初中数学 不定方程及整数解

内容 基本要求
略高要求
较高要求
我们曾经学过一元一次方程，例如235x +=-，解这个方程可得4x =-.如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如4x y +=就是一个二元一次方程.这个方程有无数多组解.比如13x y =⎧⎨=⎩，48x y =-⎧⎨=⎩， 6.5
2.5x y =⎧⎨=-⎩
等．
这类未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）．初中范围内通常只讨论这类方程（组）的正整数解或整数解．
不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解. (1)不定方程解的判定
如果方程的两端对同一个模m (常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解. (2)不定方程的解法
不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.
定理1：若二元一次不定方程ax by c +=，整数a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解． 定理2：若整数a ,b 互质，则方程1ax by +=有整数解，同时方程ax by c +=也有整数解.若()00x y ，
是方程1ax by +=的一个整数解，则0cx ，0cy 是方程ax by c +=的一个整数解．
定理3：整系数方程()ax by a b +=，
有整数解． 定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容
定理4：如果00x x y y =⎧⎨=⎩是满足整系数方程ax by c +=的一组整数解，则00x x bu
y y au =+⎧⎨=-⎩（其中u 为任意整数）也是
满足上式的整数解．
这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在0ab >时，可选择x 为正（负）数，此时y 为相应的为负（正）数．这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明．
由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解．
例如，方程4521x y +=的一组解为41x y =⎧⎨=⎩，则此方程的所有整数解可表示为：4514x k
y k =+⎧⎨=-⎩．
中考要求
例题精讲
不定方程及整数解
板块一不定方程的整数解
【例1】求方程11157
x y
+=的整数解．
【巩固】求3710725
x y
+=的整数解．
【巩固】求方程的整数解：⑴721571
x y
+=；⑵103905
x y
-=．【例2】求719213
x y
+=的所有正整数解．
【巩固】求方程5322
x y
+=的所有正整数解．
【巩固】求62290
x y
+=的非负整数解．
【例3】求23734
x y z
++=的整数解．
【巩固】求92451000
x y z
+-=的整数解．
【例4】求方程组
57952
35736
x y z
x y z
++=
⎧
⎨
++=
⎩
的正整数解．
【例5】求不定方程2()7
x y xy
+=+的整数解.
【例6】 求方程22x y x xy y +=-+的整数解.
【例7】 第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程
44
23ab bc ac bc +=⎧⎨
+=⎩
的正整数(,,)a b c 的组数是（ ）.
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4
【例8】 （第33届美国数学竞赛题）满足方程223x y x +=的正整数对(,)x y 的个数是（ ）.
（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）无限个（E ）上述结论都不对
【例9】 求不定方程()2mn nr mr m n r ++=++的正整数解(),,m n r 的组数．
【例10】 求方程2245169x xy y -+=的整数解.
【例11】 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b 和c 及素数a 满足方程222a b c +=.证明:这时有
a b <及1b c +=.
板块二 证明不定方程无整数解
【例12】 下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ）
A.3150x y +=
B.9111x y -=
C.234x y -=⎧⎨
D.231x y z ++=⎧⎨
【例13】 证明方程22257x y -=无整数解.
【例14】 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数,x y 使方程2232122x xy y +-=成立。

【例15】 求证：方程x y z u x y z u +=+没有各不相同的正整数解．
板块三 不定方程的应用
【例16】 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分贷款，有多少种不同的方法？
【例17】 大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱
买百鸡”这个有名的数学问题：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
【例18】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，
每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套10次共得61分，问：小鸡至少被套中几次？
【例20】 今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克.现要配制成浓度为7%
的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？
【例21】 甲、乙两个粮库原来各存有整数袋的粮食．如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；
如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
【例22】 有一种体育竞赛共含M 个项目，有运动员A B C 、、参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得1p 、
2p 、3p 分，其中1p 、2p 、3p 为正整数且123p p p ＞＞，最后A 得22分，B 与C 均得9分，B 在百米赛中取得第一．求M 的值，并问在跳高中谁取得第二名？
【例23】 有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共10张，购买一把价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有（ ）
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
【例24】 旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人
每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？
【例26】 试证明存在自然数a ，使得21a 的后三位数字是241．
【例27】 某自然数与13的和是5的倍数，并且与13的差是6的倍数，求这样的自然数中最小的3个．
【例28】 设n 是正整数，记12n ⨯⨯⨯为!n （例如1!1=，2!12=⨯），若存在整数2a 、3a 、4a 、5a 、6a 满足
356
2431362!3!4!5!6!a a a a a =++++，这里0i a i <≤，2,3,4,5,6i =．求 2222223456a a a a a ++++．。