Stewart运动平台的雅可比矩阵条件数的研究
通用Stewart平台运动学正向数值求解方法及应用
且对不同的构型公式不能够通用。但是，正是由于 这三种方法有一定的准备工作，所以，又提供了缩 短计算时间的可能。所综述的文献中，不同的方法 都有实例验证，但是，相互之间缺乏横向比较，因 此，在ＰＩｌ３５０计算机上，采用Ｃ语言分别对四种 求解方法编程，在达到相同精度的情况下，比较了 各种算法的求解效率。固定平台和运动平台上铰点 的位置参数见表１、表２。
图１是一个通用的Ｓｔｅｗａｒｔ平台结构图，一和
平台上的铰点成对结合、固定平台的铰点分散分 布，或者布局正好相反，或者两个平台上的铰点都
Ｐ。分别代表与固定平台和运动平台固联的坐标系。 Ａ表示固定平台上的六个铰点（以下如果没有特别
是成对结合。Ｎａｎｕａ等…和Ｉｎｎｏｃｅｎｔｉ［２】分别得出结 论：具有复合铰的６—３型Ｓｔｅｗａｒｔ平台的运动学正 解存在１６组解，他们的研究基本上满足了６—３型 Ｓｔｅｗａｒｔ平台的正向解析求解要求。Ｈｕｎｔ等嗍预计 通用Ｓｔｅｗａｒｔ平台的解为４０、４８、５４或者６４组，
表１平台Ａ六个铰点位置
ｍｍ
运动平台Ｂ的起始点位姿Ｂ为（＿０．０３９２８８， 加．０８８ １００，６３５．９８０ １７６，＿ｏ．０１４ ３５ｌ，０．００３４７６， ０．００９４０５１，姿态角的单位是度。从起点开始，运 动平台做随机振荡运动，部分运动轨迹见图２。图 ２中给出运行时间为１ ｓ，取１０点进行运动学正解 计算，对应的腿长见表３。
（１）
·国家８６３计划（２００２ＡＡ４２０５１），清华大学机械工程学院重点基金 （０９１２０２００１）采１清华大学基础研究基金（０９２５０２００６）资助项目。２００２０８３０ 收到初稿，２００２１０３０收到修改稿
式中 硝——坐标系Ｂ到坐标系只的旋转矩阵
包含运动平台的姿态信息
基于Stewart平台的六维力／力矩传感器各向同性的解析研究
Ｋｅ ｒ ｓ ｉ ｘｓｆ ｒｅ ｔ ｒ ｕ ｅ ｓ ｒ Ｊ ｃ ｈａ ｔｉ ｙｗｏ ｄ ：ｓｘ ａ ｉ ｏ ｃ ／ｏ ｑ ｅｓｎ ｏ ； ａ ｏ ｉｎｍａ ｒｘ；ｃ ｎ ｉｉｎ ｎ ｍ ｂ ｒ ｓ ｔｏ Ｙ ｏ ｄｔ ｕ ｅ ；ｉｏ ｒ ｐ ｏ
基 于 Ｓ ｅ ａｔ平 台 的并 联结 构 六 维 力 ／ 矩 ｔｗ ｒ 力 传感器 ， 其测 力信 息 丰富 ， 能测量 空 间任 意力螺旋 （ 方 向力 和 ３ 力矩 ） ３个 个 的大 小 ， 测 试精 度 高 且 因而 近年来 在航 天器 空 间对接 仿 真 Ｊ风 洞试 验 、 、 火箭 发动机 推力 试 验 ］跑跳运 动 员起 动力 测 试 、 、 机械 手及计 算机输 出终 端绘笔 等方 面均 得 到 了
基 于 Ｓｅ ａ ｔ 台 的六 维 力／ 矩传 感 器 各 向同性 的解 析 研 究 ｔｗ ｒ 平 力
赵 克定 ． 灏 泉 ．吴盛林 ，袁立 鹏 杨
（ 尔 滨 工 业 大 学 机 电 工 程 学 院 ．黑 龙 江 暗 尔 滨 １ ０ ０ ） 哈 ５０ １
ＡＮＡＬＹＳ Ｓ ＯＦ Ｉ ＯＴＲＯＰ Ｆ ＨＥ Ｓ Ｘ— Ｉ Ｓ Ｙ ＯＲ Ｔ Ｉ ＡＸＩ ＯＲＣＥ／ ＯＲＱＵＥ ＥＮＳ ＡＳ Ｄ ＳＦ Ｔ Ｓ ＯＲ Ｂ Ｅ
ｏ Ｎ ＳＴＥ Ｗ ＡＲＴ ＰＬＡ ＴＦｏ ＲＭ ＺＨ ＡＯ ｅ ｄｉ ｇ． ＹＡ Ｎ Ｇ ａ ｕ ｎ ，Ｗ 乙 Ｓ ｎ ｉ Ｋ — ｎ Ｈ ｏｑａ ｈｅ ｇ ｌｎ，Ｙ Ｕ Ａ Ｎ ｎ Ｌｉｐｅ ｇ
（ ｏ ａ ｌ ｆ ｅ ｈ ｔｏ ｉ Ｅ ｇ ｎ ｅ ｉｇ． Ｓ ｈ ｏ ｃ ａ ｒ ｎ ｃ ｎ ｉ ｅ ｒｎ Ｈａ ｂ ｎ Ｉ ｓ ｉｕ ｅ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ Ｍ ｒ ｉ ｎ ｔ ｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ．Ｈａ ｂ ｎ １ ０ ０ ．Ｃｈ ｍｔ ｔ ｒ ｉ ５ ０ １ ｉ ）
速度雅克比矩阵分析
速度分析---雅可比矩阵---关节速度与末端速度的映射关系雅克比矩阵的获得方法：位置关系求导；矢量积法；微分变换法 雅克比的性质：6 x n 的偏导数矩阵，前3行为末端线速度传动比，后3行为末端角速度传动比。
行数=机器人在操作空间的维数，列数n=关节数。
雅克比的应用：1、判断奇异状态：|J|=02、雅克比矩阵的奇异值分解，将雅可比矩阵分解出对角阵（对角元素为奇异值），对角阵和雅可比矩阵具有相同的秩。
3、条件数，定义式（文献）根据是否满自由度划分，和奇异值存在关系：条件数是最大和最小奇异值的比值。
条件数k ≥1，当k=1时，操作臂所具有的形位称为各向同性，灵巧性最高，各奇异值相等。
4、最小奇异值，可用来作为控制所需关节速度上限的指标（限定式见文献）。
5、运动灵巧性指标，条件数的倒数。
附件1：矢量积法矢量积的方法是whitney 基于运动坐标系概念于1972年提出的求解机器人运动雅克比矩阵的方法。
末端抓手的微分移动和微分转动分别用d 和δ表示，线速度和角速度分别用v 和w 表示。
对于移动关节i 的运动，它在末端手抓产生于z1轴相同方向的线速度，且0i i v z qw ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此得到雅可比矩阵的第i 列0i i Z L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(移动关节i)对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的线速度为矢量积0()i i n i v z p q =⨯，产生的角速度为i i w z q= 。
因此，雅可比矩阵的第i 列为()00ii i in i n i i i Z R P Z P J z Z ⎡⎤⨯⎡⎤⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦式中，⨯表示矢量积符号，0in P 表示末端抓手坐标的原点相对坐标系{i}的位置在基座标系{0}的表示，0i n P =()0i in R P ,Zi 是坐标系{i}的Z 轴单位方向，它是用坐标系表示的。
附件2：微分变换法速度可以看成是单位采样时间内的微分运动。
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法是机器人控制理论中的重要内容，它是用于描述机器人末端执行器在各个自由度上的速度与关节角度变化之
