相似三角形专题复习教学设计
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相似三角形专题复习教学设计
【教学内容分析】
本节课是北师大版九年级上册第四章《图形相似》的专题复习课,共两课时,本设计是第一课时。
这既是一节专题复习课,同时也是一节相似三角形判定定理和性质定理的综合应用课。
在老师的指导下,学生经历了探索模型、总结模型、应用模型、巩固模型的过程,收获知识的同时,也有效落实了数学抽象、逻辑推理、数学运算、几何直观等核心素养,同时也渗透了数学的分类讨论、转换、化归等思想,很好地拓展了学生思维,提升了学生数学能力。
【学情分析】
本节课是学生在学完相似三角形整章内容后的一节专题复习课,经过前面的数学课堂学习,学生已经积累了一定的数学探究方法:猜想验证、分类讨论、合作交流,同时也具备了一定的逻辑推理能力,这为本节课探索抽象模型和应用模型提供了思维基础。
【教学目标】
知识与技能
1.理解一线三等角模型。
2.应用三角形外角定理和相似三角形的判定定理证明结论。
过程与方法
1.经历探索提炼一线三等角模型的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透化归的数学思想。
2.体会分类讨论、化归等数学思想方法。
情感态度价值观
通过观察、猜想、验证推理,培养学生探索问题的能力和方法。
【教学重点】
1.提炼一线三等角模型。
2.一线三等角模型中的相似三角形的证明和应用。
3.培养提高学生的基础作图能力。
【教学难点】
利用数学的化归思想对模型的相似存在性进行证明,在综合性的解答题中,能应用数学的转化思想,对相似图形进行转化研究,透过现象看本质,化繁为简,解决问题。
【教学方法】
建构主义认为:学生学习过程是学习主体对客体发生交互作用的过程,是一个持续不断内化的过程,它并非一个被动接受的过程,而是一个积极主动的建构过程,因此,在教学中,不仅要使学生“知其然”,而且还要使学生“知其所以然”。
本节课的教学中,我以学生为中心,让学生积极思考、勇于探索、主动地获取知识。
课堂上,对于数学模型“一线三等角”的提炼,先从学生熟悉的“K 型图”入手,即三角的度数都为90°的特殊情况,学生很容易找到一组相似三角形,再利用几何画板,先改变点动点的位置,猜想相似是否成立;再改变角的度数,继续猜想相似是否成立,再利用几何画板的角度度量功能,对角的变化进行观察,验证学生的猜想,在独立思考的基础上,再进行小组合作探究,对相似三角形进行逻辑推理证明,总结出一般性结论。
课堂上采用启发式教学法和类比
教学法,启发学生深入思考,主动探究,主动获取知识,注重新知识与旧知识的联系。
在对模型的提炼证明的探究过程中,通过教师的引导,有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中,鼓励学生采用自主探索,合作交流的研讨式学习方式,培养学生的自学能力和创新能力,培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力,使学生真正成为学习的主人。
同时在教学中,还充分利用多媒体教学,通过学生猜想、验证、推论、练习等师生的共同活动中启发学生,培养学生直觉思维能力,图形变换能力,分类讨论能力,渗透数学的化归思想。
【教学工具】
刻度尺,圆规,几何画板
【教学结构设计】
复习回顾知识准备典例学习提炼模型模型应用一题多问自主设问提升思维课堂小结深化模型课后作业巩固提升
【教学过程】
一、复习回顾知识准备
1.相似三角形的判定定理
(1)__________________________________________的两个三角形相似;(2)__________________________________________的两个三角形相似;(3)__________________________________________的两个三角形相似.
2、三角形的外角定理:三角形的外角等于与它
____________的两个内角的_______
如图:∠1是△ABC的外角,则∠1=__________________
【设计意图】复习跟本节专题复习课相关的定理,为顺利突破本节课的教学重难点做好充分的准备。
二、典例学习,提炼模型
如图:P是线段AB上一点,∠CAB=∠CPD=∠DBA=90°
求证:△CAP∽△PBD
问题1:若∠CAB=∠CPB=∠DBA=60°,△CAP和△PBD是否还相似?若相似,请说明理由
问题2:若∠CAB=∠CPB=∠DBA=a,△CAP和△PBD是否还
相似?若相似,请说明理由
模型总结:一条直线上有三个相等的角,会存在一组__________三角形,该模型称为“一线三等角”。
【设计意图】从特殊到一般,从静止到运动,透过现象看本质,提炼总结模型,学生在经历证明探索的过程中,加深了对模型的认识,同时也提高了思维能力。
三、模型应用,一题多问
题干:△ABC是等腰三角形,AC=BC=5,AB=8,P是AB上一点(不与A、B重合),连接CP,作∠CPQ交BC于Q,使得∠CPQ=∠A
(1)找出图中的相似三角形,并加以证明
(2)当AP=1时,则BQ=___________
(3)当AP=___________时,△PQB 是等腰三角形
(4)当AP=___________时,△PQB 是直角三角形
(5)当AP=___________时,△PCQ 是等腰三角形
(6)当AP=___________时,△PCQ 是直角三角形
*(7)点P在运动的过程中,CQ是否存在最值,若存在,请求出其最值
【设计意图】应用同一模型,解决了不同的问题,多题归一,有效加深了学生对模型的理解认识,课堂上,利用几何画板进行灵活教学,引导学生识别“主动三角形”和“被动三角形”,即哪个三角形的形状是随着哪个三角形的形状的改变而改变,从而化繁为简,画出符合条件的草图,提高了学生的作图能力,同时也提高了学生的图形分析能力和图形转化能力,逐步提高思维能力。
四、自主设问,提高思维
通过上述的问题解答,相信你对题目有了更深刻的思考和认识,在题干不变的情况下,你能不能尝试着提出问题,并和同学一起讨论解答。
【设计意图】开放性问题的设置,是培养学生创新思维的有效途径,爱因斯坦曾说过,提出一个问题比解决一个问题更重要,能自己提出问题的学生更有自己的想法,思维层次水平更高,生生之间的互动,更能让学生完全融入到课堂中来,提升课堂教学质量。
六、课堂小结,深化模型
本节课,你知识方面你有什么收获?在数学思想方法方面又有什么收获?【设计意图】一是给学生抒发感受的机会,培养学生的数学语言表达能力以及
概括能力;二是让学生总结出本节课的的收获,理清思路,整理经验,从而形成良好的学习习惯;三是给老师一个反思的机会,通过学生的回答来对本节课的“教”作一个客观和理性的思索,真正体现出“以学论教”的教学理念。
六、课后作业,巩固提升
题干:已知等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,动点P在直线BC上运动(不与点B、C重合)
(1)(A层)如图①,点P在线段BC上,作∠APQ=45°,PQ交AC于点Q.
求证:△ABP∽△PCQ;
图①
(2)(B层)如图①,当△APQ是等腰三角形时,求AQ的长.
图①
(3)(C层)如图①,当PQ∥AB时,求AQ的长.
图①
(4)(C层)如图②,点P在BC的延长线上,作∠APQ=45°,PQ的反向延长线与AC的延长线相交于点D,是否存在点P,使△APD是等腰三角形?若存在,请确定CP的长;若不存在,请简要说明理由.
图②
【设计意图】
为了更好的落实双减政策,设计了分层作业,其中A层和B层是必做题,C 层是选做题,让每一个学生都学到有用的数学知识,让不同层次的学生在数学上都有不同的发展。