欧氏空间

(1) [ x , y ] = [ y , x ]; ( 2) [λ x , y ] = λ [ x , y ];
( 3) [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ];
(4) [ x , x ] ≥ 0, 且当 x ≠ 0时, 有 [ x , x ] > 0.
二、向量的长度及性质 定义
α T α1 α T α 2 L α T α n 1 1 1 1 T T T α 2 α1 α 2 α 2 L α 2 α n 0 ⇔ =M M M M Tα T T α2 L α n αn 0 α n 1 α n
⇔ αT α j i 1, 当 i = j = δ ij = 0, 当 i ≠ j
[β1,α2] β2 = α2 − β1 [β1, β1]
已正交, 我们求得 β1 , β 2 已正交 再来求 β 3
β 3 = α 3 − λ1β1 − λ2 β 2 (1)
β3 α3 λ2 β 2 λ1β1 β1
(1)式两边与 β1 内积 注意 式两边与 内积,
[β1 , β 2 ] = [ β1 , β 3 ] = 0
x ⋅ y =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx y cos( x , y )
建立标准的直角坐标系后, 建立标准的直角坐标系后 可用向量的坐标来计算内积 设 x = ( x1 , x2 , x3 )T , y = ( y1 , y2 , y3 )T 则
x ⋅ y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
一、内积的定义及性质 定义 设有 n 维向量
x = [ x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + L + xn ,
称 x 为 n 维向量 x 的 长度 (或 范数 ) .
性质 1. 非负性 当 x ≠ 0时, x > 0;当 x = 0时, x = 0;
2. 齐次性 λx = λ x ;
3. 三角不等式 x + y ≤ x + y .
三、单位向量和 n 维向量间的夹角
ηr = β r / β r
是与 α1 ,α 2 ,L,α r 等价的规范正交组
LLL
βr = αr −
[ β1 ,α r ] [ β ,α ] [ β r −1 ,α r ] β1 − 2 r β 2 − L − β r −1 [ β1 , β1 ] [β 2 , β 2 ] [ β r −1 , β r −1 ]
1 b3 1 1 = ξ3 = b3 6 − 2 0
当建立标准正交基(相当于标准直角坐标系 后 当建立标准正交基 相当于标准直角坐标系)后, 求一个向量 相当于标准直角坐标系 的坐标就特别方便
ξ = λ1ξ1 + λ2ξ 2 + λ3ξ 3 = (5,5,2,4)T
§3.5 欧氏空间
n 维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义了线 维向量空间是三维向量空间的直接推广 性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维 性运算 而三维空间中有向量夹角和长度的概念 它们构成了三维 空间丰富的内容. 维向量空间中. 我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中 在解析几何中,我们曾定义了向量的内积 数量积 在解析几何中 我们曾定义了向量的内积(数量积 我们曾定义了向量的内积 数量积)
1 0 e1 = 0 , e 2 = 1 0 0
是下面向量空间V的一个标准正交基 是下面向量空间 的一个标准正交基. 的一个标准正交基
V = { x ∈ R 3 | x = ( x1 , x 2 ,0)T } = span( e1 , e 2 )
= (3,5,1,−1)
T
8 T − 14 (0,−2,−1,3)T = (1,1,−2,0)T − (1,1,1,1) − 4 14
再单位化
1 0 b1 1 1 b2 1 − 2 = = ξ1 = ξ2 = b1 2 1 b2 14 − 1 1 3
β2
得
λ1 =
[ β 1 ,α 3 ] [ β1 , β1 ]
λ1β1 + λ2 β 2
(1)式两边再与 β 2 内积 类似可得 式两边再与 内积,
[ β 2 ,α 3 ] λ2 = [β 2 , β 2 ]
[β1,α3] [β2,α3] β1 − β2 从而 β3 = α3 − [β1, β1] [β2, β2]
为例, 从几何直观上去求. 以三个向量 α1 ,α 2 ,α 3 为例 从几何直观上去求
β2
α2 λ1 β 1 α1 = β 1
β1 = α1
β 2 = α 2 − λ1β1
做内积, 上式两边与 β1 做内积, 注意 [ β1 , β 2 ] = 0 得
从而
[ β 1 ,α 2 ] λ1 = [ β1 , β1 ]
b2 = a2 −
[b1 , a2 ] b [b1 , b1 ] 1
= (1,−1,0,4 )T −
1−1+ 4 (1,1,1,1)T = (0,−2,−1,3)T 1+1+1+1
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 = a 3 − b1 − b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
同理可得 λ2 = L = λr = 0. 故α1 ,α 2 ,L,α r 线性无关 .
