连续时间系统的时域分析教材

),
d n1 dt n1
r(0
)
•通常为了确定系统的待定系数，须根据系统的0-状态和激励
信号情况求出0+的状态。
❖ 四、初始条件的求取
实际电路的初始条件： 储能元件的储能情况uc (0 )或iL (0 ) 定 0 状态, 当无冲激电流或阶跃电压强迫作用于C时 或当无冲激电压或阶跃电流强迫作用于L时, uc (0 ) uc (0 )或iL (0 ) iL (0 ) 定 0 状态
其中常数A1,A2,…,An由初始条件决定。 （２）特征根（有重根）的情况下，如1是方程的k阶重根，即：
nk 1
C0 n C1 n1 C2 n2 Cn1 Cn C0 ( 1)k ( i ) i2
则相应于1的k阶重根，有k项：
k
( A1t k1 A2t k2 Ak1t Ak )e1t ( Ait ki )e1t i 1
•卷积法也是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，通过它 把变换域分析赋清晰的物理概念。
3、算子符号法
•微分方程的算子符号表示法： 它使微分、积分方程的表示及某些运算简化。 也是时域经典法向拉普拉斯变换法的一种过渡。
第二节 微分方程式的建立
与求解
一、微分方程的建立
线性时不变系统 数学模型建立 线性的常系数微分方程
0
齐次方程的解为： r(t) Aet 或Aet 函数的线性组合。
将其解代入齐次方程，并化简：
即特征方程为 C0 n C1 n1 Cn 0 解得此方程的n个根：1,2 ,,n 称为微分方程的特征根。
❖ （2）特征根的情况分析
（１）特征根各不相同（无重根）的情况下，微分方程的齐次解为
n
rh (t) A1e1t A2e2t Anent Aieit i 1
一般系统的初始条件：
微分方程右端"自由项"函数式中有无（t）及其导数
决定 0 状态 0 状态有无跳变
❖ 五、冲激函数匹配法
•冲激函数匹配法原理：根据t=0时刻微分方程左右两端 的(t)及其各阶导数应该平衡相等。
•系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端 自由项是否包含(t) 及其各阶导数。
C1
d n1r(tLeabharlann Baidu dt n1
Cn1
dr(t) dt
Cn r (t
)
d me(t)
d m1e(t)
de(t )
E0 dt m E1 dt m1 Em1 dt Eme(t)
❖ ２、微分方程的经典法全解形式
则由时域经典法求解可得其完全解为
r(t) rh (t) rp (t) 其中齐次解 rh (t) 由方程右端为零构成的齐次方程而定；
连续时间信号输入
连续时间信号输出
连续时间系统
数学 模型
输入激励信号（t的函数）
高阶微分方程 （t及t的导数）
输出响应信号（t的函数）
输入——输出法 或端口描述法
系统分析的任务：对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应。
二、时域分析法
•时域法：不通过任何变换，直接求解系统的微分、积分方程。
•系统的分析与计算全部在时域内进行。
•若表中的特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘 表中特解。
❖ 例子2-4
给定微分方程式
d2
d
de(t )
dt 2 r(t) 2 dt r(t) 3r(t) dt e(t)
如果已知： (1)e(t) t 2; (2)e(t) et ;
分别求两种情况下此方程的特解。
解:(1)将 e(t ) t 2 代入方程右端，得到：
0 t
❖ 二、起始状态
•系统在激励信号加入前瞬间的一组状态：
r(0
),
r'
(0
),
r'
'
(0
),
r ' ' ' (0
),
d n1 dt n1
r(0
)
•称为系统的起始状态，简称0-状态.
