2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)专题4.6 正弦定理和余弦定理

第四篇 三角函数与解三角形 专题4.06 正弦定理和余弦定理
【考试要求】
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【知识梳理】 1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：
【微点提醒】
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin
A ＋
B 2＝cos
C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2
. 2.三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .
3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )
(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
【解析】 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 【教材衍化】
2.(必修5P10A4改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
【答案】 C
【解析】 在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝
9＋25－4930＝－1
2
， 由A ∈(0，π)，得A ＝2π3，即∠BAC ＝23
π.
3.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 【答案】 等腰三角形或直角三角形
【解析】 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π
2
，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 【真题体验】
4.(2018·烟台质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π
4，a ＝1，则b 等于( )
A.2
B.1
C. 3
D. 2
【答案】 D
【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b
sin π
4，
∴112＝b
22
，∴b ＝ 2. 5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝5
5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A.4 2
B.30
C.29
D.2 5
【答案】 A
【解析】 由题意得cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝⎛⎭
⎫5
52
－1＝－35.
在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－3
5＝32，所以AB ＝4 2.
6.(2019·荆州一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝22，cos A ＝3
4，sin B ＝2sin C ，
则△ABC 的面积是________. 【答案】
7
【解析】 由sin B ＝2sin C ，cos A ＝3
4，A 为△ABC 一内角，
可得b ＝2c ，sin A ＝1－cos 2A ＝7
4
， ∴由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得8＝4c 2＋c 2－3c 2， 解得c ＝2(舍负)，则b ＝4.
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×7
4＝7.
【考点聚焦】
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. (2)(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，
则A ＝( )
A.π6
B.π3
C.5π6
D.2π3
(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )
A.π2
B.π3
C.π4
D.π6
【答案】 (1)75° (2)B (3)C
【解析】 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝
6×
323＝22
， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，
∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，
又A ∈(0，π)，所以A ＝π
3
.
(3)因为a 2
＋b 2
－c 2
＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 2
4
，
所以S △ABC ＝
2ab cos C 4＝1
2
ab sin C ，所以tan C ＝1. 又C ∈(0，π)，故C ＝π
4
.
【规律方法】 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
(2)(2019·北京海淀区二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B
2
－cos 2C ＝1，4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13
B.7
C.37
D.6
(3)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( )
A.1个
B.2个
C.0个
D.无法确定 【答案】 (1)B (2)A (3)B
【解析】 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π
4＝0， 因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π
4＝0， 又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π
4.
由正弦定理
a sin A ＝c sin C ，得2sin
3π4
＝2
sin C
， 则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π
6.
(2)由2cos 2A ＋B
2－cos 2C ＝1，
可得2cos 2A ＋B
2
－1－cos 2C ＝0，
则有cos 2C ＋cos C ＝0，即2cos 2C ＋cos C －1＝0， 解得cos C ＝1
2或cos C ＝－1(舍)，
由4sin B ＝3sin A ，得4b ＝3a ，① 又a －b ＝1，②
联立①，②得a ＝4，b ＝3，
所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋9－12＝13，则c ＝13. (3)∵b sin A ＝6×
2
2
＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个. 考点二 判断三角形的形状
【例2】 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c
b <cos A ，则△ABC 为( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)由c b <cos A ，得sin C
sin B <cos A ，
又B ∈(0，π)，所以sin B >0， 所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，
因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形. (2)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .
∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π
2，
∴△ABC 为直角三角形.
【规律方法】 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 若将本例(2)中条件变为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，判断△ABC 的形状. 【答案】见解析
【解析】∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )， ∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π
2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，
∴△ABC 为等腰或直角三角形.
考点三 和三角形面积、周长有关的问题
多维探究
角度1 与三角形面积有关的问题
【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 【答案】见解析
【解析】(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3
.
由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos
2π
3
. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.
(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π
6.
故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π
6
1
2AC ·AD ＝1.
又△ABC 的面积为1
2×4×2sin ∠BAC ＝23，
所以△ABD 的面积为 3.
角度2 与三角形周长有关的问题
【例3－2】 (2018·上海嘉定区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 【答案】 12
【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B
，
可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π
3
.
由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2
－3bc ≥(b ＋c )2
－3⎝⎛⎭⎫
b ＋
c 22
，
则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.
【规律方法】1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【训练3】 (2019·潍坊一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0. (1)求B ；
(2)若b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，求△ABC 的面积. 【答案】见解析
【解析】(1)由已知及正弦定理得 (sin A ＋2sin C )cos B ＋sin B cos A ＝0， (sin A cos B ＋sin B cos A )＋2sin C cos B ＝0， sin(A ＋B )＋2sin C cos B ＝0，
又sin(A ＋B )＝sin C ，且C ∈(0，π)，sin C ≠0， ∴cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝2
3π.
(2)由余弦定理，得9＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴a 2＋c 2＋ac ＝9，则(a ＋c )2－ac ＝9. ∵a ＋b ＋c ＝3＋23，b ＝3，∴a ＋c ＝23， ∴ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝33
4.
【反思与感悟】
1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.
2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.
3.在△ABC 中，若a 2
＋b 2
<c 2
，由cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
<0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.
【易错防范】
1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进
行分类讨论.
另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.
2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题
1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2
3，则b ＝( )
A. 2
B. 3
C.2
D.3
【答案】 D
【解析】 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×2
3
，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去. 2.在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c
2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形 【答案】 B
【解析】 因为cos 2B 2＝a ＋c
2c
，
所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a
c ，
所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a
c ，所以c 2＝a 2＋b 2.
