陕西西北工业大学附属中学2016高三第四次适应性考试数学理试题 word含答案

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大
题共12小题， 每小题5分，共60分）
1.复数1,z i z =+ 是为z 的共轭复数，则1zz z --=（ ） A ．2i B ．i C ．i - D ．2i -
2.设23
25
55
322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 3.已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是（ ）
A ．
43 B ．8
3
C ．4
D ．6 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42013O B aO A a O C =+，且,,A B C 三点共线（O
为该直线外一点），则2016S 等于（ ） A ．2016 B ．1008 C ．2016
2
D ．1008
2
5.为调查高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若输出的结果是3800，则身高在170cm 以下的频率为（ ） A ．0.24 B ．0.38 C ．0.62 D ．0.76
6. 要得到函数cos 2y x =的图像，只需将函数sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像沿x 轴（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移6
π
个单位 D ．向右平移
12
π
个单位 7.若命题:p 所有对数函数都是单调函数，则p ⌝为（ ）
A ．所有对数函数都不是单调函数
B ．所有单调函数都不是对数函数
C ．存在一个对数函数不是单调函数
D ．存在一个单调函数不是对数函数
9. (
)
5
2
x x y ++的展开式中，52
x y 的系数为（ ）
A ．60
B ．30
C ．20
D ．10
10. 若函数()0)f x x a =>没有零点，则a 的取值范围为（ ）
A ．()0,1
B ．()
(
)0,12,+∞ C ．(()2,+∞ D ．()()0,12,+∞
11. 已知实数,a b 满足01,01a b ≤≤≤≤，则实数3
13
y x bx c =
++有极值的概率（ ）
A ．
14 B ．13 C ．12 D ．23
12.已知函数()()2x f x x e ax a =---，若不等式()0f x >恰好存在两个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3,04e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．,02e ⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭ C ．3,42e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．3,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
第II 卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须
作答．第22题
第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡相应的位置）．
13．若tan 2α=，则sin cos αα=________；
14．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<≤）的图像如图所示，则函数()f x 的解析式为________；
15．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k =________；
16． 已知()f x 是奇函数，且当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛
⎫
=->
⎪⎝⎭
，当()2,0x ∈-时，()f x 的最小值是1，则a =________；
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分12分）
已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，()1
1sin 22
g x x =+
． （1）求函数()y f x =的图像的对称轴方程；
（2）求函数()()()h x f x g x =+的最小正周期和值域． 18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy 中，已知四点()()()()12,0,4,0,0,3,3,4A B C D ----，把坐标系平面沿y 轴折为直二面角． （1）求证：BC AD ⊥；
（2）求平面ADO 和平面ADC 的夹角的余弦值； （3）求三棱锥C AOD -的体积．
19． （本小题满分12分）
有一个小型慰问演出队，其中有2个会唱歌，有5人会跳舞，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且()7
010
P ξ>=． （1）求该演出队的总人数； （2）求ξ的分布列并计算E ξ． 20． （本小题满分12分）
已知1F 、2
F 分别是椭圆22
14
x y +=的左、右焦点． （1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，125
4
PF PF =-
，求点P 的坐标； （2）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O
为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围． 21．（本小题满分12分） 已知函数()ln 1
x x
f x x =
+和直线():1l y m x =-． （1）当曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与直线l 垂直时，求原点O 到直线l 的距离； （2）若对于任意的[
)()()1,,1x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围； （3
）求证：2
1
41
n
i i
i
=<
-∑．(
)*
n N
∈
请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22． （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知AB 是O 的直径，AC 是
O 的切线，BC 交O 于点E ．
（1）若D 为AC 的中点，证明：DE 是
O 的切线；
（2
）若OA =，求ACB ∠的大小．
23． （本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程
在极坐标系ox 中，P 为曲线1:2cos C ρθ=上的任意一点，点Q 在射线OP 上，且满足
6OP OQ =，记Q 点的轨迹为2C ．
（1）求曲线2C 的直角坐标方程； （2）设直线:3
l π
θ=
分别交1C 与2C 交于A 、B 两点，求AB ． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）已知0c >，关于x 的不等式：22x x c +-≥的解集为R ．求实数C 的取值范围；
（2）若c 的最小值为m ，又p 、q 、r 是正实数，且满足3p q r m ++=，求证：
2223p q r ++≥．
数学（理科）参考答案
一．选择题 ： CADBA ACCBD BA 二．填空题： 1．
25 14．()11
52sin 6
6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 15．2 16．1 三．解答题：
17．（本小题满分12分） 【解析】（1）由题设知()11cos 226f x x π⎡⎤⎛
⎫=
++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦．令26x k ππ+=，
1311313
cos 2sin 22sin 2sin 2262222232x x x x x ππ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=
+++=++=++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎝⎭． 所以最小正周期是T π=，值域[]
1,2．
18．（本小题满分12分）（1）略（2）1
5
,(3)18 19．（本小题满分12分）
【解析】：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有()7x -人，那么只会一项的人数是()72x -人．
（1）∵()()7
01010
P P ξξ>=-==
，
∴()3010P ξ==，即272273
10
x x C C --=，
∴
()()()()7262327610
x x x x x --=⇒=--．
故文娱队共有5人．
（2）()()()1122322255331
0,1,210510
C C C P P P C C ξξξ========， ξ的分布列为
∴()331
401210510
5
E ξ=⨯
+⨯+⨯= 20．（本小题满分12分）
【解析】（1）因为椭圆方程为2
214
x y +=，知2,1,a b c === ∴())
12
,F F ，设(),(0,0)P x y x y >>，
则(
)(
)
22125
3,3,34
PF PF x y
x y x y
=-----=+-=-，
又22
14x y +=，联立22
227
41
4
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，∴P ⎛ ⎝⎭． （2）显然0x =不满足题意，可设l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，
联立()2
2221
141612042
x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩
，∴121222
1216,1414k x x x x k k =+=-++， 且(
)()2
216414120k
k ∧=-+>，∴234
k >
， 又AOB ∠为锐角，∴0OA OB >，∴12120x x y y +>，∴()()1212220x x kx kx +++>，
∴()()()()2
22
12122224412161241240141414k k k x x k x x k k k k k -⎛⎫++++=++-+=> ⎪+++⎝⎭
， ∴2
4k <，又∵2
34k >，∴2
344k <<
，∴32,,222k ⎛⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21．（本小题满分12分） 【解析】（1）()()
2
1ln 1x x
f x x ++'=
+
∴()1
12
f '=
，于是2m =-，直线l 的方程为220x y +
-=．．．．．．．．．．．．．．3分 原点O 到直线l 的距离为
5
． （2）()[)()()ln ,1,,11x x f x x f x m x x =
∀∈+∞≤-+，即1ln x m x x ⎛
⎫≤- ⎪⎝
⎭， 设()1ln g x x m x x ⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
，即[)()1,,0x g x ∀∈+∞≤ ()222
111mx x m g x m x x x -+-⎛
⎫'=-+= ⎪⎝⎭
， ① 若0m ≤，存在x 使()()()0,10g x g x g '>≥=，这与题设()0g x ≤矛盾 ② 若0m >，方程2
0mx x m -+-=的判别式2
14m ∆=-， 当0∆≤，即1
2
m ≥
时，()0g x '≤， ∴()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴()()10g x g ≤=，即不等式成立 当102
m <<
时，方程2
0mx
x m -+-=，设两根为12,x x ， ()()()1212110,1,1,22x x x x m m
<=
=+∞
当()()()21,,0,x x g x g x '∈>单调递增，()()10g x g >-与题设矛盾，综上所述12
m >
． （3）由（2）知，当1x >时，12m =
时，11ln 2x x x ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
成立， 不妨令()*21
21
k x k N k +=
∈-， 所以
2
21121214212212241
k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--++⎝⎭， ()()()*214ln 21ln 21441
k k k k N k +-<∈⎡⎤⎣⎦- ()()()()()22211ln 3ln14411
11ln 3ln144211
ln 21ln 21441n n n n ⎧
-<⎪⨯-⎪
⎪
-<⎨⨯-⎪
⎪+--<⎪⨯-⎩
累加可得 ()()*211ln 21441
n
i i
n n N i =+<∈-∑，
()*
2
1
41
n
i i n N i
=∈-∑
22．【解析】（1）连接,OE OD ，可证OAD OED ∆≅∆，∴OED OAD RT ∠=∠=∠，所以DE 是圆O 的切线． （2）0
60ACB ∠=
23．【解析】（1）cos 3ρθ=，（2）5AB =
24．【解析】（1）不等式22x x c +-≥的解集为R ⇔，函数2y x x c =+-在R 上恒大于或等于2，
∵22,222,2x c x c x x c c x c -≥⎧+-=⎨<⎩
，∴函数2y x x c =+-，
在R 上的最小值为2c ，∴221c c ≥⇔≥，所以，实数c 的取值范围为[
)1,+∞．
（2）由（1）知3p q r ++=，又,,p q r 是正实数，所以
()()()()2
2
2
222221111119p
q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即
2223p q r ++≥，当且仅当1p q r ===等号成立．。