2022-2023学年北师大版七年级下数学月考试卷(含解析)

2022-2023学年初中七年级下数学月考试卷
学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________
考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
1. 下列不能用平方差公式运算的是( )
A.B.C.D.
2. 下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A.两个含角的直角三角形
B.腰对应相等的两个等腰直角三角形
C.边长为和的两个等腰三角形
D.一个钝角相等的两个等腰三角形
3. 个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重随月份（月）的变化而变化，可以用
（其中是婴儿出生时的体重）来表示．在这一变化过程中，自变量是（ ）
A.B.C.D.
4. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A.，，
B.，，
C.，，
D.，， 5.
如图，在小河旁有一村庄，现要建一码头，为使该村庄与码头的距离最近，则码头应建在A.点处
(x+1)(x−1)
(−x+1)(−x−1)
(x+1)(−x+1)
(x+1)(−x−1)
60∘341∼6y(g)t y =a +700t a y
a
700
t
1cm 2cm 3cm
2cm 3cm 8cm
5cm 12cm 6cm
4cm 6cm 9cm
( )
A
B.点处
C.点处
D.点处
6. 有一游泳池注满水，现按一定的速度将水排尽，然后进行清扫，再按相同的速度注满清水，使用
一段时间后，又按相同的速度将水排尽，则游泳池的存水量（立方米）随时间（小时）变化的大
致图象可以是（ ） A. B. C. D.
卷II （非选择题）
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
7. 如图所示为正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，其面积之和比其余面积（阴
影部分）多，则主卧和客卧的周长之差为________.
8. 中，下列说法正确的有________（填序号）
①三条角平分线的交点到三边的距离相等；
②三条中线的交点到三边的距离相等；
③三条中垂线的交点到三顶点的距离相等；
④三边的高的交点一定在三角形的内部．
9. 一根长为的蜡烛，每分钟燃烧，蜡烛剩余长度（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系
式为________.
B C D V t 9m 2m △ABC 20cm 2cm y t
10. 如图，在中，，，为边中线，则与的周长之差为
________．
11.
如图，，，则________．
12. 如图，在中，，将绕点逆时针转至的位置，其中点与点是对应点，且点在边上，此时延长交于点
，若
，则的长为________．
三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）
13. 计算：. 14. 计算： ； .
15. 已知，是关于的方程的两个根，是否存在实数使成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16. 点为射线上一点，，连接，过点的直线．
如图，当点在线段上时，证明；
如图，当点在线段的延长线上时，判断与的数量关系，并证明．
17. 如图，中，，平分，求的度数．
△ABC AB =13cm AC =10cm AD BC △ABD △ACD ∠1=∠2∠4=58∘∠3=△ABC AC =32–√△ABC C △DEC A D D AB BD =3−3，∠BCD =，3–√15∘EC AB F ∠E =30∘FD −−6÷4–√(−)12
−2−18
−−−√3(1)(m+n)(m−n)(−)
m 2n 2(2)(x+4)(x+6)−(x+3)(x+8)x 1x 2x +2(m−2)x++4=0x 2m 2m +−=21x 21x 22x 1x 2m E BC ∠B+∠DCB =180∘ED A MN//ED (1)1E BC ∠MAB =∠D (2)2E BC ∠MAB ∠D △ABC ∠ABC =∠C =70∘BD ∠ABC ∠ADB
18. 如图， 中， 于， 于.
用无刻度的直尺画出边上的高；
若，求的长．
19. 如图，已知，且.求证：判断与
的位置关系，并说明理由；
若平分，且，，求
的度数.
20. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图，可得等式：
.
由图，可得等式：________.
如图，有，，三种类型纸片足够多张，小明想要用它们拼一个边长分别为和
的长方形，则需要用到型纸片________张；
利用中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值.
21. 阅读材料：若 ，求，的值．解：，
，，， .
根据你的观察，探究下面的问题：
，则________，________.
