高中人教B版辽宁数学必修1 第4章 4.2.2 二次函数的性质与图象

4.2.2 二次函数的性质与图象
1．二次函数的概念
函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，其定义域为R . 2．二次函数的性质与图象
思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？
[提示]y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为()
A．－7B．1C．17D．25
D[因为函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以m
8＝－2，
即m＝－16，所以y＝4x2＋16x＋5，所以当x＝1时，y＝25.] 2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
C[y＝－2(x＋1)2＋8的图象开口向下，
所以当x＝－1时取最大值8，无最小值．]
3．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为________．
y＝x2－6x＋5[将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3＝x2－6x＋5.]
4．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上________(填“单调递增”或“单调递减”)．
单调递增[因为f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以2m＝0，即m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，因为二次函数对应的抛物线开口向下，所以f(x)＝－x2＋3在(－∞，0)上单调递增．]
【例1】()
A B C D
(2)函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.
(3)当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？
(1)D(2)1[(1)A图，a＜0，c＜0，－b
2a＜0，
∴b＜0，
∴abc＜0，不合题意．
B图，a＜0，c＞0，－b
2a＞0，∴b＞0，
∴abc＜0，不合题意．
C图，a＞0，c＜0，－b
2a＜0，∴b＞0，
∴abc ＜0，不合题意．
D 图，a ＞0，c ＜0，－b
2a ＞0，∴b ＜0，此时abc ＞0满足题意，故选D. (2)y ＝x 2－1的图象向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图象，则m ＝1.]
(3)解：由二次函数的定义知⎩⎨⎧
2－m ≠0，
m 2＋m －4＝2，
即⎩⎨⎧
m ≠2，m 2＋m －6＝0，解得⎩⎨⎧
m ≠2，m ＝－3或m ＝2，
所以m ＝－3.
所以当m ＝－3时，函数y ＝(2－m )xm 2＋m －4＋(m ＋8)x 为二次函数．
观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在y 轴上的交点决定c 的符号(值)，对称轴的位置决定－b
2a 的符号.另外，还要注意与x 轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.
1．在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝－mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )
A B
C D
D [当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 递增，且在y 轴上的截距为正，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 递减，且在y 轴上的截距为负，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向上，对称
轴在y 轴左侧．满足上述条件的只有D 选项．]
【例a 的取值范围是________．
(2)若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝2对称，则b ＝________.
(3)已知函数f (x )＝－12x 2－3x －5
2.
①求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； ②已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝158，不计算函数值求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－52；
③不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－154的大小．
[思路探究] (1)f (x )的单调性⇒对称轴与区间关系． (2)图象对称⇒对称轴⇒定义域关于对称轴对称．
(3)二次函数配方法⇒顶点、对称轴⇒利用对称性求值比较大小． (1)(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)10 [(1)f (x )的对称轴方程为x ＝－(a ＋1)， 又因为f (x )在区间[－2,3]上是单调函数， 所以－(a ＋1)≤－2或－(a ＋1)≥3. 解得a ≥1或a ≤－4，
所以a 的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知函数对称轴为2，且a ，b 关于x ＝2对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧
－a ＋2
2＝2，
a ＋
b ＝2×2，解得⎩⎨⎧
a ＝－6，
b ＝10，
所以b 的值为10.]
(3)解：f (x )＝－12x 2－3x －52＝－1
2(x 2＋6x ＋5) ＝－1
2(x ＋3)2＋2.
①顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x ＝－3.
②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f (－3.5)＝f (－3－0.5)＝f (－3＋0.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝158. ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋34＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－94. ∵－14，－9
4∈[－3，＋∞)，而f (x )在[－3，＋∞)上是减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－154.
1．利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系．
2．比较二次函数函数值的大小的方法
(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小． (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大． 3．二次函数图象的对称轴的三种求法
(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b 2a . (2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝
x 1＋x 2
2.
(3)若二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )，则对称轴为x ＝a (a 为常数)．
2．(1)设函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1.若对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
(2)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．
(1)[－5，＋∞) [二次函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，
不等式f(x1)－f(x2)
x1－x2
>0恒成立，说明f(x)在[3，＋∞)上为增函数．
又f(x)开口向上，所以－a－1
2≤3，
解得a≥－5，所以a的取值范围是[－5，＋∞)．]
(2)解：函数f(x)对任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，所以二次函数的对称轴为x＝2，又开口向上并且|1－2|<|4－2|，
所以f(2)<f(1)<f(4).
[探究问题
1．如果一个二次函数的对称轴在一个定区间内，如何求其最值？
提示：函数在对称轴处取得最值．
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值．
提示：∵f(x)＝－x2＋4x＋a开口向下，对称轴x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.
【例3】已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值．
[思路探究]首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴，再看各区间内是否包含对称轴(数值)，从而确定各区间的性质后求其最值．
[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∴抛物线的对称轴为x＝1.
(1)∵x＝1∈[0,4]，
∴当x＝1时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(1)＝1.
∵f(0)＝2<f(4)＝10，
∴当x＝4时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(4)＝10.
(2)∵x＝1∉[2,3]．
∴f(x)在[2,3]上是单调增函数．
∴当x＝2时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(2)＝2，
当x ＝3时，f (x )有最大值，f (x )max ＝f (3)＝5.
(变条件)本题中解析式不变，求“当x ∈[t ，t ＋1]时，f (x )的最小值g (t )”． [解] f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t ＋1<1，即t <0时，函数在[t ，t ＋1]上为减函数，
g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；
当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1； 当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上为增函数， g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.
∴g (t )＝⎩⎨⎧
t 2＋1(t <0)，
1(0≤t <1)，
t 2－2t ＋2(t ≥1).
求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[m ，n ]上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系；
(3)求最值.若对称轴在区间[m ，n ]外，则f (x )在[m ，n ]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间[m ，n ]内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m ，n ]端点处取得.
1．本节课的重点是二次函数的图象与性质，难点是二次函数性质的应用． 2．本节课要掌握的规律
(1)根据函数的解析式确定函数图象． (2)利用函数的性质求参数的范围． (3)求二次函数的最值问题．
3．本节课的易混点是当二次函数的对称轴不确定时求函数的区间最值问题.
1．思考辨析
(1)若函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数，则a ＝c ＝0.( )
(2)二次函数y ＝ax 2＋c 在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数．( ) [解析] (1)因为y ＝ax 2＋bx ＋c 是奇函数，对任意的x 都有2ax 2＋2c ＝0，故函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数的条件是a ＝c ＝0.
(2)当a ＞0时，函数在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数；当a ＜0时，函数在y 轴左侧是增函数，在右侧是减函数．
[答案] (1)√ (2)×
2．若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )
A B C D
C [由y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限可知a ＜0，b ＜0，所以y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下、对称轴方程x ＝－b
2a ＜0，结合图选项可知，选C.]
3．函数f (x )＝－x 2＋2x －3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－2 B ．－2，－6 C ．－2，－3
D ．－3，－6
B [∵f (x )＝－(x －1)2－2，∴当x ＝1时有最大值－2，当x ＝3时有最小值－6.]
4．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1.
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23＝1，不计算函数值求f (0)；
(3)不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154的大小． [解] f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋132＋2
3.
(1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13，23，对称轴是直线x ＝－13.
(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，又⎪⎪⎪⎪
⎪⎪0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1
3，
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，
所以结合二次函数的对称性可知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23＝1.
(3)由f (x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋2
3知二次函数图象开口向上，且对称轴为x ＝－13，所以
离对称轴越近，函数值越小．
又⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－⎝
⎛⎭⎪⎫－13<⎪⎪⎪⎪⎪⎪154－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
154.。