间的关系的一个矩阵。
雅可比矩阵的求法可以采用数值计算、解析计算等方法。
数值计算法主要是通过数值逼近法求得机器人末端执行器的速度与关节角
度变化之间的关系，而解析计算法则是采用数学公式推导出雅可比矩阵的表达式。
在实际机器人控制中，雅可比矩阵的求法非常重要，因为它可以帮助控制系统实现机器人的运动控制、路径规划和动态仿真等功能。
同时，雅可比矩阵的求法也是机器人控制理论的重要研究方向之一，目前已经有很多学者在这方面做出了重要的贡献。
总之，机器人雅可比矩阵求法是机器人控制领域中的一个重要课题，它为实现机器人的高效控制和智能化应用提供了重要的理论基础。
- 1 -。
速度运动学-雅可比矩阵
第4章 速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。
雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。
1.角速度：固定转轴情形k θω&=（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ&是角度θ对时间的倒数）2.反对称矩阵一个n n ⨯的矩阵S ρ被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T,我们用)3(so 表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000)(xy x zy z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ⨯表示向量叉乘3）)()(Ra S R a RS T=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T旋转矩阵的导数)(θθSR R d d= 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
matlab中基于雅可比矩阵求条件数的程序
一、背景介绍在数值计算和科学工程领域中，雅可比矩阵是一种非常重要的矩阵类型。
它在诸如矩阵求逆、线性方程组求解、最优化问题等诸多应用中都扮演着重要的角色。
而雅可比矩阵的条件数则是评估矩阵的数值稳定性和误差敏感度的重要指标。
在MATLAB中，我们可以利用一些内置函数或自己编写程序来求解雅可比矩阵的条件数。
本文将围绕着这一主题展开深入讨论。
二、雅可比矩阵的条件数在数值分析中，雅可比矩阵A的条件数（condition number）是用来衡量矩阵的数值稳定性的一个重要指标。
它的定义是：对于矩阵A，其条件数定义为：cond(A) = ||A|| * ||A^(-1)||其中||A||表示A的某种矩阵范数，而||A^(-1)||表示A的逆矩阵的某种矩阵范数。
条件数的大小决定了矩阵求解问题的数值稳定性，条件数越大，表示矩阵的误差敏感度越高，数值稳定性越差。
三、MATLAB中求解雅可比矩阵条件数的程序在MATLAB中，我们可以利用内置的cond函数来求解矩阵的条件数。
假设我们有一个雅可比矩阵A，那么可以通过以下代码来求解其条件数：```matlabA = ... 输入雅可比矩阵Ak = cond(A); 求解雅可比矩阵A的条件数disp(['The condition number of A is: ', num2str(k)]);```除了使用内置函数外，我们也可以编写自己的程序来求解雅可比矩阵的条件数。
下面是一个简单的 MATLAB 程序示例：```matlabfunction k = jacobi_condition_number(A)输入：雅可比矩阵A输出：雅可比矩阵A的条件数k求解雅可比矩阵A的条件数k = norm(A,2) * norm(inv(A),2);end```通过以上代码，我们就可以方便地求解雅可比矩阵的条件数了。
四、个人观点与总结雅可比矩阵的条件数在数值计算和科学工程领域中具有重要意义，对于评估数值稳定性、误差敏感度以及算法收敛性等方面都起到了关键作用。
并联机构雅可比矩阵的求法及其计算精度研究
并联机构雅可比矩阵的求法及其计算精度研究并联机构雅可比矩阵的求法及其计算精度研究随着机器人技术的不断发展，机构的并联化设计越来越重要，而雅可比矩阵作为描述机构运动状态的重要工具，其精度的确保对于机构的运动控制和优化至关重要。
本文研究了并联机构雅可比矩阵的求法及其计算精度，为机构的设计和控制提供一定的理论参考。
用于求解并联机构雅可比矩阵的方法主要有两种：解析法和数值法。
解析法是根据机构的几何结构及其运动学方程，直接推导出雅可比矩阵的表达式。
但是这种方法的局限性很大，只适用于几何结构简单的机构，对于复杂的机构无法直接求解。
而数值法则是通过数值微分的方法，近似求解机构的雅可比矩阵，可以适用于各种类型的机构。
本文首先介绍了并联机构的基本概念和运动学方程，然后详细阐述了解析法和数值法两种求解雅可比矩阵的方法及其优缺点。
在此基础上，本文又针对数值法中常用的有限差分法和基于逆向微分的方法进行了比较，分析了它们的精度和计算速度。
研究表明，基于逆向微分的方法计算速度更快，精度更高，但需要对机构进行求导，且对于动态模型的求解不适用。
而有限差分法则是一种通用、易于实现的方法，适用于各种机构及其动态模型，但需要更小的步长和更高的阶数以保证精度。
最后，通过对比实验验证了不同方法的计算精度，并提出了提高并联机构雅可比矩阵计算精度的方法。
研究结果表明，在有限差分法中采用更高的阶数和更小的步长，能够有效提高计算精度，同时在基于逆向微分的方法中，采用更高的多项式阶数和更小的时间窗口，也能够提高计算精度。
总之，本文对并联机构雅可比矩阵的求法及其计算精度进行了研究和探索，提供了一定的理论基础和实验验证，为机构的设计和控制提供了参考。
但是，由于机构的复杂性和多样性，对于不同的机构类型和控制需求，需要采用不同的方法进行求解，并结合实际情况进行优化。
Stewart运动平台的雅可比矩阵条件数的研究答辩