已知 ，求的值.已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的周长．
22. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步
行，到达图书馆恰好用．小东骑自行车以的速度直接回家，两人离家的路程与
各自离开出发地的时间（）之间的函数图象如图所示．
△ABC AD ⊥BC D CF ⊥AB F (1)△ABC AC (2)BC =6，AB =4，AD =3CF ∠1+∠2=180∘∠3=∠B (1)EF BC (2)CE ∠ACB ∠2=110∘∠3=50∘∠ACB 1=+2ab +(a +b)2a 2b 2(1)2(2)3A B C 4a +b 5a +3b C (3)(1)a +b +c +d =14(a +b)(c +d)+ab +cd =71+++a 2b 2c 2d 2−2mn+2−4n+4=0m 2n 2m n ∵−2mn+2−4n+4=0,∴(−2mn+)+(−4n+4)=0m 2n 2m 2n 2n 2∴(m−n +(n−2=0)2)2∴(m−n =0)2(n−2=0)2∴n =2,m=2(1)++6a −2b +10=0a 2b 2a =b =(2)+2−2xy+8y+16=0
x 2y 2xy (3)△ABC a b c 2+−4a −8b +18=0a 2b 2△ABC 30min 300m/min y(m)x min
家与图书馆之间的路程为________，小玲步行的速度为________；
求小东离家的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
求两人相遇的时间．
23. 已知，直线，点为平面上一点，连接与．
如图，点在直线，之间，当，时，则________.
如图，点在直线，之间，与的角平分线相交于点，直接写出与
之间的数量关系；
如图，点落在外，与的角平分线相交于点，上述结论还成立吗？并说明理
由．
(1)m m/min (2)y x (3)AB//DC P AP CP (1)1P AB CD ∠BAP =60∘∠DCP =25∘∠APC =(2)2P AB CD ∠BAP ∠DCP K ∠AKC ∠APC (3)3P CD ∠BAP ∠DCP K
参考答案与试题解析
2022-2023学年初中七年级下数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
平方差公式
【解析】
根据平方差公式r 的特征逐项判定即可.
【解答】
解：，，能用平方差公式计算，故不符合题意；
，，能用平方差公式计算，故不符合题意；
，，能用平方差公式计算，故不符合题意；
，，不能用平方差公式计算，故符合题意.
故选.2.
【答案】
B
【考点】
全等图形
【解析】
综合运用判定方法判断．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．
【解答】
解：、两个含角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等图形；
、腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合或，或，是全等形；
、边长为和的两个等腰三角形有可能是，，或，，，显然不确定全等对应关系，故不能明确是否会全等；、一个钝角相等的两个等腰三角形，缺少对应边相等，不是全等图形．
故选．
3.
【答案】
D
【考点】
自变量与因变量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(a +b)(a −b)=−a 2b 2
A (x+1)(x−1)=−1x 2A
B (−x+1)(−x−1)=−(1−x)(1+x)=−(1−)=−1x 2x 2B
C (x+1)(−x+1)=(1+x)(1−x)=1−x 2C
D (x+1)(−x−1)=−(x+1)2D D A 60∘B AAS ASA SAS C 34334443D B
解：，其中是常数，在这个关系中，自变量是.
故选.
4.
【答案】
D
【考点】
三角形三边关系
【解析】
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【解答】
、＝，选项错误；
、，选项错误；
、，选项错误；
、，正确．
5.
【答案】
C
【考点】
垂线段最短
【解析】
根据垂线段最短得出即可．
【解答】
解：根据垂线段最短可知，码头应建在处.
故选．
6.
【答案】
C
【考点】
用图象表示的变量间关系
【解析】
依题意，注满水的游泳池以相同的速度把水放尽与加满，然后过一段时间之间又以相同的速度放尽，由此可得出答案．
【解答】
解：根据题意分析可得：存水量的变化有几个阶段：
，减小为，并持续一段时间；
，增加至最大，并持续一段时间；
，减小为．
只有选项中的图象符合题意.
故选．
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
y =a +700t a t D A 1+28B 3+2<6C 5+6<12D 2+6>9C C V 10230C C
7.
【答案】
【考点】
完全平方公式
整式的混合运算
【解析】
设主卧的边长为米，客卧边长为米，根据题意结合图形列出方程：，可得，则可求周长差．
【解答】
解：设主卧的边长为米，客卧的边长为米，则房屋的边长为米，
根据题意得：，∴，，
∴主卧和客卧的周长差为.
