第2章-轴向拉压

0
2
sin2
单辉祖-材料力学教程
15
3. 最大应力分析
0cos2
0
2
sin2
max 0 0
max
45
0
2
最大正应力发生在杆件横截面上，其值为0 最大切应力发生在杆件45°斜截面上, 其值为0/2
4. 正负符号规定
：以x 轴为始边，逆时针转向者为正 ：斜截面外法线On沿顺时针方向旋转90，与
求 A( x) ?
单辉祖-材料力学教程
立柱 53
解： 取微段分析其受力与平衡
[ ]( A dA) [ ]A rgAdx 0
dA rg dx A [ ]
通解：lnA rg x C [ ]
边界条件：x 0时，A F
[ ]
得：A F ergx[ ]
[ ] 各横截面具有同样强度的立柱－等强度柱
n
(
F bd
)
－板厚
单辉祖-材料力学教程
40
交变应力与材料疲劳概念
交变或循环应力 随时间循环或交替变化的应力
连杆
单辉祖-材料力学教程
41
疲劳破坏
b s
N－应力循环数
钢拉伸疲劳断裂
在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应 力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂
在交变应力作用下，材料或构件产生可见 裂纹或完全断裂的现象，称为 疲劳破坏
单辉祖-材料力学教程
22
拉伸试验与应力－应变图
拉伸标准试样
l10d 或 l5d
l11.3 A 或 l5.65 A
GB/T 228-2002《金属材料室温拉伸试验方法》
单辉祖-材料力学教程
23
拉伸试验
试验装置
单辉祖-材料力学教程
24
拉伸试验与应力－应变图
FF/ A l l /l
单辉祖-材料力学教程
[FN] A[ ]
单辉祖-材料力学教程
46
例题
例 6-1 图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力[] = 120 MPa，夹角 = 20°。试确定斜杆的直径 d。
解：1. 问题分析 轴力分析应力分析根据强度条件确定直径
单辉祖-材料力学教程
47
2. 轴力分析
Fy 0, F 2Fcos 0
得：FN
F
2cos
3. 应力计算
4FN πd 2
2F
πd 2cos
4. 确定直径 d
πd
2F
2cos
[
]
d
[
2F
]πcos
5.31102 m
取 d5.30 mm
单辉祖-材料力学教程
48
例 6-2 已知：A1=A2=100 mm2，[t ]=200 MPa， [c ]=150 MPa
试求：载荷F的许用值－许用载荷 [F]
50 0 cos2 0cos2 50
50 51.6 MPa
50
0
2
sin
2
0
2
sin
100
50 61.6 MPa
单辉祖-材料力学教程
20
例 3-2 以加速度 a 向上起吊直杆, 分析杆的轴力，并求最
大正应力。横截面面积为A, 材料密度为r。
解：1. 外力分析 F Alr g Alr a
各向异性 线弹性 脆性材料
单辉祖-材料力学教程
34
材料压缩时的力学性能
低碳钢压缩
Et Ec ( s )t ( s )c
愈压愈扁
单辉祖-材料力学教程
35
灰口铸铁压缩
b)c= 3 ~ 4 (b)t
断口与轴线约成45o
单辉祖-材料力学教程
36
温度对力学性能的影响
材料强度、弹性常数随温度变化的关系
WBDVBD , 而VBD lBD ABD , 故欲使WBD最小，
应使 lBD ABD最小，而 lBD、ABD 均与q 有关
单辉祖-材料力学教程
51
2. 斜撑杆受力分析
M A 0,
FN
Fx
hcos q
FN,max
Fl
hcosq
3. q 最佳值的确定
Amin
FN,max
[ ]
[
Fl
]hcosq
重力＋ 惯性力(达郎贝尔原理)
q F Ar( g a)
l
2. 轴力与应力分析
FN xq xAr( g a)
FN，max lAr ( g a)
max lr ( g a)
单辉祖-材料力学教程
21
§4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
拉伸试验与应力－应变图 低碳钢的拉伸力学性能 其它材料的拉伸力学性能 材料压缩时的力学性能 温度对力学性能的影响
解：1. 问题分析
轴力分析应力分析根据强度条件确定许用载荷
单辉祖-材料力学教程
49
2. 轴力分析
由 Fx 0, Fy 0
FN1 2F (拉伸) FN2 F (压缩)
3. 应力分析
1
FN1 A1
2F A1
( 拉应力)
4. 确定[F]
2
FN2 A2
F A2
( 压应力)
2F A1
[
t
]
F A2
[ c ]
单辉祖-材料力学教程
5
§2 轴力与轴力图
