人教B版高中数学必修三高三一轮基础巩固(新)第11章第3节推理与证明(含解析).doc

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【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第11章第3节推理

与证明新人教B版

一、选择题

1．(文)观察下列各式：55＝3125, 56＝15625, 57＝78125，…，则52015 的末四位数字为() A．3125B．5625

C．0625D．8125

[答案] D

[解析]因为58＝390625,59＝1953125.

所以5n(n≥5)的末四位数字周期为4，

2015＝503×4＋3，故52015的末四位数字为8125，故选D.

(理)将正整数排成下表：

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

……

则在表中数字2014出现在()

A．第44行第78列B．第45行第78列

C．第44行第77列D．第45行第77列

[答案] B

[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．

2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.

2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()

①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36. A ．①④ B ．②⑤ C ．③⑤ D ．②③ [答案] C

[解析] 这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．

3.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b(a>b)．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb

m ＋n ，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的

梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S1、S2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则△OEF 的面积S0与S1、S2的关系是( )

A ．S0＝mS1＋nS2

m ＋n

B ．S0＝nS1＋mS2

m ＋n

C.S0＝m S1＋n S2

m ＋n

D.S0＝n S1＋m S2

m ＋n

[答案] C

[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解．

4．定义A*B ，B*C ，C*D ，D*A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )

A ．B*D ，A*D

B ．B*D ，A*

C C ．B*C ，A*

D D ．C*D ，A*D [答案] B

[解析] 观察图形及对应运算分析可知，基本元素为A→|，B→□，C→——，D→○，从而可知图(A)对应B*D ，图B 对应A*C. 5．(2014·湖南长沙一模)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V1，

外接球体积为V2，则V1

V2＝( ) A.18 B ．1

9 C.127 D ．164

[答案] C

[解析] 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可知选C.

证明如下：如图，设正四面体的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切球与外接球球心．则AE ＝33a ，DE ＝6

3a ， 设OA ＝R ，OE ＝r ， 则OA2＝AE2＋OE2， 即R2＝(63a －R)2＋(3

3a)2， ∴R ＝64a ，r ＝6

12a ，

∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是r R ＝1

3，

故正四面体P －ABC 的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于(r R )3＝1

27.

6．(文)若定义在区间D 上的函数f(x)，对于D 上的任意n 个值x1、x2、…、xn ，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nf

⎝⎛⎭

⎫x1＋x2＋…＋xn n ，则称f(x)为D 上的凹函数，现已知f(x)＝tanx 在⎝⎛⎭⎫0，π2上

是凹函数，则在锐角三角形ABC 中，tanA ＋tanB ＋tanC 的最小值是( ) A ．3

B ．2

3

C ．3 3

D ． 3 [答案] C

[解析] 根据f(x)＝tanx 在⎝

⎛⎭

⎫0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanA ＋tanB ＋

tanC≥3tan

⎝⎛⎭

⎫A ＋B ＋C 3＝3tan π3＝3 3.故所求的最小值为3 3. (理)观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝3

4和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝3

4，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( ) A ．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝3

4