机械振动谐振子

C
mg
mga 0 I 0
固有频率 ： 0 mga / I 0
若已测出物体的固有频率0 , 则可求出I 0 ，再由移轴定理 ，可得物质绕质心的转动惯量：
I c I 0 ma
2
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法
21
22
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解：
以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系 振动固有频率：
k
m
300
0
x
0 k / m
49 10 2 / 1 70 ( rad / s )
振动初始条件：
kx0 mg sin 300
考虑方向
x0 0.1 (cm)
0 0 初始速度： x
运动方程： x(t ) 0.1 cos(70t ) (cm)
x (t ) x0 cos(0t )
c1 c2
c1 , c2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A c1 c2
2 2
1 初相位 ： tg
2
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kx 0 m x
x n 2 x 0
n
k m
考虑系统在初始扰动下的自由振动
x(t ) c1 cos(nt ) c2 sin(nt ) A sin(n t )
5
W
l/2
0
动张力几乎是静张力的一半！
l/2
由于
0 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
13
kA k
v
v km
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
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解：
取平衡位置： 以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系 静变形 由材料力学 ：
l/2
m h
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0

m h
0 2 gh x
则自由振动振幅为 ：
x 0 2 A x0 0
2

l/2
0
0
l/2
静平衡位置
l/2
静平衡位置

mgl 3 48EI
x
x
2 2h
自由振动频率为 ： 0
固有频率
哪种系统更易测谐振子的固频
?
n
k g m
g 对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用 计 算是较为方便的。
9 10
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例： 提升机系统
重物重 量 W 1.47 10 5 N 钢丝绳的弹簧刚度
解：
振动频率 0 v
0
0 x
sin(23 0t )
4
A c1 c2
x
T 2 / n
2 2
x(t ) c1 cos(n t ) c2 sin(n t ) A sin(n t )
设 t 的初始位移和初始速度为：
tg
n：
1
c1 c2
x( ) x
令：
( ) x x
c1 b1 cos(n ) b2 sin(n ) c2 b1 sin(n ) b2 cos(n ) x(t ) b1 cos n (t ) b2 sin n (t )
弹簧原长位置
例：复摆
a 刚体质量 m 重心 C 对悬点的转动惯量 I 0
C
mg
0
I0
m
0

静平衡位置
k I

k
x
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
kx 0 m x
0 k / m
k 0 I
0 k / I
19 20
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g

48 EI ml 3
梁的最大扰度：
max A
x(t ) x0 cos(0t )
15
0
0 x
sin(0t )
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例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
k
I

k
由上例可看出，除了坐标选择不同之外，角振动与直线振动 的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为 广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用 于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。
零初始条件下的自由振动：
n
x
sin n t
x(t ) x0 cos(nt )
n
0 x
sin(n t ) A sin(n t )
零时刻的初始条件：
x(0) x0
零初始条件下的自由振动：
( 0) x 0 x
0 x
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 n 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。 初始条件的说明：
0 x
对应向量 OQ
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考虑重力的作用
由牛顿第二定律
mg k x mx
静平衡位置： mg k 运动方程
弹簧原长位置
x
m
0

静平衡位置
k
m
k
x
kx 0 mx k 0 m 2 x n x 0 x
由牛顿第二定律建立运动方程
kx 0 mx
x
k
实验
m
第二讲 谐振子与谐振动
k 令 ： n 固有频率 m 单位：弧度/秒（rad/s）
x n x 0 则有 ：
2
通解 ： x(t ) c1 cos(n t ) c2 sin(n t )
x(t ) A sin(nt )
静平衡位置弹簧原长位置19机械与运载工程学院从前面两种形式的振动看到单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件惯性元件是感受加速度的元件它表现为系统的质量或转动惯量而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体
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无阻尼自由振动
b1 x b2
A
n
系统固有的数值特征，与系统是否正在振 动着以及如何进行振动的方式都毫无关系
A, ：
t
不是系统的固有属性的数字特征，与系统 过去所受到过的激励和考察开始时刻系统 所处的状态有关
有：
0
n
4
x
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时刻以后的自由振动解为：
x t x cos n t
v
k
0 v x
静平衡位置
W x
W
x(t )
v
0
sin(0t ) 1.28 sin(19.6t ) (cm)
x(t ) x0 cos(0t )
0
0 x
sin(0t )
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振动解：
x(t )
v
例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
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解：
由牛顿定律 ：
mga sin 0 I 0
0

例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动
a 斜面倾角 300
I0
k
m
300
因为微振动： 则有 ：
sin
质量 m=1kg 弹簧刚度 k=49N/cm 开始时弹簧无伸长，且速度为零 重力角速度取 9.8 求： 系统的运动方程
x
T 2 / n
x(t ) x0 cos(nt )
x A x0 2 0 n
2
0
sin(nt ) A sin(nt )
tg 1
x0n 0 x
5
初始条件是外界能量转入的一 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能，有初始速度即转入 了动能。
n
0 x
sin(nt ) A sin(n t )
7
x OQ 0 sin(n t ) ① x1 (t ) n n OP x0 ② x2 (t ) x0 cos(n t ) 对应向量 OP x0 sin(n t ) 对应向量 OR ③ x (t ) x0 cos(nt ) n 2 2 0 n x 0 A OR OQ OP OR x
弹簧原长位置
为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 ( N m / rad )
在圆盘的静平衡位置上任意选一根 半径作为角位移的起点位置 由牛顿第二定律：
m
0

静平衡位置
k
k 0 I 2 0
0
k
x
I

扭振固有频率
0 k / I
gk 19.6rad / s W
k 5.78 10 4 N / cm
重物以v=15m/s的速度匀速下降时 W 求： 绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率， （2）钢丝绳中的最大张力。
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重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置 则 t=0 时，有： x0 0 振动解：
sin(0t ) 1.28 sin(19.6t ) (cm)
v
m h
0
梁长 L，抗弯刚度 EI，不考虑梁的质量
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的 动张力之和 ：
Tmax Ts kA W kA 1.47 10 5 0.74 10 5 2.21 10 ( N )
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kx 0 m x
0 k / m
k 0 I
0 k / I
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从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固 有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。
x0
n
A
0
t
6
1
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自由振动的矢量表示
x
n
R
③ ①
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自由振动的矢量表示
x
● ●
n
R
● ●
T 2 n
● ●
P

O Q
① ③ ②
0 1 2 0
②

●
O
●
0
●
●
3
4
5
6
●
●
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x(t ) x0 cos(nt )
振子自由振动图像形成动画