收稿日期 :1997-06-24., Stewart 运动平台的雅可比矩阵条件数的研究李维嘉(交通科学与工程学院摘要从运动学的观点出发 , 对 Stewar t 平台的雅可比矩阵的条件数与结构尺寸之间的关系进行了分析 , 给出了机构的结构参数与雅可比矩阵条件数之间的无量纲化关系曲线 . 在此基础上 , 得出了益于降低条件数、提高机构的运动控制性能的设计参数 .关键词 Stewart 平台 ; 雅可比矩阵 ; 条件数 ; 设计分类号 TM 113. 2能够提供空间六自由度运动的 Stewart 平台 , 与串联运动机构相比 , 具有承载能力强、控制精度高、抗负载干扰刚度好及动态响应特性好等诸多优点 .在飞机、舰船和车辆的模拟训练器、并联机械手以及新型智能吊车上得到了广泛的应用 , 取得了良好的效果 . 近年来 , 国内外有许多文章对这种机构的运动范围、正向求解的方法、动态特性分析、结构的非奇异性等进行了比较深入的讨论 [1]. 但是讨论其雅可比矩阵的条件数与结构尺寸之间关系的文献 , 却还未曾见到 . 由于雅可比矩阵的条件数对机构本身的运动控制特性有很大的影响 , 条件数愈小 , 高的运动控制精度愈易实现 , 而机构的结构尺寸与条件数的大小又密切相关 , 因此有必要对它们之间的关系进行研究 . 这是提高机构的控制性能、对机构进行优化设计的一个重要组成部分 . 本文从运动学的角度出发 , 对这个问题进行分析 .1雅可比矩阵的条件数图 1是一个典型的 Stewart 运动平台的结构形式 . 它由顶点为S i (i =1, 2, … , 6 的六边形平面构成的运动平面 , 顶点为 B i (i =1, 2, … , 6 的六边形平面构成的固定平面 , 两端分别通过一只球铰和一只十字铰将它们连接起来的六只液压缸组成 . 模拟仓或机械手的手爪就固定在运动平面上 . 对液压缸活塞杆的长度进行控制 , 即能实现对运动平面的空间位置和姿态控制 .由于这类运动机构在实际工作中所面临的任务具有多样性和不确定性 , 它的设计一般都采用图 1 Stewar t 运动平台的示意图对称的结构形式 . 对于图 1来讲 , 运动平面与固定平面均是一个具有一定对称形式的六边形 . 设运动平面的六个顶点S i (i =1, 2, … , 6 分布在半径为 R 1的圆上 , 相临的圆心角为 A1与 B 1; 固定平面的六个顶点B i (i =1, 2, … , 6 分布在半径为 R 2的圆上 , 相临的圆心角为 A 2与 B 2. 参考坐标系 OXYZ 与固定平面相固连 ; 运动坐标系 O r X r Y r Z r , 则固连在运动平面上 . 用r i (i =1, 2, … , 6 表示运动平面上的向量 r S i 在参考坐标系 OX Y Z 中的三维向量 , 用 r øi 表示相应的向量在运动坐标系中 O r X r Y r Z r 的三维向量 . r i 与 r øi 之间存在着关系r i =R õr øi ,(1第 25卷第 11期华中理工大学学报Vol. 25 No. 111997年 11月 J. Huazhong Univ. of Sci. &Tech. Nov. 1997这里 R 为运动坐标系 O r X r Y r Z r 对参考坐标系 OX Y Z 的变换矩阵 .文献 [2]给出了该运动机构雅可比矩阵 J 的表达式J =r 1×e 1r 2×e 2… r 6×e 6e 1e 2…e 6, (2这里, e i (i =1, 2, … , 6 表示液压缸在坐标系 OX Y Z 中的单位向量 . 雅可比矩阵 J 反映了六只液压缸活塞杆线速度与运动平面在坐标系 OXYZ中的角速度、平移速度之间的映射关系 . 借助于矩阵 J , 可以从液压缸活塞杆线速度得出运动平面在坐标系 OXYZ 中转动的角速度和平移速度 , 反之亦然 . 另外 , 液压缸承受的理论静负载 , 也可以通过雅可比矩阵 J 计算出来 .雅可比矩阵 J 的条件数 J , 是衡量运动机构优劣的一个重要指标 . 条件数应尽可能地小 , 当它为 1时 , 运动机构具有各向一致性 . 条件数 J 的定义为J =‖ J ‖‖ J -1‖ . (3雅可比矩阵 J 为奇异时 , J 的值为无穷大 , 此时运动平面是不可控的 . J 为病态时 , J 的值变得非常大 , 此时机构承受的外负载出现较小的扰动时 , 会使液压缸承受的负载产生较大的变化 , 严重影响运动平面的控制精度 . 因此 , 在设计 Stewart运动平台时 , 结构参数的确定 , 应保证雅可比矩阵在机构的整个运动范围内具有尽可能小的条件数 .2条件数与结构参数间的关系为了使后面的分析具有普遍性 , 对 Stewart运动平台的结构参数进行无量纲化处理 . 设运动平面的半径 R 1与固定平面的半径 R 2的比值为 K , 两平面中心的距离与 R 2的比值为 h . 由于运动平面的标准位置通常都选在六个液压缸总长均相等的位置 , 此时变换矩阵 R 为单位矩阵 , 运动坐标系 O r X r Y r Z r 的原点 O r 在参考坐标系 OX Y Z 中的无量纲坐标为 (0, 0, h . 运动平面在这个位置附近实现六个自由度的运动 .另外 , 通过在整个运动范围内对雅可比矩阵条件数 J 的最大值和最小值进行多种方法的求解 , 发现存在以下规律 :当六个液压缸总长均为最大值或最小值时 , 相应的雅可比矩阵条件数 J 的值也比较接近整个运动范围内的最小值或最大值 . 如在 A 1=5°, A 2=5°, K =0. 8, 液压缸的缸长在 1. 7~2. 2范围内变化时 , 雅可比矩阵条件数的最J 2. 2000, 2. 1691, 2. 2000, 2. 0687, 2. 2000; 最小值 k min =11. 8582, 对应的缸长依次为 1. 9695, 1. 7000, 1. 7028, 1. 7004, 1. 7028, 1. 9652; 当缸长均取最大值 2. 2时 , J =14. 6032; 当缸长均取最小值 1. 7时 , J =11. 8737. 从中可以看到 , 缸长均取最小值时的雅可比矩阵条件数 J 与 J min 非常接近 ; 缸长均取最大值时的 J 与 J max 也比较接近 . 所以 , 得出标准位置 h 与条件数 J 的关系曲线 , 将有助于了解条件数在整个运动范围内的变化区间 .图 2给出了 K =0. 8和 h =1. 5时 , 条件数的图 2条件数的倒数 1/J 与 A 1和 A 2的关系倒数 1/J 与 A 1和 A 2之间的关系 . 从图中能够看到 , 当 A 1和 A 2满足 A 1+A 2=120°的条件时 , 条件数的倒数 1/J 为零 , 即条件数趋于无穷大 . 此时机构处于奇异位置 , 无法对运动平面进行控制 . 由于B 2+A 2≡ 120°和B 1+A 1≡ 120°, 当 A 1+A 2=120°时 , 有A1=B 2, A 2=B 1. 这意味着构成运动平面和固定平面的两个六边形相似 , 并且相应的顶点由液压缸连接在一起 . 此种结构形式使机构在它的关键位置处存在着奇异点 , 机构将无法工作 , 这与文献 [2]得出的结论一致 . 同时从图中也能够看到 , 在A 1与 A 2均趋近于零时 , 机构的条件数的倒数 1/J 趋于极大值 , 即条件数趋于极小值 .虽然 A 1=A 2=0°时 , 条件数有最小值 , 但是将两个球铰合在一起的复合铰链 , 在设计上会有许多问题 . 一个突出的问题就是铰链所能提供的运动范围比较小 , 容易出现机械干涉 . 因此 , 实际应用时 , 大都采用双铰链结构 , 即 A 1和 A 2均有一定的角度 . 取 A 1和 A 2在 5°~10°的范围内是比较合适的 . 图 3给出的是在 A 1=A 2=10°时 , 条件数的倒数 1/J 与 h 和 K 之间的关系 . 从中可以看出 , 在 K ∈ (0. 8, 1. 2 和 h ∈(0. 5, 0. 8 的区间内 , 1/J 的 . 34华中理工大学学报 1997年图 3条件数的倒数 1/J 与 K 和 h 之间的关系和 h =0. 7521时 , 条件数 J 有最小值 J =7. 8236. 不论 K 取何值 , 当 h >0. 8时 , 1/J 的值随着 h 值的增大而变小 , 即机构的控制性能随着运动平面的升高而降低 . 对于液压缸控制的六自由度并联运动机构来讲 , 这种情况通常会使人们感到更为明显 . 这主要由两方面的原因造成 , 其一是 h 的值一般都大于 0. 8, 雅可比矩阵的条件数随着 h 的增高而变大引起的 ; 其二则是由于液压缸的活塞杆在伸到头的过程中 , 液压控制系统本身的性能逐渐变差引起的 .3结论通过以上分析 , 可以得出以下结论 .a . 六自由度并联运动机构的控制特性与其结构形式密切相关 .b . 当圆心角 A 1和 A 2取为 5°~10°, 机构的铰链易于设计 , 且雅可比矩阵的条件数接近于最小值 .c . A 1和 A 2一定 , 当上下两平面的半径比 K ∈ (0. 8, 1. 2 和 h ∈ (0. 5, 0. 8 时 , 雅可比矩阵的条件数亦接近于最小值 .d . K <0. 5以后 , 雅可比矩阵的条件数随着 K 值的减小而急剧增大 , 当 K =0时 , 增至无穷大 . f . 雅可比矩阵的条件数随着运动平面工作高度的不同而变化 . h <0. 5以后 , 条件数随着 h 值的减小而急剧增大 , 当 h =0时 , 增至无穷大 .因此 , 在设计 Stewart 运动平台时 , 结构参数的确定 , 一方面应使其雅可比矩阵的条件数在关键工作位置处的数值尽量地小 , 另一方面应使其正常工作范围落入条件数比较小的范围内 , 以保证它能够具有良好的运动控制性能 .参考文献1 Liu C M , Adkins F A, Haug E J, et al. Wor king Ca-pability Analysis of St ewar t Platfor ms. ASME Jour -nal of M echanical Design, 1996, 118:220~2272 Ma O , Angeles J . Ar chitecture Singular ities of Par al-lel M anipulator s. Inter nat ional Jour nal of Robotic and Automation, 1992, 7(1 :23~29Study on the Condition Number of Jacobian Matrixof Stewart PlatformsLi WeijiaAbstr act The r elationship between design parameters of Stewart platfor ms and the condition number of Jacobian matrix is analyzed from the kinematic viewpoint . Non -dimensionalized curves in terms of the condition number , the design parameters and the motion and orientation of the platform are given . The solution to keep the condition number at a low level is investigated.Keywords Stewart platform; Jacobian matr ix; condition number ; designLi Weijia Assoc . Prof . ; College of T raffic Sci . &Eng . , HUST , Wuhan 430074, China .35第 11期李维嘉 :Stewar t 运动平台的雅可比矩阵条件数的研究。
雅可比矩阵ppt课件
动力学普遍方程 的补充：
A
问题的引出
M
m1g m2g
O
BF
m3g
MA
m1g m2g
O
B
m3g
问题1：系统在图示位 置平衡，用什么方法求 F与M的关系？
38
机器人的奇异点讨论：
39
斯坦福机械手的运动学奇点：
40
斯坦福机械手的运动学奇点示例 （讨论theta 5=0的特殊情况）
（theta 5=0时两轴线重合）
41
通过雅可比矩阵求解平面机械手的奇点分析示例：
42
43
通过雅可比矩阵对斯坦福机械手的奇点分析说明：
44
2.2 机器人静力分析
机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和 力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连 杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力 和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操 作臂力控制的基础。
velocity of 0P3org. (c) For what joint values is the manipulator at a singularity? What motion is restricted at this singularity?
