第四章机器人静力学动力学

0
nz
(
p
n
)
y
(
p
o
)
y
( p a)y
ox
oy
oz
( ( (
p p p
n)
o)
a)
ax
z z z
dx dy dz
x
ay
y
az z
{T}
根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换 关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。
l1s1
l2s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。
4.2 机器人的静力学
0F [Fx , Fy ]T
存在怎样的关系
(1, 2 )
( f ,n)
y0
2
1
x0
机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力 和 力矩 ，统称为末端广义（操作）力矢量。记为
n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量 称为关节力矢量
利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi ，末端执行器相应 的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端 执行器所作的虚功应该相等，即
简写为: 又因为
, 所以得到 与 之间的关系
式中
称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，
操作力向关节力映射的线性关系。
x t33
x t34
dx
x x x x
t
41
t42
t43
t44
x x x x
二. 微分运动
设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动 后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对 于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转 来表示，即
T dT Trans(dx, dy , dz )Rot(k, d)T
上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运 动时的质量，称为转动惯量 。
由
J
l1s1 l2 s12
l1c1
l 2 c12
l2 s12 l 2 c12
，可以看出，J阵的值随手爪位置的
不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。
对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比 矩阵的行列式为：
det(J)=l1l2s2
1 kzd kyd 0 1 z y 0
即
k z d
1
kxd
0
z
1 x 0
k y d
0
kxd
0
1 0 y x 1 0
0
1
0
0
0 1
所以有 kxdθ=δx， kydθ=δy ， kzdθ=δz
将它们代入Δ得
0 z y dx
z
0
x
d
y
0
y
x
0
0 0
dz 0
因此Δ可以看成由
同理可得
1 z y 0
Rot(x,x)Rot( y,y)Rot(z,z)
z
1 x 0
y x 1 0
0
0
0 1
若Rot（δx，δy，δz） 和Rot（δx‘，δy’，δz‘） 表示两 个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：
1
(z z') y y' 0
Rot(x,y,z)Rot(x',y',z')
所以得
dT Trans(dx, dy , dz )Rot(k, d) I44 T
根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系） 进行的(左乘)，则T+dT可以表示为
T dT TTrans(dx, dy , dz )Rot(k, d)
所以得 dT T Trans(dx, dy , dz )Rot(k, d) I44
当θ2=0°或θ2=180°时，机械手 的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1， 因此处于奇异状态。在奇异形位时， 机械手在操作空间的自由度将减少。
只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即
可求出，即
。
上例平面2R机械手的逆雅可比
J
1
1 l1l2s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12
和
d两个矢量组成，
叫微分转动矢量，
d
叫微分平移矢量。分别表示为
x
i
y
j
z
k
d dxi dy j dzk
和 d 合称为微分运动矢量，可表示为
D (dx , dy , dz ,x , y ,z )T
例：已知一个坐标系A ，相对固定系的微分平 0 0 1 10
移矢量
d
i 0.5k
首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图3-17所示。
容易求得
x
y
l1c1 l1s1
l2c12 l2s12
将其微分得
写成矩阵形式
图3-17 两自由度平面机械手
dx dy
l1s1
l1c1
l
l
2
2 s12 c12
l2 s12 d1
l 2 c12
d
2
简写成 ： dx=Jdθ。 可以更一般的写成
{B}
{A}
{A}
AV
A
A B
R
0
{B}
BAR
S( BPAO
A B
R
)
BV
B
JT J
例 :如图3-18所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪
作用于外界环境的力为
，若关节无摩擦
力存在，求力 的等效关节力矩
。
解：由前面的推导知
0F [Fx , Fy ]T
所以得：
y0
A
0 0.1
0 0
0 0
0 1 0 0 0.50 1 0
5
0
0 0
0 0
0
0
0.1 0.5
0
00
0 0 0 0
1
0
0
0
0
五.两坐标系之间的微分关系
现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就 是固定系（基系）0系。
nx ox ax px
令0iT
ny
nz 0
oy oz 0
1
x
0
0
1 x 0
y x 1 0 y x 1 0
0
0
0
1
0
0
0 1
1 xy y 0 1 0 y 0
Rot( y,y)Rot(x,x)
0
1
x
0
0
1 x 0
y x 1 0 y x 1 0
0
0
0
1
0
0
0 1
两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。
结论：
微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋 转）的一个重要区别。
若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则 把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。
雅可比J