故答案为：8.
【答案】
①③
【考点】
三角形的角平分线、中线和高
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，三角形的高的交点的位置对各小题分析判断即可得解．
【解答】
解：①三条角平分线的交点到三边的距离相等，正确；
②三条中线的交点到三边的距离相等，错误，到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点；
③三条中垂线的交点到三顶点的距离相等，正确；
④三边的高的交点一定在三角形的内部，错误，只有锐角三角形的高的交点在三角形的内部；
综上所述，说法正确的是①③．
故答案为：①③．
9.
【答案】
【考点】
用关系式表示的变量间的关系
变量与常量
【解析】
此题暂无解析
12
a b (+)−[−(+)]=9
a 2
b 2(a +b)2a 2b 2a−b =3a b (a +b)(+)−[−(+)]=9
a 2
b 2(a +b)2a 2b 2(a −b =9)2a −b =34a −4b =4(a −b)=12
12.y =20−2t
【解答】
解：由题意得：.
故答案为：10.
【答案】
【考点】
三角形的角平分线、中线和高
三角形的中线
【解析】
根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．
【解答】
解：∵为中线，
∴，
∴与的周长之差
，
∵，，
∴与的周长之差．
故答案为：.
11.
【答案】【考点】
平行线的判定与性质
【解析】
由内错角相等，两直线平行得出，再由两直线平行，内错角相等得出即可．
【解答】
解：∵，
∴
，
∴.
故答案为：．
12.
【答案】
【考点】
勾股定理
y =20−2t y =20−2t.3cm
BD =CD △ABD △ACD =AB−AC AD BD =CD △ABD △ACD =(AB+AD+BD)−(AC +AD+CD)=AB−AC
AB =13cm AC =10cm △ABD △ACD =13−10=3cm 3cm 58∘
a//b ∠3=∠4=58∘∠1=∠2a//b ∠3=∠4=58∘58∘3+3
–√
平行线的判定与性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵绕点逆时针转至，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，∵，
∴，∵，∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴•，
故答案为：．三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）13.
【答案】
解：.
【考点】零指数幂、负整数指数幂
实数的运算
立方根的应用
算术平方根
【解析】
首先化简算术平方根、立方根、负整数指数幂，然后进行有理数的运算即可.
【解答】
解：.14.
【答案】△ABC C △DEC CD =AC DE =AB ∠B =∠E =30∘∠BCD =15∘∠ADC =45∘∠A =∠ADC =45∘∠ACD =90∘AC =32–√AD =6BD =3−33–√AB =3+33–√DE =3+33–√∠ECD =∠ACB ==∠A−∠B =105180∘∠ECB =∠ECD−∠BCD =90∘∠FCB =90∘∠EFD =60∘∠EDF =90∘DF =tan ⋅DE =30∘3–√3(3+3)=3+3–√3–√3+3–√−−6÷4–√(−)12−2−18−−−√3
=2−4−6÷(−)12=2−4+12=10−−6÷4–√(−)12−2−18−−−√3
=2−4−6÷(−)12=2−4+12=10(m+n)(m−n)(−)22
解：..
【考点】
平方差公式
完全平方公式
整式的混合运算
【解析】
利用平方差公式即可求解；
按整式的运算法则计算即可.
【解答】
解：..15.
【答案】
解：存在．
由已知得，，
，
∴，
又，
即，
∴，
整理得，
解得，，
而，
则.
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
完全平方公式
【解析】
先利用判别式得到，再由根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形
得到，所以，然后解关于的方程即可得到满足条件的
的值.