66
2.3 机器人动力学方程 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉(Newton-Euler) 法、拉格 朗日(Langrange)法、高斯(Gauss)法、凯恩(Kane)法及罗伯 逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。本节介绍动力学研 究常用的牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程。
2 63
64
2. You are given that a certain RPR manipulator has the following transformation matrices, where {E} is the frame of the end ffector.
雅可比矩阵和动力学分析
手部瞬时速度为1 m/s。
三、雅可比矩阵的奇异性
J
1q
J *q J q
J *q ——J矩阵的伴随阵
若 Jq 0 则 J 1 q
q J 1q•V
由此可见，当雅可比矩阵的行列式为0时，要使手爪 运动，关节速度将趋于无穷大。
当雅可比不是满秩矩阵时，J的行列式为0。
与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。
反之，假如给定工业机器人手部速度，可解出 相应的关节速度，即：
q J 1V
式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。 当工业机器人手部在空间按规定的速度进行作 业，用上式可以计算出沿路径上每一瞬时相应 的关节速度。
例1 如图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。 求当θ1=30°，θ2=60°时的关节速度。
解 由推导知，二自由度机械手速度雅可比为
J
Байду номын сангаас
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图
逆雅可比为
J 1
1
l1l2s2
l2c12
l1c1
l2c12
l2s12
l1s1
l2s12
θ& J 1v 且vX=1 m/s，vY=0，因此
&&12
第3章 雅可比矩阵和动力学分析
上一章讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器 人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学 方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关 节空间的映射关系。
Stewart平台运动学参数的样条计算方法
Stewart平台运动学参数的样条计算方法
董彦良;吴盛林
【期刊名称】《燕山大学学报》
【年(卷),期】2003(027)003
【摘要】有关Stewart平台的运动学研究已经建立了计算其运动学参数的模型,但受测量手段的限制,只依靠这些模型还不能完成Stewart平台的运动学参数的工程计算.本文面向工程应用,基于三次样条逼近理论提出了一种计算Stewart平台的运动学参数的数值方法.该方法将工程实际中的离散的Stewart平台的位姿向量拟合为对时间的连续的三次样条函数,并结合Stewart平台的线速度、角速度、线加速度和角加速度计算模型,计算出了这些运动学参数的数值解.本文针对实际的Stewart平台,采用典型的算例,分析了该数值计算方法的计算精度.计算结果表明,该方法具有足够的计算精度和工程应用价值,Stewart平台的结构误差的尺度对该方法的计算精度具有显著的影响.
【总页数】6页(P216-221)
【作者】董彦良;吴盛林
【作者单位】哈尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨,150001
【正文语种】中文
【中图分类】TH11
【相关文献】
1.基于四阶B-样条最小二乘法的油气管道凹痕缺陷应变计算方法∗ [J], 张鹏;黄超;党思宏
2.倾斜柱塞式轴向柱塞泵运动学参数计算方法 [J], 苏三买;常博博;陈永琴
3.基于数值计算方法的非均匀有理B样条性质分析 [J], 王霄腾;薛齐文
4.三次三角插值样条曲线的数控插补计算方法 [J], 张益汉;宋爱平;刘祖奇;邱林;;;;
5.基于薄板样条插值函数的气动分布载荷插值计算方法 [J], 李力;王天
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Stewart并联机构姿态奇异描述与无奇异姿态运动规划研究
Stewart并联机构姿态奇异描述与无奇异姿态运动规划研究作者：李保坤郭永存曹毅来源：《安徽理工大学学报·自然科学版》2015年第01期摘要：以单位四元数为姿态参数，研究Stewart并联机构位于给定位置的姿态奇异并进一步探讨机构的无奇异姿态运动规划方法。
基于机构的雅可比矩阵，构建机构给定位置的以单位四元数表征的姿态奇异轨迹的一般符号解析表达式。
利用四元代数理论构建刚体姿态运动学方程和时间最优姿态轨迹方程；通过分析机构姿态奇异轨迹分布并利用刚体运动的时间最优姿态轨迹方程，研究机构无奇异时间最优的姿态运动的规划方法。
研究成果进一步丰富了Stewart 并联机构的奇异规避理论。
关键词：并联机构；姿态奇异；无奇异；姿态运动规划中图分类号：TP2422 文献标志码：A六自由度Stewart并联机构由于刚度大、承载能力强以及运动精度高等特点，已被广泛应用于运动模拟器、医疗器械、工业机器人、微纳操作、力/力矩传感器、空间探测、并联机床等多个高精技术领域[1]。
奇异位形严重影响并联机构的运动及力传递性能，对于并联机构来说，若机构处于奇异状态，机构将严重失稳并导致机构失控甚至被损坏。
因此，并联机构应位于远离奇异位形的区域工作。
得到机构的奇异轨迹是奇异规避研究的基础[2]。
PENDAR等[3]利用平面几何中的Ceva定理研究三角平台型Stewart并联机构的奇异位形。
文献[4]研究了Stewart并联机构姿态固定时的位置奇异轨迹在三维空间内的结构特性。
吴洪涛等[5]以单位四元数为姿态参数，给出了Stewart并联机构奇异轨迹的三维图形描述。
文献[6]给出了Stewart 机构的奇异轨迹，并进一步给出无奇异工作空间的确定方法。
对于并联机构来说，规避机构的奇异位形的一个重要方法便是通过增加冗余驱动来实现[7-9]，但对于具有六自由度的Stewart机构，采用冗余驱动无疑会带来机构控制的复杂性，并且会进一步限制机构的工作空间。
雅可比矩阵的定义
雅可比矩阵的定义
