因为00x ≤，所以02001()(1)2x S S x x e ==-，所以00001()(1)(1)2x S x x x e =-+'， 所以当01x <-时，0()0S x '>，所以0()S x 在(,1)-∞-上单调递增； 当010x -<≤时，0()0S x '<，所以0()S x 在(1,0)-上单调递减，所以当01x =-时，S 取得极大值也是它的最大值2e ．12．函数()33f x x x =-．〔1〕求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；〔2〕假设过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．【答案】〔1〕9160x y --=；〔2〕()3,2--． 【解析】〔1〕233fxx ，∴切线斜率()29k f '==，()22f =，∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()292y x -=-， ∴即9160x y --=．〔2〕过点()1,A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为()00,x y ，那么30003y x x =-，()2033k f x x '==-，∴切线方程()()()320000333y x x x x x --=--，即32002330x x m -++=， ∴3202330x x m -++=有三个不同实数根， 记()32233g x x x m =-++，()()26661g x x x x x '=-=-，令()0,0g x x '==或1，那么()(),,x g x g x '的变化情况如下表：x(),0-∞0 ()0,11 ()1,+∞()g x ' + 0 -0 + ()g x极大极小当()0,x g x =有极大值3m +；()1,x g x =有极小值2m +． 因为过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，那么()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3020m m +>⎧⎨+<⎩，解得32m -<<-，所以m 的范围是()3,2--．江西多宝格教育咨询〔旗下网站：好教育 :// 〕郑重发表如下声明：一、本网站的原创内容，由本公司依照运营规划，安排专项经费，组织名校名师创作，经由好教育团队严格审核通校，按设计版式统一精细排版，并进行版权登记，本公司拥有著作权；二、本网站刊登的课件、教案、学案、试卷等内容，经著作权人授权，本公司享有独家信息网络传播权；维权 声明三、任何个人、企事业单位〔含教育网站〕或者其他组织，未经本公司许可，不得以复制、发行、表演、播送、信息网络传播、改编、汇编、翻译等任何方式使用本网站任何作品及作品的组成局部；四、一旦发现侵犯本网站作品著作权的行为，欢送予以举报〔举报：0791-********〕，举报内容对查实侵权行为确有帮助的，一经确认，将给予奖励；五、我们将联合全国各地文化执法机关和相关司法机构，并结合广阔用户和网友的举报，严肃清理侵权盗版行为，依法追究侵权者的民事、行政和刑事责任！特此声明江西多宝格教育咨询。
高三数学一轮复习学案--导数的概念doc
导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.教学过程：一、创设情景(一)平均变化率(二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0(4965(h h =,所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-”小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y =即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-.三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim .解: (1)法一 定义法(略)法二 222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- (2)x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f根据导数定义0(2)()f x f x fx x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以00(2)lim lim(3)3x x ff x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5, 说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为. 2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念. 六、布置作业。
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第二十二课时导数的定义与计算
课前预习案
考纲要求
1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
基础知识梳理
1．瞬时速度的定义：一般地，我们计算运动物体位移的平均变化率，如果当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的瞬时速度。
2．导数的定义：设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称在处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作或，=
3．导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率. 即=，其切线方程为
4．导数的物理意义:函数s=s(t)在t0处的导数s/(t0),就是物体在时刻t0时的瞬时速度v,即：
5．常用的求导公式：(1)常函数：y=c(c为常数) y'= ，
（2）幂函数：y=x n, y'= ，熟记y=，y'= ；， y'= （3）指数函数： y=a x, y'= ，熟记y=e x，y'=
（4）对数函数： y=log a, y'= ，熟记y=lnx, y'=
（5）正弦函数：y=sinx，y'= ；（6）余弦函数：y=cosx，y'=
6．导数的四则运算：
= ；=
；= ；
= ；=
7.复合函数求导法则：复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．若，则.
预习自测
1、下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2、如果某物体的运动方程是，则在秒时的瞬时速度是（）
A．4 B． C． D．
3、已知函数,则( )
A. 19
B. 5
C. 21
D.
4、与直线平行的抛物线的切线方程为( )
A. B. C. D.
课堂探究案
典型例题
考点1 求函数的导数
【典例1】求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）
【变式1】求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）
考点2 求函数的切线方程
【典例2】曲线在点（-1，-1）处的切线方程为
【变式2】（1）曲线在点（1,0）处的切线方程为
（2）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
当堂检测
1.曲线f(x)=x3+x－2在点处的切线平行于直线y=4x－1,则P0点的坐标为( )
A.(1,0)或(－1,-4)
B.(0,1)
C.(1,0)
D.(-1,-4)
2.已知函数的导函数为，且满足，则（）
A． B． C． D．
3、曲线在点A（0,1）处的切线斜率为
4、曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（）
A .-9
B .-3 C. 9 D .15
课后拓展案
A组全员必做题
1.曲线在点,处的切线方程为（）
A .
B . C. D .
2.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（）
A .64
B .32
C .16
D .8
3.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）
A .[0,)
B .
C .
D .
4.若满足，则（）
A． B． C．2 D．4
5．设函数，曲线在点处的切线方程为y=3．则的解析式为
6、若曲线在点处的切线平行于轴,则______.
7、若曲线(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________
B组提高选做题
1．已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（）
A． B． C． D．
2.曲线在点处的切线的斜率为（）
A． B． C． D．
3．已知曲线（）
A． B． C． D．
4.曲线y=x(3ln x+1)在点处的切线方程为________
5.若曲线在点处的切线平行于轴,则______.
参考答案
预习自测
1.B
2.D
3.C
4.D
典型例题
【典例1】（1）；（2）；（3）. 【变式1】（1）；（2）；（3）.
【典例2】
【变式2】（1）；（2）.
当堂检测
1.A
2.B
3.C
4.1
A组全员必做题
1.A
2.A
3.D
4.B
5.
6.-1
7.2
B组提高选做题
1.B
2.B
3.D
4.；
5.。