11.2 二项式定理

23.(2014山东,14,5分)若
ax2
b x
6
的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为
.
答案 2
解析
Tr+1=
C6r
(ax2)6-r
b x
r
=C6r
a b x , 6-r r 12-3r
令12-3r=3,则r=3.∴C36 a3b3=20,即ab=1.
∴a2+b2≥2ab=2,即a2+b2的最小值为2.
高考数学(浙江专用)
§11.2 二项式定理
五年高考
A组 自主命题·浙江卷题组
考点 二项式定理及应用
1.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+ f(0,3)= ( ) A.45 B.60 C.120 D.210
r 4
·x 2
,令4 r
2
=1,得r=2,从而x的系数
为
C
2 4
(-1)2=6.
22.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是 答案 -40
(用数字填写答案).
解析 Tr+1=C5r ·(2x)5-r·(-1)r=(-1)r·25-rC·5r ·x5-r,令5-r=2,则r=3,所以含x2的项的系数是-40.
an-rbr进行求解.
12.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为
答案 60
解析
Tr&#(-2)rC
r 6
·xr,令r=2,
得T3=(-2)2
C
2 6
x2=60x2.故x2的系数为60.
.(用数字作答)
13.(2016山东,12,5分)若
x3
2
1
x
5
的展开式中x8的系数是
答案 5
2
(用数字作答).
解析
二项展开式的通项为Tr+1= C5r
(x3)5-r· 2
1
x
r
1
=2r
· C x r
153r r 2
5
,令15-3r-r
2
=8,得r=2,于是展开式
中x8的系数为
1 22
× C52
=
1 4
×10=
5 2
.
20.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于
6.(2015湖北,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式
系数和为 ( )
A.212
B.211
C.210
D.29
答案
D
∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为
C3n
,
C
7 n
,∴
C3n
=
C
7 n
,得n=10.
从而有
C100
+
C110
+
C120
4.(2016浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, 求a2的值.
解析
因为(1+2x)4的展开式的通项为
C
r 4
(2x)r,r=0,1,2,3,4,
(1-x2)3的展开式的通项为C3r (-x2)r,r=0,1,2,3,
.(用数字作答)
答案 80 解析 Tr+1=C5r x5-r·2r(r=0,1,…,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系数为C35 ×23=80.
21.(2015广东,9,5分)在( x -1)4的展开式中,x的系数为 .
答案 6
解析
(
x
-1)4的展开式的通项为Tr+1=
C
r 4
(
4r
x
)4-r·(-1)r=(-1)r·C
1 x2
中选取
1 x2
时,(1+x)6中要选取含x4的项,即系数为 C64,所以,展开式中x2项的系数
为
C62
+
C
4 6
=30,故选C.
4.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 答案 A T3=C62 x4i2=-15x4,故选A. 易错警示 易误认为i2=1而致错.
解析 本题主要考查二项展开式特定项的系数.
由题意得Tr+1= C5r
x5-r
1 2x
r
=
1 2
r
C5r
5 3r
x2
,
令5-
3r 2
=2,得r=2,所以
1 2
r
C5r
=
1 2
2
C52
=
5 2
.
故x2的系数为 5 .
2
方法总结
求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1=
C
r n
思路分析 (1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.
3.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=
,a5=
.
答案 16;4
解析 本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力. 设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2. 则a4=b2c2+b3c1=C32 ×12×22+13×C12 ×2=16, a5=b3c2=13×22=4.
18.(2015天津,12,5分)在
x
1 4x
6
的展开式中,x2的系数为
.
答案 15
16
解析
x
1 4x
6
的展开式的通项为Tr+1=C6r
x6-r
1 4x
r
=
1 4
r
C6r
x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数
为
C62
×
1 4
2
=
15 16
.
19.(2015重庆,12,5分)
3
x
1 2x
8
的展开式的常数项是
.
答案 7
解析 本小题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算.
3
x
1 2x
8
的展开式的通项Tk+1= C8k
8k
x3
· 12
k
·x-k= 1
2k
84k
C8k ·x 3
,要使Tk+1为常数,则8 4k
3
=0,∴k=2,
此时T3=
1 22
× C82
=7,故展开式的常数项为7.
2
2
∴a=3.
评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.
17.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为 . (用数字作答) 答案 40
解析 (2+x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r 25-r·xr(r=0,1,…,5),则x3的系数为C35 ×22=40.
评析 正确应用二项展开式的通项是解题的关键.