嘿，大家知道什么是雅可比矩阵吗？这可是个很有意思的东西呢！雅可比矩阵就像是一个神秘的“魔法矩阵”。
咱先来说说，雅可比矩阵它其实是向量函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。
这听着是不是有点晕乎？别急，咱举个例子哈。
比如说有个函数，它能把一组数变成另一组数，就像变魔术一样。
而雅可比矩阵呢，就是描述这个“变魔术过程”的一种工具。
它有啥用呢？哎呀，用处可大啦！它可以帮助我们理解和分析很多复杂的现象和过程呢。
比如说在物理中，研究一些变化的系统时，雅可比矩阵就能派上大用场。
它就像是一个“导航仪”，能让我们更清楚地看到变化的方向和程度。
想象一下，我们在一个迷宫里，雅可比矩阵就是那个能告诉我们该往哪儿走、怎么走更容易的指南。
它能告诉我们在某个点上，不同方向的变化趋势是怎样的。
这多厉害呀！
而且哦，雅可比矩阵在数学的很多领域都有重要的应用呢。
比如在微分几何中，它可是个关键角色。
它能帮助我们研究曲面的性质，就像给曲面做了一次全面的“体检”。
你说，这么重要又有趣的雅可比矩阵，是不是值得我们好好去了解和探索一下呢？我觉得真的是超级有意思的呀！总之，雅可比矩阵是一个非常强大和有用的工具，在很多领域都有着不可或缺的地位。
生物种群雅可比矩阵
生物种群雅可比矩阵
生物种群的雅可比矩阵是用于描述种群动态系统的线性化近似。
雅可比矩阵（Jacobian matrix）在生态学中通常用于分析种群动态系统的稳定性。
它是由一个动力学系统的偏导数构成的矩阵，可以提供关于该系统局部行为的详细信息。
具体到生物种群的研究中，雅可比矩阵可以帮助研究者理解种群数量变化的动态过程。
以下是雅可比矩阵在生物种群研究中的应用：
1. 局部稳定性分析：通过计算系统的雅可比矩阵并分析其特征值，可以判断某个平衡点是否稳定。
如果所有特征值的实部都小于零，则该平衡点是局部渐进稳定的。
2. 混沌检测：在非线性动力学系统中，雅可比矩阵可以用来计算李雅普洛夫指数，进而判断系统是否表现出混沌行为。
3. 灵敏度分析：雅可比矩阵还可以用来进行参数的灵敏度分析，了解不同参数变化对系统状态变量的影响程度。
4. 模型预测：在一些情况下，雅可比矩阵可以用来线性化非线性模型，从而简化模型的预测和分析过程。
雅可比矩阵是在某一特定点对系统进行线性化的结果，因此它只能提供系统在该点附近的局部行为信息。
对于复杂的生态模型，可能需要结合其他数学工具和方法来全面分析系统的动态特性。
速度雅可比矩阵定义
速度雅可比矩阵定义
摘要：
1.雅可比矩阵的定义
2.速度雅可比矩阵的概念
3.速度雅可比矩阵在物体运动中的应用
4.速度雅可比矩阵与其他矩阵的关系
正文：
速度雅可比矩阵是描述物体在运动过程中，速度变化情况的矩阵。
它涉及到物体的速度、加速度以及运动方向等多个因素，是分析物体运动状态的重要工具。
雅可比矩阵本身是一个描述物体运动状态的矩阵，其中包含了物体在各个方向上的加速度信息。
而速度雅可比矩阵则是在此基础上，加入了物体的速度信息，从而能够更加准确地描述物体在运动过程中的状态。
在物体运动中，速度雅可比矩阵可以用于分析物体的运动轨迹、速度变化以及受力情况等多个因素，从而对物体的运动状态进行准确的预测和控制。
此外，速度雅可比矩阵还可以与其他矩阵进行结合，如运动雅可比矩阵、位置雅可比矩阵等，以得到更全面、更准确的物体运动信息。
雅可比矩阵
雅可比(Jacobian)矩阵2008-12-05 11:29在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。
因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。
假设F:Rn→Rm 是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。
这个函数由m个实函数组成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这就是所谓的雅可比矩阵：此矩阵表示为：，或者这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置y i(i=1,...,m)表示的如果p是Rn中的一点，F在p点可微分，那么在这一点的导数由J F(p)给出(这是求该点导数最简便的方法)。
在此情况下，由F(p)描述的线性算子即接近点p的F的最优线性逼近，x逼近与p例子由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R × [0,π] × [0,2π] → R3此坐标变换的雅可比矩阵是R4的f函数:其雅可比矩阵为:此例子说明雅可比矩阵不一定为方矩阵。
在动态系统中考虑形为x' = F(x)的动态系统，F : R n→ R n。
如果F(x0) = 0，那么x0是一个驻点。
系统接近驻点时的表现通常可以从JF(x0)的特征值来决定。
雅可比行列式如果m = n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。
于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。
在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。
例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点具有反函数。
这称为反函数定理。
更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p 点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。
Stewart平台雅可比矩阵分析
0引言随着科技的发展以及人们对未知世界探索的需求,Stewart 平台在飞行模拟器、空中交会对接(RVD)仿真技术[1]、虚拟轴机床、力-扭矩传感器、装配机械手等领域应用广泛。
其中液压驱动Stewart 平台由于具有快速、高精度、大负载和结构紧凑等特点而受到青睐[2]。
Stew art 平台是一个典型的多变量和本质非线性的复杂系统。
对Stew art 平台运动学和动力学进行研究,是设计、分析和控制Stewart 平台的基础。
雅可比矩阵是在对Stew art 平台进行运动学动力学分析过程中产生和定义的矩阵,具有重要的物理意义,本文将对其实质展开论述,并用仿真结果来验证。
1Stewart 平台描述1.1坐标系建立如图1所示,Stewart 平台的主体部分由上平台(Platform )、下平台(Base )以及六个液压缸组成。