【解答】
解：存在．
(1)(m+n)(m−n)(−)
m 2n 2=(−)(−)
m 2n 2m 2n 2=(−)m 2n 22
=−2+m 4m 2n 2n 4(2)(x+4)(x+6)−(x+3)(x+8)=(+6x+4x+24)−(+8x+3x+24)
x 2x 2=+10x+24−−11x−24x 2x 2=−x (1)(2)(1)(m+n)(m−n)(−)
m 2n 2=(−)(−)
m 2n 2m 2n 2=(−)m 2n 22
=−2+m 4m 2n 2n 4(2)(x+4)(x+6)−(x+3)(x+8)=(+6x+4x+24)−(+8x+3x+24)
x 2x 2=+10x+24−−11x−24x 2x 2=−x +=−2(m−2)x 1x 2=+4x 1x 2m 2Δ=−4(+4)=−16m≥0[−2(m−2)]2m 2m≤0+−=21x 12x 22x 1x 2−3=21(+)x 1x 22x 1x 2−3(+4)=21[−2(m−2)]2m 2−16m−17=0m 2=17m 1=−1m 2m≤0m=−1m≤0+=−2(m−2)=+4x 1x 2x 1x 2m 2x +12x 22−=2x 1x 2−3=21(+)x 1x 22x 1x 2A −3(+4)=21(m−2)2m 2m m =+4
2
由已知得，，
，
∴，
又，
即，
∴，
整理得，
解得，，
而，
则.16.
【答案】
证明：如图，延长，交于点
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
．证明过程如下：
如图，延长，交于点
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【考点】
平行线的判定与性质
【解析】
无
无
【解答】
证明：如图，延长，交于点，
+=−2(m−2)
x 1x 2=+4x 1x 2m 2Δ=−4(+4)=−16m≥0[−2(m−2)]2m 2m≤0+−=21x 12x 22x 1x 2−3=21(+)x 1x 22x 1x 2−3(+4)=21[−2(m−2)]2m 2−16m−17=0m 2=17m 1=−1m 2m≤0m=−1(1)AB DE G ∠B+∠DCB =180∘AB//DC ∠D =∠G MN//ED ∠MAB =∠G ∠MAB =∠D (2)∠MAB+∠D =180∘AN DC G ∠B+∠DCB =180∘AB//DC ∠NAB =∠G NN//ED ∠D =∠G ∠NAB =∠D ∠NAB+∠MAB =180∘∠D+∠MAB =180∘(1)AB DE G
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
．证明过程如下：
如图，延长，交于点
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
17.
【答案】
解：∵，平分，
∴，
∴．
【考点】
三角形的外角性质
角平分线的定义
【解析】
依据＝＝，平分，即可得出＝，再根据三角形外角性质，即可得到的度数．
【解答】
解：∵，平分，
∴，
∴．
18.
【答案】
解：如图，即是边上的高.
∠B+∠DCB =180∘AB//DC ∠D =∠G MN//ED ∠MAB =∠G ∠MAB =∠D (2)∠MAB+∠D =180∘AN DC G ∠B+∠DCB =180∘AB//DC ∠NAB =∠G NN//ED ∠D =∠G ∠NAB =∠D ∠NAB+∠MAB =180∘∠D+∠MAB =180∘∠ABC =∠C =70∘BD ∠ABC ∠DBC =35∘∠ADB =∠C +∠DBC =+=70∘35∘105∘∠ABC ∠C 70∘BD ∠ABC ∠DBC 35∘∠ADB ∠ABC =∠C =70∘BD ∠ABC ∠DBC =35∘∠ADB =∠C +∠DBC =+=70∘35∘105∘(1)BE △ABC AC
∵，
∴，
即，∴.【考点】
三角形的高
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】解：如图，即是边上的高
.
∵，
∴，
即，∴.19.
【答案】解：．理由如下：
∵ ， ，
∴.
∴.
∴ .
又∵ ，
∴.
∴.
∵， ，
∴.
∵，∴ .
∵平分，
∴.
【考点】
平行线的判定与性质
平行线的性质
(2)=BC ⋅AD =AB ⋅CF S △ABC 1212BC ⋅AD =AB ⋅CF 6×3=4CF CF =92
(1)BE △ABC AC (2)=BC ⋅AD =AB ⋅CF S △ABC 1212BC ⋅AD =AB ⋅CF 6×3=4CF CF =92(1)EF//BC ∠1+∠2=180∘∠1+∠FDE =180∘∠FDE =∠2FD//AB ∠3=∠AEF ∠B =∠3∠AEF =∠B EF//BC (2)∠3=∠AEF =50∘∠2=110∘∠FEC =−∠2−∠AEF =180∘20∘EF//BC ∠FEC =∠ECB =20∘CE ∠ACB ACB =2∠ECB =40∘
角平分线的定义
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：．理由如下：
∵ ， ，
∴.
∴.
∴ .
又∵ ，
∴.
∴.
∵， ，
∴.
∵，∴ .
∵平分，
∴.
20.
【答案】
∵，
∴.
∵，
.
【考点】
列代数式
多项式乘多项式
列代数式求值
【解析】
根据题意、图形及多项式乘法来解答即可.
根据长方形的面积公式列出代数式，根据多项式乘法法则展开即可得出结果.
根据来解答即可.
【解答】
解：由图可知，该图形的面积为.故答案为：.根据题意，得此长方形的面积为，
所以需要用张型、张型、张型纸片.
故答案为：.
∵，
∴.
∵，
(1)EF//BC ∠1+∠2=180∘∠1+∠FDE =180∘∠FDE =∠2FD//AB ∠3=∠AEF ∠B =∠3∠AEF =∠B EF//BC (2)∠3=∠AEF =50∘∠2=110∘∠FEC =−∠2−∠AEF =180∘20∘EF//BC ∠FEC =∠ECB =20∘CE ∠ACB ACB =2∠ECB =40∘(a +b +c +d =++++)2a 2b 2c 2d 22ab +2ac +2ad +2bc +2bd +2cd 17(3)(a +b)(c +d)+ad +cd =71ac +ad +bc +bd +ab +cd =71a +b +c +d =14∴+++a 2b 2c 2d 2
=(a +b +c +d −2(ac +ad +ab +bc +bd +cd))2=−2×71=54142(1)(1)2(a +b +c +d)2
=++++2ab +2ac +2ad +2bc +2bd +2cd a 2b 2c 2d 2(a +b +c +d =++++)2a 2b 2c 2d 22ab +2ac +2ad +2bc +2bd +2cd (2)S =(4a +b)(5a +3b)=20+12ab +5ab +3a 2b 2
=20+17ab +3a 2b 220A 17C 3B 17(3)(a +b)(c +d)+ad +cd =71ac +ad +bc +bd +ab +cd =71a +b +c +d =14∴+++a 2b 2c 2d 2
=(a +b +c +d −2(ac +ad +ab +bc +bd +cd)
)2=−2×71=54
2
.21.
【答案】
,，
，，
∵，，
，，，，
，
∴.
∵，，
∴，∵，，
，，，，
，
，
，
，
∵，，为正整数，
，
∴周长.
【考点】
非负数的性质：偶次方
完全平方公式
三角形三边关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵，∴，∴，∵，，
∴，，，.
故答案为：；.
=−2×71=54142−31
(2)∵+2−2xy+8y+16=0x 2y 2∴(−2xy+)+(+8y+16)=0
x 2y 2y 2∴(x−y +(y+4=0)2)2(x−y ≥0)2(y+4≥0)2∴x−y =0x =y y+4=0y =−4∴x =−4xy =16(3)2+−4a −8b +18=0
a 2
b 2∴2−4a +2+−8b +16=0
a 2
b 22(a −1+(b −4=0)2)2(a −1≥0)2(b −4≥0)2∴a −1=0a =1b −4=0b =4∵a +b >
c ∴c <5∵b −a <c ∴c >3a b c ∴c =4△ABC =1+4+4=9
(1)++6a −2b +10=0
a 2
b 2(+6a +9)+(−2b +1)=0
a 2
b 2(a +3+(b −1=0)2)2(a +3≥0)2(b −1≥0)2a +3=0a =−3b −1=0b =1a =−3b =1∵+2−2xy+8y+16=0
22
，
，，
∵，，
，，，，
，
∴.
∵，，
∴，∵，，
，，，，
，
，
，
，
∵，，为正整数，
，
∴周长.
22.
【答案】
,小东从离家处以的速度返回家，则 时他离家的路程，自变量的范围为由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，
∴，解得，
∴两人相遇时间为第分钟．
【考点】
函数的图象
一次函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：结合题意和图象可知，线段为小东路程与时间的函数图象，折线为小玲路程与时间的图象，则家与图书馆之间路程为，小玲步行速度为．
故答案为：；.
小东从离家处以的速度返回家，
则 时他离家的路程，自变量的范围为由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，
∴，解得，(2)∵+2−2xy+8y+16=0x 2y 2∴(−2xy+)+(+8y+16)=0
x 2y 2y 2∴(x−y +(y+4=0)2)2(x−y ≥0)2(y+4≥0)2∴x−y =0x =y y+4=0y =−4∴x =−4xy =16(3)2+−4a −8b +18=0
a 2
b 2∴2−4a +2+−8b +16=0
a 2
b 22(a −1+(b −4=0)2)2(a −1≥0)2(b −4≥0)2∴a −1=0a =1b −4=0b =4∵a +b >
c ∴c <5∵b −a <c ∴c >3a b c ∴c =4△ABC =1+4+4=94000100(2)4000m 300m/min xmin y =4000−300x x 0≤x ≤.403(3)4000−300x =200x x =88(1)CD O −A−B 4000m 2000÷20=100(m/min)4000100(2)4000m 300m/min xmin y =4000−300x x 0≤x ≤
.403
(3)4000−300x =200x x =8
∴两人相遇时间为第分钟．
23.
【答案】
.理由如下：如图，过作
，
∵，
∴，
∴，，∴.过作，
同理，得，
∵与的角平分线相交于点，∴，∴.成立.理由如下：
如图，过作
，∵，
∴，
∴，，∴.过作，
同理，得，
∵与的角平分线相交于点，∴ ，∴.【考点】
平行线的性质
角平分线的定义
【解析】根据平行线的性质来解答即可.
根据平行线的性质和角平线的性质来解答即可.根据平行线的性质和角平分线的性质来解答即可.
【解答】
解：如图，过作，
885∘
(2)∠AKC =∠APC 122K KE//AB AB//CD KE//AB//CD ∠AKE =∠BAK ∠CKE =∠DCK ∠AKC =∠AKE+∠CKE =∠BAK +∠DCK P PF//AB ∠APC =∠BAP +∠DCP ∠BAP ∠DCP K ∠BAK +∠DCK =∠BAP +∠DCP
1212=(∠BAP +∠DCP)=∠APC 1212∠AKC =∠APC 12(3)3K KH//AB AB//CD KH//AB//CD ∠BAK =∠AKH ∠DCK =∠CKH ∠AKC =∠AKH−∠CKH =∠BAK −∠DCK P PG//AB ∠APC =∠BAP −∠DCP ∠BAP ∠DCP K ∠BAK −∠DCK =∠BAP −∠DCP
1212=(∠BAP −∠DCP)=∠APC 1212∠AKC =∠APC 12
(1)1P PQ//AB
∵，
∴，
∴，，∴.故答案为：.
.理由如下：如图，过作
，
∵，
∴，
∴，，∴.过作，
同理，得，∵与的角平分线相交于点，
∴，
∴.
成立.理由如下：如图，过作
，
∵，
∴，
∴，，∴.过作，
同理，得，∵与的角平分线相交于点，
∴ ，∴.AB//CD PQ//AB//CD ∠APQ =∠BAP ∠CPQ =∠DCP ∠APC =∠APQ +∠CPQ
=∠BAP +∠DCP =+=60∘25∘85∘85∘(2)∠AKC =∠APC 122K KE//AB AB//CD KE//AB//CD ∠AKE =∠BAK ∠CKE =∠DCK ∠AKC =∠AKE+∠CKE =∠BAK +∠DCK P PF//AB ∠APC =∠BAP +∠DCP ∠BAP ∠DCP K ∠BAK +∠DCK =∠BAP +∠DCP
1212=(∠BAP +∠DCP)=∠APC 1212∠AKC =∠APC 12
(3)3K KH//AB AB//CD KH//AB//CD ∠BAK =∠AKH ∠DCK =∠CKH ∠AKC =∠AKH−∠CKH =∠BAK −∠DCK P PG//AB ∠APC =∠BAP −∠DCP ∠BAP ∠DCP K ∠BAK −∠DCK =∠BAP −∠DCP
1212=(∠BAP −∠DCP)=∠APC 1212∠AKC =∠APC 12。