•系统0-状态：就是系统中储能元件的储能情况。
•起始状态包含了计算未来响应的全部“过去”信息。
•由于受激励的影响，这组状态从t=0-到t=0+时刻可能发生变化。
其中A1，A2，A3为待定系数。
❖ 4、微分方程的特解
❖ （1）求特解的步骤
•微分方程的特解rp(t)的函数形式与激励信号的形式有关。
•将激励e(t)代入方程式的右端，化简后右端函数式称为“自由 项”。 •通过观察自由项的函数形式，试选特解函数式。
•代入方程，求得特解函数式中的待定系数。即求出特解rp(t)。
❖ 例2-3 求如下所示的微分方程的齐次解。
d3
d2
d
dt3 r(t) 7 dt 2 r(t) 16 dt r(t) 12r(t) e(t)
解：系统的特征方程为 3 7 2 16 12 0
因式分解： ( 2)2 ( 3) 0
特征根： 1 2(重根),2 3
对应的齐次解为： rh (t) ( A1t A2 )e2t A3e3t
1 et 3
系统方程的完全解：
r(t)
rh (t) rp (t)
2 i 1
Ai e i t
1 et 3
Ai 为待定系数，由边界条件决定。
第三节 起始点的跳变－从 0-到0+状态的转换
❖ 一、响应区间
•在系统分析中，定义： •响应区间：确定激励信号e(t)加入后系统的状态变化区间。
•一般激励e(t)都是从t=0时刻加入，此时系统的响应区间定为：
Fs (t)
m
Fs
f
化简得：
机械位移系统
m
d2 dt 2
v(t)
f
d v(t) kv(t) dt
d dt
Fs (t)
此为机械位移系统的微分方程。
❖ P81，2-1
作业
二、微分方程的求解
❖ 1.微分方程表达式
设n阶复杂系统激励信号为e(t)，响应信号为r(t)
其n阶微分方程为
C0
d nr(t) dt n
则代入方程得
a '(t) (3a b) (t) (b c)u(t) 3 '(t)
r(0 ) r(0 ) b 9
❖ 举例2－５：
❖如图所示电路，t<0时开关S处于1位置且达稳态，t=0时开关
S由1位置转向2位置。建立i(t)微分方程并求解。(t 0 )
2
s R1 1
1
e(t) 4V e(t) 2V
❖ 三、初始条件
•确定系统完全响应：
n
r(t) rh (t) rp (t) Aieit rp (t) i 1
式中 Ai 为待定系数，是由响应区间内t=0+时刻的一组状态确定的。
•初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组
成的一组状态：
r(0 ), r'
(0
),
r'
'
(0
),
r ' ' ' (0
•强迫响应：微分方程的特解表示系统的强迫响应。 可见强迫响应只与激励函数的形式有关。
•时域分析法优点：直观，物理概念清楚，是学习各种变换域 分析方法的基础。
•目前计算机技术的发展，各种算法软件的开发，使这一经典 的方法重新得到广泛的关注和应用。
三、时域分析法手段
•时域分析法有两种： •一种经典法直接求解微分方程；
•另一种是卷积法；即已知系统的单位冲激响应，将冲激响 应与输入激励信号进行卷积积分。
即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。
其中特解 rp (t) 根据方程右端激励构成的“自由项”而定。
注: "自由项"为e(t)代入方程右端化简后的函数式
❖ ３、齐次方程的求解
❖ （1）特征根的求解
齐次方程为：
C0
dn dt n
r(t)
C1
d n1 dt n1
r(t)
Cn1
d dt
r(t)
Cnr(t)
t 2 2t
为使等式两端平衡，设特解函数式：
rp (t) B1t 2 B2t B3
B1, B2 , B3 为待定系数，将此式代入方程：
3B1t 2 (4B1 3B2 )t (2B1 2B2 3B3 ) t 2 2t
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
联立解得：
3B1 1 4B1 3B2 2
•如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0-到0+状态 发生了跳变，即
r(0) r(0) 或 r'(0) r'(0)等等
•冲激函数匹配法步骤：
函数只匹配(t)及其各阶导数项，使方程两端这些函数 项对应相等。
•（1）先从最高阶项开始匹配；
匹配从方程左端r(k)(t)的最高阶项开始，首先使方程右 端函数最高阶次项得到匹配。
v( )d
刚体在光滑表面滑动，摩擦力Ｆf(t)与速度v(t)成正比。
其中f为摩擦系数。
Ff (t) f v(t)