关节空间
操作空间
力雅可比JT
若已知
{T}
{0}
nx ny
ox
oy
则a0x有
ay 0
0 0 0 0
nz
(
p
n
)
x
oz
(
p
o
)
x
{az0} ( p a)x
0
nx
0
ny
0 0 0.1 0 1 0
0 0
0
0
0.1 0.5
0 0 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
验证的结果是与上例dA=ΔA的计算结果完全一样。
4.1.2 雅可比矩阵
••
(1 , 2 )
存在
怎样
的关
系
•
1
••
(x, y)
vy
v
•
x
2
两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可 比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比， 同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。
{S}
{T}
静力传递关系时：
{T}
{S}
4.3 机器人的动力学
4.3.1 转动惯量 根据牛顿第二定律
平移作为回转运动来分析
若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z轴的 回转运动，则得到加速度和力的关系式为
和
式中， 和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。 将它们代入前面的方程，得：
令
，则有：
令 Trans(dx , dy , dz )Rot(k, d) I44
则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi 。这里Δ的下标不同是由 于微运动相对不同坐标系进行的。
三.微分平移和微分旋转
微分平移变换与一般平移 变换一样，其变换矩阵为:
1 0 0 dx Trans(dx, dy, dz) 0 1 0 dy
例如给定变换T为：
t11 t12 t13 t14
T t21
t 22
t 23
t
24
tt3411
t32 t 42
t33 t 43
t34 t 44
若它的元素是变量x的函数，则T的微分为:
t11 t12 t13 t14
x t21
x t22
x t23
x t24
dT
x t31
x t32
。
式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x， y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运动 dx之间的关系。
假设关节速度为
，手爪速度为
。
对dx=Jdθ两边同除以dt，得
•
•
x J
v
J
因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空 间速度的线性变换。 （或v）称为手爪在操作空间中的广义速度， 简称操作速度， 为关节速度。
1 z 0 0
Rot(x,x) 0 1 0 x
x 1
0 0
Rot( y,y)
0
y
1 0
0 1
0 0
Rot(z,z) z 0
1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0
0 0 1
0
0 0 1
略去高 阶无穷 小量
1 0 y 0 1 0 y 0
Rot(x,x)Rot( y,y) xy
ay az 0
p
y
pz 1
0 z y dx
因为
0
z
y
0
x
x dy
0 dz
0
0
0
0
0 zi yi dxi
i
zi
yi
0
0
xi
0
xi
dyi
0 0
dzi 0
将它们代入前面的方程 0 0iT 0iTi
i 0iT 10 0iT
得
dxi nx
dyi
ox
dxzii
J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ：
J
ij
(q)
xi(q)
q j
,
i
1,2,...,6;
j
1,2,...,n
式中，x代表操作空间，q代表关节空间。
若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列 矢量，即
•
x [J1
J
2
]••12
可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以 单位速度运动产生的端点速度。
0 0 1 dz
0 0 0
1
由于微分旋转θ→0 ，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，将
它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式:
1
k z d
1
k xd 0
k y d
0
k x d
0
1 0 0 1
于是得
Trans(dx,
dy
z z'
(y y')
1
x x'
(x x') 0
1
0
0
0
0
1
上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代 数和，即微分旋转是可加的。
由等效转轴和等效转角与 Rot(x,x)Rot( y,y)Rot(z,z) 等效，有
Rot(k , d ) Rot(x,x)Rot( y,y)Rot(z,z)
，可以根据前面的公式求得dA和δA。也可
根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即
求得
，
为了验证这一结果，先求ΔA
0 0 0 0
A
0 0
0 0.1
0.1 0
0.5 1
0 0 0
0
0 0 1 100 0 0 0 0 0.1 0 1
再得dA
dA
A A
1 0
0 1
0 0
5
0
0
0.1 0.5 0
,
dz
)Rot(k ,
d )
I 44
0
k z d
k y d
0
kzd
0
k x d
0
k y d kxd
0
0
dx
dy
dz
0
四. 微分旋转的无序性 当θ→0 时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，
δz=dθz，则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为
1 0 0 0
1 0 y 0
，微分旋转矢量
0.1 j
，
A 1
0
0
5
0 1 0 0
求微分变换dA。
0 0
0
1
解：
0 z y d x 0 0 0.1 1
z
0
x
d
y
0
00
0
0
y
x
0
0 0
dz 0
0.1 0
0
0
0 0
0.5
0
0 0 0.1 1 0 0 1 10 0 0.1 0 1
dA
a0x
ny oy ay 0
nz oz az 0
(
p
n
)
x
(
p
o
)
x
( pa)x
nx
(
p
n)
y
(
p
o)
y
( pa)y
ny
( ( (
p p p
n)
o)
a)
nz
z z z
dx
dy
dz
x
yi
0
0
0
ox
oy
oz
y
zi 0 0 0
ax
ay
az z
上式简写成
S (0Pio )
2
1
x0
图3-18 关节力和操作力关系
例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩
传感器，若已测出传感器上的力和力矩