5.(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60
答案 C (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C52 (x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为C52 C13 =30, 故选C.
5
的展开式中含
x
3 2
的项的系数为30,则a=
(
)
A. 3 B.- 3 C.6 D.-6
答案
D
x
a x
5
的展开式的通项为Tr+1=C5r
(
x )5-r·
a x
r
=(-a)rC5r
52r
·x 2
.
依题意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1·C15 =30,a=-6,故选D.
8.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7
3.(2017课标全国Ⅰ理,6,5分) 1
1 x2
(1+x)6展开式中x2的系数为
(
)
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C 本题考查二项式定理中项的系数问题.
对于 1
1 x2
(1+x)6,若要得到x2项,可以在
1
1 x2
中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项,则系数
为 C62 ;当在1
解析
Tr+1=C5r (2x)5-r·(
x
)r=25-rC5r
5 r
·x 2
,令5-r
2
=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.
15.(2016天津,10,5分)
x2
1 x
8
的展开式中x7的系数为
答案 -56
.(用数字作答)
解析 Tr+1=C8r x16-2r(-x)-r=(-1)-rC8r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3C83 =-56. 易错警示 本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意. 评析 本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.
由
C32n
=2n得
2n(2n 1)(2n 3 21
2)
=2n,
解得n=2.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2018课标全国Ⅲ理,5,5分)
x2
2 x
5
的展开式中x4的系数为
(
)
A.10 B.20 C.40 D.80
答案 C 本题考查二项式定理.
x
2
2 x
5
的展开式的通项Tr+1=
ax2
1 x
5
的展开式中x5的系数是-80,则实数a=
.
答案 -2
解析
T =a C 5-r r
r+1
5
10 5r
x2
,令10-
5 2
r=5,解之得r=2,所以a3C52
=-80,a=-2.
14.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)(2x+ x )5的展开式中,x3的系数是
.(用数字填写答案)
答案 10
C5r
(x2)5-r·(2x-1)r=2rC5r
·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22×C52
=40.
故选C.
2.(2017课标全国Ⅲ理,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 ( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 答案 C 本题考查二项式定理,求特定项的系数. (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=C5r ·(2x)5-r·(-y)r=(-1)r·25-Cr 5r ·x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)3·22C·35 =-40, x3y2项的系数为(-1)2·23·C52 =80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.
所以a2=
C
2 4
·22·C30
+C04
·C13
·(-1)=21.
5.(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(1),5分)已知n为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开 式中x3项的系数相同,求n的值.
解析 (1+x)2n中x3项的系数为C32n ,(1+2x3)n中x3项的系数为2n.
答案
C
因为(x+1)n的展开式中x2的系数为
Cn2 n
,所以
Cn2 n
=15,即
C
2 n
=15,亦即n2-n=30,解得n=6
(n=-5舍).
9.(2014湖北,2,5分)若二项式
2x
a x
7
的展开式中
1 x3
的系数是84,则实数a=
(
)
A.2
B. 5 4
C.1
D. 2
4
答案
C
Tr+1=C7r
·(2x)7-r· ax
评析 本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理论证及运算求解能力.
24.(2014课标Ⅱ,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=
答案 1
2
解析 Tr+1=C1r0 x10-rar,令10-r=7,得r=3,
x5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2
y3的系数为(-1)3·22×3-5 C35 =-20,故选A.
评析 本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于 中档题.
11.(2018天津理,10,5分)在
x
2
1
x
5
的展开式中,x2的系数为
.
答案 5
2
答案
C
在(1+x)6的展开式中,xm的系数为
C6m
,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为
C
n 4
,故f(m,n)=
C6m
·
C
n 4
.从而f(3,0)=
C36
=20,
f(2,1)=
C62 ·C14
=60,
f(1,2)=C16
·C
2 4
=36,
f(0,3)=C34
=4,故选C.
2.(2018浙江,14,4分)二项式
+
C130
+…+
C10 10
=210,
又
C100
+
C120
+…+
C10 10
=
C110
+
C130
+…+
C190
,
∴奇数项的二项式系数和为
C100
+
C120
+…+
C10 10
=29.
评析 本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.
7.(2015湖南,6,5分)已知
x
a x
r
=27-rC
r 7
ar·x21r7
.令2r-7=3,得r=5.由22C·57
a5=84得a=1,故选C.
10.(2014湖南,4,5分)
1 2
x
2
y
5
的展开式中x2y3的系数是