例1
1 1 α1 = 1 , α 2 = − 2 1 1
R 3 中两个正交向量 已知
试求 α 3 使 α 1 ,α 2 ,α 3 构成 的一个正交基. R 3 的一个正交基
β 1 = α1 β 2 = α 2 − r12 β1
β 3 = α 3 − r13 β1 − r23 β 2
1 r12 [α1 ,α 2 ,α 3 ] = [ β1 , β 2 , β 3 ]0 1 0 0
1 r12 [ β 1 , β 2 , β 3 ] = [α1 ,α 2 ,α 3 ]0 1 0 0
T n T
定理
A 是正交矩阵
⇔ AAT = E ⇔ A −1 = AT ⇔ A 的列组是标准正交组 ⇔ A 的行组是标准正交组
只证第三条) 证 (只证第三条 记 A = [α 1 , α 2 , L , α n ] 只证第三条
T α 1 T α A T A = E ⇔ 2 [α 1 , α 2 , L , α n ] = E M T α n
六、正交矩阵 定义 若 n 阶方阵 A 满足 AT A = E , 则称 A 为正交矩阵 正交矩阵. 例3 验证(1)旋转矩阵是正交矩阵 验证 旋转矩阵是正交矩阵
cos ϕ A= sin ϕ − sin ϕ cos ϕ
(2)镜像矩阵是正交矩阵 镜像矩阵是正交矩阵
H = E − 2αα (α ∈ R , α α = 1)
解 这相当于要求下面齐次方程组的非零解
T α1 x = 0 x1 + x2 + x3 = 0 ⇔ ⇔ Ax = 0 T x1 − 2 x2 + x3 = 0 α 2 x = 0
T α1 1 1 1 A= T = α 2 1 − 2 1
求得
− 1 α3 = 0 1
性质
正交向量组必线性无关. 正交向量组必线性无关
证 设 α1 ,α2 ,L ,αr 是正交向量组
又设有 λ1 , λ2 ,L, λr 使 λ1α1 + λ2α 2 + L + λα r = 0
以 a T 左乘上式两端 , 得 λ1α1T α1 = 0 1
由 α1 ≠
T 0 ⇒ α1 α1
= α1
2
两两正交, 等价. 则 β1 , β 2 ,L, β r 两两正交 且与 α1 ,α 2 ,L,α r 等价 ? ?
β1 , β 2 ,L, β r 两两正交 可用数学归纳法严格证明 两两正交, 可用数学归纳法严格证明.
等价, 这是因为(只需看三个 只需看三个) 与 α1 ,α 2 ,L,α r 等价 这是因为 只需看三个
0 K 0 1 K 0 M M 0 K 1
(i , j = 1,2,L, n )
的一个规范正交基, 求 span(a1 , a 2 , a 3 ) 的一个规范正交基 并求向量
ξ = a1 + a2 + a3 = (5,5,2,4)T 在该规范正交基下的坐标. 在该规范正交基下的坐标
解 易知 a1 , a2 , a3 线性无关 由施密特正交化过程 线性无关,
b1 = a1 = (1,1,1,1)T
四、正交向量组 若一个不含零向量的向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 中的向 量两两正交: 则称该向量组为正 量两两正交 [α i ,α j ] = 0( i ≠ j ) , 则称该向量组为正 交向量组. 又如果这些向量都是单位向量: 交向量组 又如果这些向量都是单位向量 α i = 1 , 则称该向量组为标准正交向量组 则称该向量组为标准正交向量组. 标准正交向量组 的基, 若该向量组是一个向量空间 V 的基 又分别称 正交基和标准正交基. 为向量空间 V 的正交基和标准正交基
施密特正交化过程 设 α1 ,α 2 ,L,α r 线性无关 令 β 1 = α1
η1 = β1 / β1 η2 = β 2 / β 2
LL
[β , α ] β 2 = α 2 − 1 2 β1 , [β1 , β1 ]
[ β 1 ,α 3 ] [ β 2 ,α 3 ] β3 = α3 − β1 − β2 [ β1 , β1 ] [β 2 , β 2 ]
x = ( x1 , x 2 ,L , x n )T , y = ( y1 , y 2 ,L , y n )T
令
[ x , y ] = x1 y1 + x 2 y 2 + L + x n y n = x T y = y T x
标准) . 称 [ x , y ]为向量 x 与 y 的 (标准)内积
性质
(1) 当 x = 1时, 称 x 为单位向量 .
[ x, y] (2) 当 x ≠ 0 , y ≠ 0 时,θ = arccos x⋅ y 夹角. 称为 n 维向量 x 与 y 的 夹角
当 [ x , y ] = 0 时, 称向量 x 与 y正交 .
若 x = 0 , 则显然 x 与任何向量都正交 .
五、施密特正交化过程 是向量空间V的一个基 坐标系),如 的一个基(坐标系 设 α1 ,α 2 ,L,α r 是向量空间 的一个基 坐标系 如 中建立(规范 正交基(坐标系 规范)正交基 坐标系)? 何在向量空间 V 中建立 规范 正交基 坐标系
这个问题就是… 这个问题就是
找与 α1,α2,L,αr 等价的正交向量组 β1, β2,L, βr
(
)
两边分别与 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 内积
λ1 = [ξ1 , ξ ], λ2 = [ξ 2 , ξ ], λ3 = [ξ 3 , ξ ] ⇒ λ1 = 8, λ 2 = 0, λ 3 = 6
5 1 8 5 ξ = = [a1 , a 2 , a 3 ]1 = [ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ] 0 2 1 6 4
α1 = β 1 α 2 = r12 β1 + β 2
α 3 = r13 β1 + r23 β 2 + β 3
r13 r23 1
r13 − r23 1
−1
例2
a1 = (1,1,1,1)T , a2 = (1,−1,0,4)T , a3 = ( 3,5,1,−1)T
例如: 例如:
1 0 0 e1 = 0 , e 2 = 1 , e 3 = 0 0 0 1
是向量空间R 的一个标准正交基(通常称为自然基 通常称为自然基). 是向量空间 3的一个标准正交基 通常称为自然基 再如: 再如: