逻辑代数基础

R
E
A
F
图1-3 非电路
第1章 数字电路基础 逻辑非的运算规则是
0 1 1 0
第1章 数字电路基础
1.1.3 逻辑代数基本定律
根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义， 可得出逻辑代数的 基本定律。 1. 0-1律
0+A=A
0·A=0 1+A=1 1· A=A
(1-4)
(1-5) ຫໍສະໝຸດ Baidu1-6) (1-7)
边逻辑表达式的真值表，若两个真值表完全一致，则表明两个
表达式相等，定律得证。当然，也可以利用基本关系式进行代 数证明。
第1章 数字电路基础
例1 证明反演律
。 A B A B
证 利用真值表证明。 将等式两端列出真值表，如表1-8所
示，由表可知， 在逻辑变量A、B所有的可能取值中，A B 和 A B 的函数值均相等，所以等式成立。
其中， “·”为逻辑乘符号， 也可省略。
第1章 数字电路基础
A E
B F
图1-1 与电路图
第1章 数字电路基础 表1-1 与 真 值 表
第1章 数字电路基础 逻辑乘的运算规则是
0·0=0 0·1=0 1·0=0 1· 1=1
第1章 数字电路基础
2. 或逻辑
或逻辑的逻辑关系为当所有原因中的一个原因满足条件时
F AB (C C ) ( A A ) BC B C A B AB BC AC
由本例可见，公式法化简的结果并不是惟一的。如果两个
结果形式（项数、 每项中变量数）相同，则二者均正确，可以 验证二者逻辑相等。
第1章 数字电路基础
本章小结
二进制是数字电路中最常用的计数体制，０和１还可用来
(1-19) (1-20)
(1-21) (1-22)
第1章 数字电路基础 吸收律是经前面基本公式推导而得的， 除以上介绍的两个 之外，还有如下几个也是常用的基本公式。
AB AB A A AB A B AB A C BC AB A C
证明上述各定律可用列真值表的方法，即分别列出等式两
第1章 数字电路基础 1.1.2 基本逻辑关系
1. 与逻辑
与逻辑的逻辑关系为所有原因均满足条件时结果成立。在逻 辑代数中，与逻辑又称逻辑乘。如图1-1所示用2个串联开关控制 一盏灯电路，很显然， 若要灯亮，则2个开关必须全都闭合。 如有一个开关断开，灯就不亮。如用A和B分别代表2个开关， 并假定闭合时记为1，断开时记为0，F代表灯，亮为1，灭为0， 则这一逻辑关系可用表1-1表示。此表是将A、 B两个变量的所 有变化组合的值及对应的F值依次列出，称为真值表。由表1-5可 见， 与逻辑可表述为：输入全1，输出为1；输入有0，输出为0。 与逻辑的函数表达式为 F=A· B (1-1)
表示电平的高与低、开关的闭合与断开、 事件的是与非等。 二 进制还可进行许多形式的编码。 基本的逻辑关系有与、或、非3种，与其对应的逻辑运算是 逻辑乘、 逻辑加和逻辑非。任何复杂的逻辑关系都由基本的逻
辑关系组合而成的。
逻辑代数是分析和设计逻辑电路的工具，逻辑代数中的基 本定律及基本公式是逻辑代数运算的基础，熟练掌握这些定律 及公式可提高运算速度。
第1章 数字电路基础 逻辑函数可用真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图 表示，它们之间可以随意互换。
逻辑函数的化简法有卡诺图法及公式法两种。由于公式化
简法无固定的规律可循，因此必须在实际练习中逐渐掌握应用
各种公式进行化简的方法及技巧。
卡诺图化简法有固定的规律和步骤，而且直观、简单。只
要按已给步骤进行，即可较快地寻找到化简的规律。卡诺图化
第1章 数字电路基础
1.1 逻 辑 函 数
1.1.1 逻辑变量与逻辑函数
一件事物的因果关系一定具有某种内在的逻辑规律，即存
在着逻辑关系。 事物的原因即为这种逻辑关系的自变量，称为
逻辑变量。 而由原因所引起的结果则是这种逻辑关系的因变量，
称为逻辑函数。
第1章 数字电路基础
19世纪英国数学家乔治·布尔首先提出了用代数的方法来研
第1章 数字电路基础 2. 重叠律 A+A=A A· A=A 3. 互补律
(1-8)
(1-9)
A A 1 A A 0
(1-10)
(1-11)
第1章 数字电路基础 4. 交换律
A+B=B+A
A· B=B· A
(1-12)
(1-13)
5. 结合律 A+(B+C)=(A+B)+C A· C)=(A· C (B· B)· (1-14) (1-15)
第1章 数字电路基础 例2 证 证明 A A B A B
左式 A A B ( A A)( A B ) 1 ( A B) A B 右式
例3 证明
AB A C BC AB A C
证 左式 AB A C BC AB AC BC( A A )