所以△ABC 为直角三角形.
3.(2019·石家庄一模)在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π
6，则AC ＋3BC 的最大值为( )
A.7
B.27
C.37
D.47
【答案】 D
【解析】 在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π
6，
则
AB sin C ＝BC sin A ＝AC
sin B
＝4，
则AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A
＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π
6－A ＋43sin A ＝2cos A ＋63sin A ＝47sin(A ＋θ)⎝
⎛⎭
⎫
其中tan θ＝
39， 所以AC ＋3BC 的最大值为47.
4.(2019·济宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2C
cos C ＝2sin A sin B ，且b ＝6，
则c ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】 C
【解析】 在△ABC 中，A ＝π
3，b ＝6，
∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝36＋c 2－6c ，① 又3sin 2C cos C ＝2sin A sin B ，∴3c 2cos C
＝2ab ， 即cos C ＝3c 22ab ＝a 2＋b 2－c
2
2ab
，∴a 2＋36＝4c 2，②
由①②解得c ＝4或c ＝－6(不合题意，舍去).因此c ＝4.
5.(2018·全国Ⅰ卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为( ) A.33
B.233
C.36
D.433
【答案】 B
【解析】 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 及正弦定理， 得2sin B sin C ＝4sin A sin B sin C ， 易知sin B sin C ≠0，∴sin A ＝1
2.
又b 2＋c 2－a 2＝8，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4
bc ，则cos A >0.
∴cos A ＝
32，即4bc ＝32，则bc ＝833
. ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×833×12＝23
3.
二、填空题
6.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.
【答案】 217
3 【解析】 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ＝217
， 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴c 2－2c －3＝0，解得c ＝3.
7.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S △ABC ＝574
，则b 的值为________.
【答案】 14
【解析】 由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52
c ，① 由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12
ac ＝5，② 联立①，②得a ＝5，且c ＝2.
由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34
， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14. 8.若不等式k sin 2B ＋sin A sin C >19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________.
【答案】 100
【解析】 由正弦定理得kb 2＋ac >19bc ，即k >19bc －ac b 2，∴k >⎝⎛⎭⎫19bc －ac b 2max
，因为c <a ＋b ，所以19bc －ac b 2＝（19b －a ）c b 2<（19b －a ）（a ＋b ）b 2＝－⎝⎛⎭⎫a b －92
＋100≤100， 因此k ≥100，即k 的最小值为100.
三、解答题
9.(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17
. (1)求∠A ；
(2)求AC 边上的高.
【答案】见解析
【解析】(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17
， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝437
.
由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32
. 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2
. 所以∠A ＝π3
. (2)在△ABC 中，
因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314
， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332
. 10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2－ab －2b 2＝0. (1)若B ＝π6
，求A ，C ； (2)若C ＝2π3
，c ＝14，求S △ABC . 【答案】见解析
【解析】(1)由已知B ＝π6
，a 2－ab －2b 2＝0结合正弦定理化简整理得2sin 2A －sin A －1＝0， 于是sin A ＝1或sin A ＝－12
(舍). 因为0<A <π，所以A ＝π2
，又A ＋B ＋C ＝π， 所以C ＝π－π2－π6＝π3
. (2)由题意及余弦定理可知a 2＋b 2＋ab ＝196，①
由a 2－ab －2b 2＝0得(a ＋b )(a －2b )＝0，
因为a ＋b >0，
所以a －2b ＝0，即a ＝2b ，②
联立①②解得b ＝27，a ＝47.
所以S △ABC ＝12ab sin C ＝14 3. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223
，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )
A.4π
B.8π
C.9π
D.36π
【答案】 C
【解析】 由题意及正弦定理得
2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.
又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13
. ∴2R ＝2sin C
＝6，R ＝3. 故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π.
12.(2019·武汉模拟)在△ABC 中，C ＝2π3
，AB ＝3，则△ABC 的周长为( ) A.6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3 B.6sin ⎝⎛⎭
⎫A ＋π6＋3 C.23sin ⎝⎛⎭
⎫A ＋π3＋3 D.23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3 【答案】 C
【解析】 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3
＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭
⎫π3－A . 于是△ABC 的周长为23⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭
⎫A ＋π3＋3. 13.(2019·长春一模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝⎛⎭
⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________.
【答案】 3 3
【解析】 因为⎝⎛⎭
⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ， 所以12
b cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ， 所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12
b cos A ＝sin B ， 所以cos A 2＝sin B b ， 又sin B b ＝sin A a
，a ＝23， 所以cos A 2＝sin A 23
，得tan A ＝3， 又A ∈(0，π)，则A ＝π3
， 由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12
＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，
即bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时取等号)，
从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝3 3. 14.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭
⎫B －π6. (1)求角B 的大小；
(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.
【答案】见解析
【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B
， 得b sin A ＝a sin B ，
又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭
⎫B －π6， 得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭
⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭
⎫B －π6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3
. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3
， 有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.
由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37
. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437
， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17
. 所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314
. 【新高考创新预测】
15.(数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________.
【答案】
3
【解析】根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，
所以S△ABC＝1
4⎣⎢
⎡
⎦
⎥
⎤a2c2－⎝⎛⎭⎫
a2＋c2－b2
2
2
＝1
4×（16－4）＝ 3.。