静止不动的下平台与可动作的上平台分别通过上、下胡克铰与液压缸的两端相连。
选取体坐标系-在上平台上,坐标原点为上铰点的外接圆圆心;惯性坐标系-的坐标原点为下铰点的外接圆圆心;坐标轴的方向如图1所示。
平台的六个上铰点位于半径为r a 的圆周上,如图2所示,A i (i=1,2,…,6)在圆周上均匀分布;运动平台的六个下铰点位于半径为r b 的圆周上,B j (j=1,2,…,6)在圆周上均匀分布。
1.2平台位姿描述Stew art 平台的姿态一般用欧拉角[3]描述。
定义其平移c=[x y z]T ,则其位姿可用广义坐标表示为:x=[c β]T =[x y z Φθψ]T由体坐标系下的矢量Γm变换为惯性坐标系下的矢量Γg时:Γg =g Γm Γm其中变换矩阵为:Ste wart 平台雅可比矩阵分析赵慧1张尚盈2(1.武汉科技大学,武汉430081;2.华中科技大学数字制造及设备技术国家重点实验室,武汉430074)摘要:通过S tew art 平台的运动学分析,推导出雅可比矩阵公式,并通过仿真结果对其物理意义进行验证。
第3章 雅可比矩阵和动力学分析讲诉
J i1 J a1
Ji2 Ja2
J in Ja2
q2 qn
• 把机器人关节速度向量 q i 定义为：
q q1 q2 qn T
式中，qi (1,2,, n) 为连杆 i 相对于
i 1的角速度或线速度。
• 手爪在基坐标系中的广义速度向量为：
X X
dX = J(q) dq
q1
q2
J（q）：反映了关节空间微
小运动dq与手部作业空间微
Y
Y
q1
q 2
小运动dX之间的关系。
Z Z
dX=[dX，dY，dZ， φX，φY，φZ]T
J(q)
X qT
q1
q2
X X
n自由度机器人J 阵
关节变量用广义关节变量q表示： q = [q1, q2, …, qn]T
当关节为转动关节时qi=θ i； 当关节为移动关节时qi=di
关节空间的微小运动：
dq = [dq1，dq2, … , dqn]T 机器人末端在操作空间的位姿X表示，它是关节 变量的函数，X=X(q)，是一个6维列矢量。
解 由推导知，二自由度机械手速度雅可比为
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图
逆雅可比为
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
J 1
1
l1l2s2
l2c12
速度运动学雅可比矩阵
第4章 速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。
雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。
1.角速度：固定转轴情形k θω =（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ 是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵一个n n ⨯的矩阵S被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T,我们用)3(so 表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323s s s s s s S 如果Tz y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000)(xy x zy z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ⨯表示向量叉乘3）)()(Ra S R a RS T=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T旋转矩阵的导数)(θθSR R d d= 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
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f. 雅可比矩阵的条件数随着运动平面工作 高度的不同而变化. h< 0. 5 以后, 条件数随着 h 值的减小而急剧增大, 当 h= 0 时, 增至无穷大.
因此, 在设计 St ewart 运动平台时, 结构参数 的确定, 一方面应使其雅可比矩阵的条件数在关 键工作位置处的数值尽量地小, 另一方面应使其 正常工作范围落入条件数比较小的范围内, 以保 证它能够具有良好的运动控制性能.
第 11 期 李维嘉: Stewar t 运动 平台的雅可比矩阵条件数的研究 35
图 3 条件数的倒数 1/ J 与 K和 h 之间的关系
和 h = 0. 752 1 时, 条 件 数 J 有 最 小 值 J = 7. 823 6. 不论 K取何值, 当 h> 0. 8 时, 1/ J 的值随 着 h 值的增大而变小, 即机构的控制性能随着运 动平面的升高而降低. 对于液压缸控制的六自由 度并联运动机构来讲, 这种情况通常会使人们感 到更为明显. 这主要由两方面的原因造成, 其一是 h 的值一般都大于 0. 8, 雅可比矩阵的条件数随着 h 的增高而变大引起的; 其二则是由于液压缸的 活塞杆在伸到头的过程中, 液压控制系统本身的 性能逐渐变差引起的.
3 结论
通过以上分析, 可以得出以下结论.
a. 六自由度并联运动机构的控制特性与其 结构形式密切相关.
b. 当圆心角 A1 和 A2 取为 5°～10°, 机构的铰 链易于设计, 且雅可比矩阵的条件数接近于最小 值.
c. A1和 A2 一定, 当上下两平面的半径比 K∈ ( 0. 8, 1. 2) 和 h∈( 0. 5, 0. 8) 时, 雅可比矩阵的条 件数亦接近于最小值.
e1
e2
…
e6
这 里, ei ( i = 1, 2, …, 6) 表示液压缸在坐标系
OX YZ 中的单位向量. 雅线速度与运动平面在坐标系 OXYZ
中的角速度、平移速度之间的映射关系. 借助于矩
阵 J , 可以从液压缸活塞杆线速度得出运动平面
在坐标系 OXYZ 中转动的角速度和平移速度, 反
系
OX YZ
中的三维向量,
用
r
ø i
表示
相应
的
向量
在
运动坐标系中
Or Xr YrZr 的三维向量.
ri 与
r
ø i
之
间
存在着关系
ri = R õ r øi ,
( 1)
收稿日期: 1997-06-24. 李维嘉, 男, 1964 年生, 副教授; 武汉, 华中理工大学交通科学与工程学院 ( 430074) .
之亦然. 另外, 液压缸承受的理论静负载, 也可以
通过雅可比矩阵 J 计算出来.
