波动方程举例

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4t - 4 9
20
yD
3 102
cos[4 π t
-
9
5
]
3 102 cos[4 π t ]
5
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播, 已知振
幅 A 1.0m ,T 2.0s , 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1)波动方程
u
T
t=0时x=0处的质点的位移为0,
向正方向运动
y/m t0
0.04
O A
y
π
2
o•
-0.04
p•
0.2
u 0.08m/s
x/m
坐标原点的振动方程为 y 0.04cos[0.4t - ]SI
2
波动方程 y 0.04cos[0.4 t x - ]SI
0.08 2
(2)p点处x = 0.2m,代入上述波动方程
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
2.已知波动方程,求各物理量
例3 波动方程 y = 0.05 cos ( 5 x – 100 t ) (SI)
1.此波是正向还是反向波,并求 A、n、T、u 及 ;
2. x = 2 m 处质点的振动方程及初相; 3.x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。
解:1.
0.05 cos ( 5 x – 100 t ) 0.05 cos 100 ( t – x )
20
cosa = cosa
正向波
波动方程 y = 0.05 cos ( 5 x – 100 t ) (SI)

y
A cos ( t
x) u
比较得 0.05 m
100
20 m ·s -1
500 Hz
O
y
A
π
2
y/m
0.04
o•
-0.04
t0
p•
0.2
u 0.08m/s
x/m
波动方程 y 0.04cos[0.4 t x - ]SI
0.08 2
例5 沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t =2s时刻的波 形图如图所示, 设波速 u 0.5m/ s 求
(1)该波波动方程 (2)原点0的振动方程
于 x=a 处的 P 点的振动方程为 yp Acos t p
求波动方程
解法一 在x轴任选一点B,离开 坐标原点的距离为x
振动从p
B所需时间为 t x - a
u
已知 p点相位为 t p
B点相位 B t p t t t p
波动方程 y Acos t t p
100
0.15 20
0.75
3.已知波形图求波动方程
例4 一平面简谐波在t =0时刻的波形图如图所示,求 (1)该波波动方程
(2)p处质点的振动方程
y/m t0
u 0.08m/s
方法一
0.04
设坐标原点处质点的 振动方程为
o
p•
0.2
y Acost -0.04
x/m
A=0.04m 0.4m T 5 s 2 0.4
Acos t
x
u
a
p
可作为 通式记
解法二 求出坐标原点振动表达式
振动从o
p所需时间为 t a
u
o
t
p
t
t
a u
p
坐标原点振动表达式为
y
A cos t
a u
p
波动方程
y
Acos
t
x u
a u
p
A
cos
t
x u
a
p
考虑 如波以波速u沿x轴负方向传播,结果如何?
振动从B
p所需时间为 t x - a
解1 设坐标原点处质 点的振动方程为
y Acost
y/m
0.5
o
-0.5
u
t 2s


x/m
1
2
已知条件: A=0.5m
2m
2 2 u 0.5 T
t=2s y=0 v20>0
y/m
0.5
2
v20 A sin2 0
2 - 0.5
2
2
u
t 2s


x/m
1
2
2
o
x
A
t=2s
坐标原点处质点的振动方 程为
y 0.5cos 0.5t SI
2
y/m
0.5
o
-0.5
u
t 2s


x/m
1
2
该波波动方程
y 0.5cos 0.5 t x SI
0.5 2
u
B点相位 B t p t t t p 波动方程 y Acos t t p
Acos t
x
u
a
p
可作为 通式记
例1一平面简谐波以速度 u 20m沿/直s 线传播,波线上点
A 的简谐运动方程
yA 3102 cos4πtSI
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程
2
sinxSI
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3) x 0.处5m质点的振动规律并做图 .
y cos[2π( t x ) - ]SI
22 2
x 0.5处m质点的振动方程
y cos[t π] -costSI
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
O
y
A
解 写出波动方程的标准式
y Acos[2π( t x ) ] T
x 0 代入上式
y Acos[2π t ]
T
π
2
波动方程为
y
cos[2π(
t
x )-
]SI
22 2
2)求t 1.0波s形图.
y cos[2π( t x ) - ]SI
22 2
t 1.0s
波形方程
y cos[π x]
0.02 s 0.4 m
2. x = 2 m 处
0.05 cos ( 5×2 – 100 t ) 0.05 cos ( 100 t –10 ) 初相为–10
3. x1 = 0.2 m 处的振动相位比原点处的振动相 位落后
x2 = 0.35 m 处的振动相位比原点处的振动相 位落后
两者的相位差为
解1
y
A cos
t
x u
y 3 102 cos 4π(t x )SI
20
2)以 B 为坐标原点,写出波动方程
u
8m 5m 9m
C oB A
Dx
解2 yA 3102 cos4πtSI
y
Acos t
x u
a
p
y 3 10-2 cos4 t x 5 SI
20
3)写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
y 0.04cos[0.4 t 0.2 - ]
0.08 2
0.04cos[0.4t ]
2
方法二 设波动方程为
y
A cos ( t
x) u
A=0.04m
u=0.08m/s 2 0.4
T

把x=0代入上述波动方程 y Acost
y Acos t t=0时x=0处的质点的位移为0, 向正方向运动
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
解3
yA 3102 cos4πtSI
点 C 的相位比点 A 超前
c
A
x u
4t 4
13 20
yC 3102 cos[4πt 2.6π]
3 102 cos[4 π t 3 π] 5
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
点 D 的相位落后于点 A
D
A
-
x u
三、波动方程举例
题目类型 1.已知坐标原点振动表达式 y Aco及s波t 速
u 和传播方向,求波动方程
平面简谐波的波动方程为
y( x, t ) Acos(t t)
A cos ( t
x u
)
“—” 波沿 x 轴正方向传播
“+” 波沿 x 轴负方向传 播
变化1 一平面简谐波以波速u沿x轴正向传播。位
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