轴力 轴力计算 轴力图 例题
单辉祖-材料力学教程
6
轴力
轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力
符号规定：拉力为正,压力为负
单辉祖-材料力学教程
7
轴力计算
试分析杆的轴力 （F1=F，F2=2F）
FR F2 F1 F
AB 段： FN1 F
BC 段： FN2 F 0
中炭钢
单辉祖-材料力学教程
硬铝
37
§5 应力集中概念
应力集中与应力集中因数 交变应力与材料疲劳概念 应力集中对构件强度的影响
来自百度文库
单辉祖-材料力学教程
38
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
单辉祖-材料力学教程
39
应力集中因数
K max n
max－最大局部应力 n －名义应力
VBD
Aminl
BD
[
Fl
]hcosq
h
sinq
[
2Fl
]sin2q
欲使VBD最小，应使 sin2q 1
结论： qopt 45
单辉祖-材料力学教程
52
例 6-4 图示立柱，承受轴 向载荷 F。立柱的材料密
度为r，许用应力为[]。
为使各横截面的应力均
等于[],试确定横截面
沿立柱轴线的变化规律.
即：为使 ( x) [ ]
45
轴向拉压强度条件
强度条件 保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件
max
FN A
max
[
]
FN,max [ ]
A
变截面变轴力拉压杆 等截面拉压杆
常见强度问题类型
校核强度 已知杆外力、A与[]，检查杆能否安全工作 截面设计 已知杆外力与[]，确定杆所需横截面面积
A
FN,max
[ ]
确定承载能力 已知杆A与[]，确定杆能承受的FN,max
F A1[ t ] 14.14 kN
2
F A2[ c ] 15.0 kN
故 [F ]14.14 kN
单辉祖-材料力学教程
50
例 6-3 已知： l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆
BD 的许用应力为 [ ] 试求：为使杆 BD 重量最轻, q 的最佳值
斜撑杆
解：1. 问题分析
A
单辉祖-材料力学教程
13
拉压杆斜截面上的应力
1. 斜截面应力分布
横截面上 的正应力 均匀分布
单辉祖-材料力学教程
横截面间 的纤维变 形相同
斜截面间 的纤维变
形相同
斜截面上 的应力均
匀分布
14
2. 斜截面应力计算
Fx 0,
p
A
cos
F
0
p
F
cos
A
0
cos
pcos 0cos2
p s in
第2章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
单辉祖-材料力学教程
1
§1 引言 §2 轴力与轴力图 §3 拉压杆的应力与圣维南原理 §4 材料在拉伸与压缩时的力学性能 §5 应力集中概念 §6 许用应力与强度条件 §7 胡克定律与拉压杆的变形 §8 简单拉压静不定问题 §9 连接部分的强度计算
FN2 F
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力
单辉祖-材料力学教程
8
轴力图
FN1 F
FN2 F
以横坐标 x表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。
表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ）, 称为轴力图
单辉祖-材料力学教程
9
例题
例 21 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为r , 画杆
失效与许用应力 轴向拉压强度条件 例题
单辉祖-材料力学教程
44
失效与许用应力
静荷失效 断裂与屈服，相应极限应力
许用应力
u
s b
-塑性材料 - 脆性材料
构件工作应力的最大容许值
[ ] u
n
n ≥ 1 安全因数
[ ] s - 塑性材料
ns
[ ] b - 脆性材料
nb
单辉祖-材料力学教程
单辉祖-材料力学教程
11
拉压杆横截面上的应力 1.试验观察
横线仍为直线 仍垂直于杆轴 横线间距增大
单辉祖-材料力学教程
12
2. 假设
变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂 直,仅沿杆轴相对平移 – 拉压平面假设
3.正应力公式
横截面上各点处仅存在正 应力，并沿横截面均匀分布
公式得到试验证实
FN
冷作硬化：由于预加塑性变形, 使 e 或 p 提高的现象
单辉祖-材料力学教程
29
材料的塑性
塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力
伸长率
l0 l
100 00
l－试验段原长（标距） l0－试验段残余变形
单辉祖-材料力学教程
30
断面收缩率
A A1 A
1000
0
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积
塑性与脆性材料
塑性材料： ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等
单辉祖-材料力学教程
31
其它材料的拉伸力学性能
塑性金属材料拉伸
30铬锰硅钢
50钢
硬铝
单辉祖-材料力学教程
/%
0.2－名义屈服极限
32
灰口铸铁拉伸
单辉祖-材料力学教程
断口与轴线垂直
33
纤维增强复合材料拉伸 碳纤维/环氧树脂基体
单辉祖-材料力学教程
2
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压及其特点
单辉祖-材料力学教程
3
轴向拉压实例
单辉祖-材料力学教程
4
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式
拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件
轴向变形基本公式
E
FN
A
l
l
l FNl －胡克定律
EA
在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴 力 FN 及杆长 l 成正比，与乘积 EA 成反比
EA－ 杆截面的 拉压刚度
l － 伸长为正，缩短为负
轴向变形一般公式 变截面变轴力杆
d(l ) FN ( x)dx EA( x)
单辉祖-材料力学教程
42
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 max＝b 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当max达到s 后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度
应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
单辉祖-材料力学教程
43
§6 许用应力与强度条件
18
例题
例 3-1 已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：斜截面 m-m 上的应力
解：1. 轴力与横截面应力
FN F
0
FN A
F A
50 103N 400 106m2
12.5 MPa
单辉祖-材料力学教程
19
2. 斜截面 m-m 上的应力
0 12.5 MPa 50
单辉祖-材料力学教程
54
§7 胡克定律与拉压杆的变形
轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理 例题
胡克定律与杆的轴向变形
胡克定律
实验表明：当 p时，
引入比例常数E
E
在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律
E－弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa
1 GPa109 Pa103 MPa 钢与合金钢：E200~220 GPa 铝合金：E70~72 GPa
应力－应变图
25
低碳钢的拉伸力学性能
加载过程与力学特性 低碳钢Q235
滑移线
单辉祖-材料力学教程
26
滑移线
缩颈与断裂
单辉祖-材料力学教程
27
p-比例极限 s-屈服极限
b-强度极限 E= tan - 弹性模量
单辉祖-材料力学教程
28
卸载与再加载规律
e－弹性极限 e －弹性应变 p－塑性应变
该方向同向之切应力为正
单辉祖-材料力学教程
16
圣维南原理 杆端应力分布
单辉祖-材料力学教程
17
应力非 均布区
应力均布区
应力非 均布区
圣维南原理
力作用于杆端的分布方 式，只影响杆端局部范围的 应力分布，影响区约距杆端 1~2 倍杆的横向尺寸
单辉祖-材料力学教程
杆端镶入底座，横 向变形受阻，应力 非均匀分布
的轴力图，求最大轴力
解：1. 轴力计算 FNx xA rg FN x Argx
2. 轴力图与最大轴力 轴力图为直线
FN 0 0
FNl lArg
FN,max lArg
单辉祖-材料力学教程
10
§3 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆横截面上的应力 拉压杆斜截面上的应力 圣维南原理 例题