雅可比矩阵 J 的条件数 J, 是衡量运动机构
优劣的一个重要指标. 条件数应尽可能地小, 当它
为 1 时, 运动机构具有各向一致性. 条件数 J 的
定义为
J = ‖J ‖‖J - 1‖.
( 3)
雅可比矩阵 J 为奇异时, J 的值为无穷大, 此时运
2 Ma O, Angeles J. Ar chitecture Singular ities of Par allel M anipulator s. Inter nat ional Jour nal of Robotic and Automation, 1992, 7 ( 1) : 23～29
Study on the Condition Number of J acobian Matrix of Stewart Platforms
1 雅可比矩阵的条件数
图 1 是一个典型的 St ewart 运动平台的结构 形式. 它由顶点为 Si ( i = 1, 2, …, 6) 的六边形 平面构成的运动平面, 顶点为 Bi ( i = 1, 2, …, 6) 的六边形平面构成的固定平面, 两端分别通过 一只球铰和一只十字铰将它们连接起来的六只液 压缸组成. 模拟仓或机械手的手爪就固定在运动 平面上. 对液压缸活塞杆的长度进行控制, 即能实 现对运动平面的空间位置和姿态控制.
图 2 给出了 K= 0. 8 和 h= 1. 5 时, 条件数的
图 2 条件数的倒数 1/ J 与 A1和 A2的关系
倒数 1/ J 与 A1和 A2之间的关系. 从图中能够看到, 当 A1 和 A2 满足 A1 + A2 = 120°的条件时, 条件数的 倒数 1/ J 为零, 即条件数趋于无穷大. 此时机构处 于奇异位置, 无法对运动平面进行控制. 由于 B2 + A2 ≡120°和 B1 + A1 ≡120°, 当 A1 + A2 = 120°时, 有 A1 = B2 , A2 = B1 . 这意味着构成运动平面和固定平 面的两个六边形相似, 并且相应的顶点由液压缸 连接在一起. 此种结构形式使机构在它的关键位 置处存在着奇 异点, 机构将无法工作, 这与文献 [ 2] 得出的结论一致. 同时从图中也能够看到, 在 A1 与 A2 均趋近于零时, 机构的条 件数的倒数 1/ J 趋于极大值, 即条件数趋于极小值.
第 25 卷 第 11 期 华 中 理 工 大 学 学 报 Vol. 25 No. 11 1997 年 11 月 J. Huazhong Univ. of Sci. & Tech. Nov. 1997
Stewart 运动平台的雅可比矩阵条件数的研究
李维嘉
2. 200 0, 2. 169 1, 2. 200 0, 2. 068 7, 2. 200 0; 最小 值 kmin = 11. 858 2, 对应的 缸长依 次为 1. 969 5, 1. 700 0, 1. 702 8, 1. 700 4, 1. 702 8, 1. 965 2; 当缸 长均取最大值 2. 2 时, J= 14. 603 2; 当缸长均取 最小值 1. 7 时, J= 11. 873 7. 从中可以看到, 缸长 均取最小值时的雅可比矩阵条件数 J 与 Jmin 非常 接近; 缸长均取最大值时的 J 与 Jmax 也比较接近. 所以, 得出标准位置 h 与条件数 J 的关系曲线, 将 有助于了解条件数在整个运动范围内 的变化区 间.
( 交通科学与工程学院)
摘 要 从运动学的观点出 发, 对 Stewar t 平 台的雅可比矩 阵的条件数 与结构尺 寸之间的关 系进行了 分析, 给出了机构的结构参数与雅可比矩阵条件数 之间的无量纲化关系曲线. 在此基础上, 得出了益于降低条件数、 提高机构的运动控制性能的设计参数. 关键词 Stewart 平台; 雅可比矩阵; 条件数; 设 计 分类号 TM 113. 2
平面的六个顶点 B i ( i = 1, 2, …, 6) 分布在半
径为 R2 的圆上, 相临的圆心角为 A2 与 B2 . 参考坐
标 系 OXYZ 与 固 定 平 面 相 固 连; 运 动 坐 标 系
Or Xr Yr Zr , 则固连在运动平面上. 用 ri ( i = 1, 2,
…, 6) 表示运动平面上的向量 Or Si 在参考坐标
Li Weij i a Abstr act The r elat ionship between design paramet ers of St ewart plat for ms and the condit ion number of Jacobian mat rix is analyzed from t he kinematic viewpoint . Non-dimensionalized curves in t erms of t he condit ion number, t he design paramet ers and the mot ion and orient ation of t he pl at form are given. The solut ion t o keep t he condition number at a low level is invest igat ed. Keywords St ewart plat form; Jacobian matr ix; condit ion number ; design Li Weij ia Assoc. P rof. ; College of T raffic Sci. & Eng. , HUST , W uhan 430074, China.
由于这类运动机构在实际工作中所面临的任 务具有多样性和不确定性, 它的设计一般都采用
图 1 Stewar t 运动平台的示意图
对称的结构形式. 对于图 1 来讲, 运动平面与固定
平面均是一个具有一定对称形式的六边形. 设运
动平面的六个顶点 Si ( i = 1, 2, …, 6) 分布在
半径为 R1 的圆上, 相临的圆心角为 A1与 B1; 固定
34 华 中 理 工 大 学 学 报 1997 年
这 里 R 为 运动 坐标 系 Or Xr Yr Zr 对 参 考坐 标 系
OX YZ 的变换矩阵.
文 献 [ 2] 给出了该运动机构雅可比矩阵 J
的表达式
J = r 1 × e1 r2 × e2 … r6 × e6 , ( 2)
为了使 后面的分析具有 普遍性, 对 St ewart 运动平台的结构参数进行无量纲化处理. 设运动 平面的半径 R 1与固定平面的半径 R2 的比值为 K, 两平面中心的距离与 R2的比值为 h. 由于运动平 面的标准位置通常都选在六个液压缸总长均相等
的位置, 此时变换矩阵 R 为单位矩阵, 运动坐标 系 Or Xr Yr Zr 的原点 Or 在参考坐标系 OX YZ 中的 无量纲坐标为( 0, 0, h) . 运动平面在这个位置附近 实现六个自由度的运动.