第1章 数字电路基础 1) 最简与或式 在与或式中， 不改变其逻辑功能的情况下， 如果满足： （1） 含的乘积项个数最少； （2） 每个乘积项中含的变量个数最少， 则这个与或式是最简与或式。如何才能得到一个逻辑函数的最 简与或式呢？这就需要对逻辑函数进行化简。
第1章 数字电路基础
2) 代数法化简
AB A C ABC A BC AB(1 C ) A C (1 B ) AB A C 右式
第1章 数字电路基础
1.2.1 逻辑函数的化简
1. 逻辑函数的变换 由前面讨论可知，一个逻辑函数确定以后， 其表示逻辑关 系的真值表是惟一的，但我们可以利用逻辑代数的基本规则和 定律对其进行变换。 AB BC F 与或式
F A B A BC A B
第1章 数字电路基础 （3） 消去法：利用公式
A A B A B 消去多余因子
A；利用公式 AB A C BC AB A C 消去多余项BC。 如
F A AC BC D A C BC D A C BD
代数法化简就是利用学过的公式和定理消除与或式中的多 余项和多余因子，常见的方法如下： （1） 并项法：利用公式A+A=1 ，将两乘积项合并为一项， 并消去一个互补（相反）的变量。 如
F ABC A BC ( A A) BC BC
（2） 吸收法：利用公式A+AB=A吸收多余的乘积项。 如
例如：
( A B )(B C ) AB BC A B B C AB BC
或与式 与非—与非式 或非—或非式
与或非式
第1章 数字电路基础 2. 逻辑函数的化简 逻辑函数不仅可以利用逻辑代数的基本规则和定律对其 进行变换，而且还可以简化表达式的形式，使其成为最简式。 表达式越简单，形成的电路也越简单。 逻辑函数的最简式对不同形式的表达式有不同的标准和 含义。因为与或式易于从真值表直接写出，且又比较容易转 换为其他表达形式，故在此主要介绍与或式的最简表达式及 化简方法。
结果就成立。在逻辑代数中，或逻辑又称逻辑加。图1-2所示的
是用2个并联开关控制一盏灯电路，为或逻辑电路。可看出， 2 个开关中只要有一个闭合，灯就亮；如果想要灯灭，则2个开 关必须全断开。或逻辑关系的真值表见表1-2， 由表可得，或 逻辑为：输入有1， 输出为1；输入全0，输出为0。或逻辑的函
数表达式为
原因满足条件，则结果就不成立。例如图1-3所示的控制灯电
路， 图中开关与灯的状态是相反的，开关闭合，灯就灭，如 果想要灯亮，则开关需断开。非逻辑真值表见表1-3，由表可 得，非逻辑为：输入为0，输出为1；输入为1，输出为0。非逻 辑的代数表达式为
FA
(1-3)
第1章 数字电路基础
第1章 数字电路基础
又如
F AD A EG DEG AD A EG
第1章 数字电路基础 （4） 配项法：利用公式A+A=A，A A 1 及
AB A C BC AB A C 等， 给某函数配上适当的项， 进而
可以消去原函数式中的某些项。
第1章 数字电路基础
例4 化简函数
F AB BC B C 。 AB
分析 表面看来似乎无从下手，好像F不能化简，已是最简 式。但如果采用配项法，则可以消去一项。 解1
F AB BC ( A A ) B C A B(C C ) AB BC AB C A B C A BC A BC AB BC A C
第1章 数字电路基础 解2 若前2项配项，后2项不动，则
简法对5变量以下的逻辑函数化简非常方便。
究、证明、推理逻辑问题，自此产生了逻辑代数。和普通代数 一样，逻辑代数也用A、B等字母表示变量及函数，所不同的是， 在普通代数中，变量的取值可以是任意实数，而在逻辑代数中， 每一个变量只有0、1两种取值，因而逻辑函数也只能有0和1两 种取值。 在逻辑代数中，0和1不再具有数量的概念，仅是代表 两种对立逻辑状态的符号。 任何事物的因果关系均可用逻辑代数中的逻辑关系表示， 这些逻辑关系也称逻辑运算。
第1章 数字电路基础 6. 分配律 A·(B+C)=A·B+A·C A+B· C=(A+B) · (A+C) (1-16) (1-17)
7. 否定律
A A
(1-18)
第1章 数字电路基础 8. 反演律(摩根定律)
A B A B A B A B
9. 吸收律 A+AB=A A· (A+B)=A
F=A+B
其中， “+”为逻辑加符号。
(1-2)
第1章 数字电路基础
A B E F
图1-2 或电路图
第1章 数字电路基础 表1-2 与真值表
第1章 数字电路基础 逻辑加的运算规则是 0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
第1章 数字电路基础 3. 非逻辑 非逻辑的逻辑关系是结果总是与原因相反， 即只要某一