运动物体的惯性力由牛顿第二定律决定：
d Fm (t) m dt v(t)
N
整个系统力的平衡由达朗贝尔原理确定： Fi 0
i 1
k
m d v(t)
dt
f
v(t) k
t
v( )d
引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为
f，外加牵引力为Fs(t)，求外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度
v(t)间的关系。
解：由机械系统元件特性：弹簧在弹性限
Fm k Fk
m
度内，拉力Ｆk与位移x成正比。
t
Fs
x(t) v( )d
Ff
f
设刚度系数为k，有
机械位移系统
t
Fk (t) k
i(t)
ic (t)
C 1F
iL (t)
L1H 4
R2
3 2
❖ 解：
求待定系数。因为
e(t) 4V
2
s R1 1
i(t) 1
ic (t)
e(t) 2V
C 1F
iL (t)
L1H 4
3 R2 2
求系统的0 状态有两种方法:
1 C
ic
(0
)
1 C
(i(0
)
iL
(0
))
用 冲 激 函 数 匹 配 法
•（2）最高阶项匹配好后对低阶项的影响；
每次匹配方程低阶函数项时，如果方程左端所有同阶次 函数各项系数之和不能和右端匹配，则由左端r(k)(t)最高阶项 中补偿。
•（3）匹配低阶项。已匹配好的高阶次函数项系数不变。
❖ 例子
(2)法：可设
dr(t)
a
'(t)
b
(t)
cu(t)
dt
r(t) a (t) bu(t)
e(t) 4V
2V
0
t
❖ P82，2-5
作业
❖ 六、自由响应与强迫响应
•回顾：线性常系数微分方程的经典解法。
•从系统分析的角度，线性常系数微分方程描述的系统为线性 时不变系统。 •自由响应：微分方程的齐次解表示系统的自由响应。它的 形式由表示系统特性的特征方程根i决定。 系数由系统0＋ 时刻的初始状态决定。i又称为系统的“固有频率”（或 “自由频率”、“自然频率”）。
2B1 2B2 3B3 0
1
2
10
B1 3 , B2 9 , B3 27
特解为：
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
解:(2)当e(t ) et 时，设特解为：rp (t) Bet
B 为待定系数，将此式代入方程：
Bet 2Bet 3Bet et et
B1 3
特解：
rp (t)
1、经典法
•经典法求微分方程：求齐次解和特解。
•经典法着重说明物理意义。
•建立自由响应和强迫响应、零输入响应和零状态响应概念。 它使线性系统分析在理论上更完善，为解决实际问题带来方 便。
2、卷积法
•卷积法：用卷积积分只能求到系统的零状态响应。零输入响 应仍要用经典法求得。
•卷积法：物理概念明确，运算过程方便，是系统分析的基本 方法。是近代计算分析系统的强有力工具。
第二章 连续时间系统
的时域分析
本章的主要讲授内容
•1、微分方程的建立和求解 •2、起始点的跳变——从0-到0+状态的转换 •3、自由响应和强迫响应 •4、零输入响应和零状态响应 •5、冲激响应和阶跃响应 •6 、卷积
•7 、卷积的性质
•8 、用算子符号表示微分方程
第一节 引言
一、连续时间系统分析方法
❖ （2）几种典型激励信号对应特解的形式
tp
B1t p B2t p1 Bpt Bp1
et
Bet
t pet cos(wt) t pet sin(wt)
B1 cos(wt) B2 sin(wt)
(B1t p Bpt Bp1)et cos(wt) (D1t p Dpt Dp1)et sin(wt)
1 v(t) R
电感：
iL (t)
1 L
t
v( )d
电容：
ic
(t )
C
d dt
v(t )
根据基尔霍夫电流定律有： iC (t) iR (t) iL (t) iS (t)
将上三式化简得： C
d2 dt 2
v(t)
1 R
d dt
v(t )
1 L
v(t )
d dt
iS (t)
例2-2
如图所示机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵
也即：
具体系统物理模型
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
常系数微分方程建立
例2-1 如图所示RLC并联电路，求并联电路的端电
压v(t)与激励源is(t)间的关系。
解：把v(t)作为变量，根据元件的电压电流关系有：
is (t)
iR iL
R LC
ic v(t)
RLC并联电路
电阻：
iR (t)