2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.6点到直线的距离课件苏教版必修2
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2．1.6 点到直线的距离
预习课本 P101～105，思考并完成以下问题 1．如何求平面内一点到一条直线的距离？
2．点到直线的距离公式是什么？
3．两条平行线间的距离公式是什么？
[新知初探]
1．点到直线的距离公式
点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离记为 d，则 d |Ax0＋By0＋C|
即 kx－y＋1－2k＝0，∴|5kk2＋＋1－－21k2|＝3，解得 k＝43， 所以 l 的方程为 y－1＝43(x－2)，即 4x－3y－5＝0. 而直线斜率不存在时直线 x＝2 也符合题意， 故所求 l 方程为 4x－3y－5＝0 或 x＝2.
法二：设经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴ 2|＋52λ＋2＋λ－1－5|2λ2＝3， 即 2λ2－5λ＋2＝0，解得 λ＝2 或12， ∴l 方程为 4x－3y－5＝0 或 x＝2.
A．1
B．2
C． 3
D． 5
解析： d＝|－55|＝ 5.
答案：D
()
3．已知直线 l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则 l1，l2 之
间的距离为
()
A．1
B． 2
C． 3
D．2
解析：由题意知 l1，l2 平行，则 l1∥l2 之间两直线的距离 为|1－12＋－112|＝ 2.
答案：B
“×”)
(1)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝b(b≠0)的距离 d
＝y0－b.
(× )
(2)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d
＝|x0－a|.
(√)
(3)两直线 x＋y＝m 与 x＋y＝2n 的距离为|m－22n|.( √ )
2．原点到直线 x＋2y－a,2)(a＞0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等
于
()
A． 2
B． 2－1
C． 2＋1
D．2－ 2
解析：由点到直线的距离公式，得 1＝|a－12＋＋13|，即|a＋1|
＝ 2.∵a＞0，∴a＝ 2－1，故选 B.
答案：B
2．点 P(2，m)到直线 l：5x－12y＋6＝0 的距离为 4，则 m 的 值为________． 解析：由 d＝|5×25－2＋121m22＋6|＝4，知 m＝－3 或 m＝137.
法二：把 l2：6x＋8y－9＝0 化为 3x＋4y－92＝0，由两平行 直线间的距离公式，得 d＝－53－2＋－4292＝110.
求两条平行线间距离的两种思路
(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直 线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)直接利用两平行线(Ax＋By＋C1＝0 和 Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2))间的距离公式 d＝ |CA2－2＋CB1|2，但必须注意两直线方程 中 x，y 的系数对应相等．
[活学活用] 已知直线 l 与两直线 l1：2x－y＋3＝0 和 l2：2x－y－1＝0 平行 且距离相等，求直线 l 的方程． 解：设所求的直线方程为 2x－y＋c＝0，分别在 l1：2x－y＋3 ＝0 和 l2：2x－y－1＝0 上取点 A(0,3)和 B(0，－1)，则此两点 到 2x－y＋c＝0 的距离相等，即 2|－2＋3＋－c1| 2＝ 22|1＋＋－c| 12，解 得 c＝1，直线 l 的方程为 2x－y＋1＝0.
＝
A2＋B2
.
2．两条平行线间的距离 (1)两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段 的长． (2)求法：两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (3)公式：直线 l1：Ax＋By＋C1＝0， 直线 l2：Ax＋By＋C2＝0，
|C1－C2| d＝ A2＋B2 .
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打
距离公式的综合应用
[典例] 已知直线 l 经过直线 l1：2x＋y－5＝0 与 l2：x－2y ＝0 的交点．
(1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程； (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值．
[解] (1)法一：联立2xx－＋2yy－ ＝50＝0， ⇒交点 P(2,1)，当 直线斜率存在时，设 l 的方程为 y－1＝k(x－2)，
求点到直线的距离
[典例] 求点 P(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0； (2)x＝2； (3)y－1＝0.
[解] (1)由点到直线的距离公式知 d＝|2×－212＋＋122－10|＝105＝2 5. (2)因为直线 x＝2 与 x 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d ＝|－1－2|＝3. (3)因为直线 y－1＝0 与 y 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d＝|2－1|＝1.
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中，A＝0 或 B＝0 公式也成立， 但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
(2)由2xx－＋2yy－ ＝50＝ ，0， 解得交点 P(2,1)， 过 P 任意作直线 l，设 d 为 A 到 l 的距离， 则 d≤PA(当 l⊥PA 时等号成立)， ∴dmax＝PA＝ 5－22＋0－12＝ 10.
解决与距离相关的问题步骤 (1)化直线方程为一般式或设直线的一般式方程； (2)利用点到直线的距离公式建立等量关系求解待定系数， 解题过程中注意数形结合思想的应用．
答案：－3 或137
求两条平行线间的距离
[典例] 求两条平行线 l1：3x＋4y－5＝0 和 l2：6x＋8y－9 ＝0 间的距离．
[解] 法一：在直线 l1：3x＋4y－5＝0 上任取一点，不妨取 点 P(3，－1)，则点 P(3，－1)到直线 l2：6x＋8y－9＝0 的距离 即为两平行直线间的距离．因此，d＝|3×6－628＋×812－9|＝110.
预习课本 P101～105，思考并完成以下问题 1．如何求平面内一点到一条直线的距离？
2．点到直线的距离公式是什么？
3．两条平行线间的距离公式是什么？
[新知初探]
1．点到直线的距离公式
点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离记为 d，则 d |Ax0＋By0＋C|
即 kx－y＋1－2k＝0，∴|5kk2＋＋1－－21k2|＝3，解得 k＝43， 所以 l 的方程为 y－1＝43(x－2)，即 4x－3y－5＝0. 而直线斜率不存在时直线 x＝2 也符合题意， 故所求 l 方程为 4x－3y－5＝0 或 x＝2.
法二：设经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴ 2|＋52λ＋2＋λ－1－5|2λ2＝3， 即 2λ2－5λ＋2＝0，解得 λ＝2 或12， ∴l 方程为 4x－3y－5＝0 或 x＝2.
A．1
B．2
C． 3
D． 5
解析： d＝|－55|＝ 5.
答案：D
()
3．已知直线 l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则 l1，l2 之
间的距离为
()
A．1
B． 2
C． 3
D．2
解析：由题意知 l1，l2 平行，则 l1∥l2 之间两直线的距离 为|1－12＋－112|＝ 2.
答案：B
“×”)
(1)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝b(b≠0)的距离 d
＝y0－b.
(× )
(2)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d
＝|x0－a|.
(√)
(3)两直线 x＋y＝m 与 x＋y＝2n 的距离为|m－22n|.( √ )
2．原点到直线 x＋2y－a,2)(a＞0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等
于
()
A． 2
B． 2－1
C． 2＋1
D．2－ 2
解析：由点到直线的距离公式，得 1＝|a－12＋＋13|，即|a＋1|
＝ 2.∵a＞0，∴a＝ 2－1，故选 B.
答案：B
2．点 P(2，m)到直线 l：5x－12y＋6＝0 的距离为 4，则 m 的 值为________． 解析：由 d＝|5×25－2＋121m22＋6|＝4，知 m＝－3 或 m＝137.
法二：把 l2：6x＋8y－9＝0 化为 3x＋4y－92＝0，由两平行 直线间的距离公式，得 d＝－53－2＋－4292＝110.
求两条平行线间距离的两种思路
(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直 线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)直接利用两平行线(Ax＋By＋C1＝0 和 Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2))间的距离公式 d＝ |CA2－2＋CB1|2，但必须注意两直线方程 中 x，y 的系数对应相等．
[活学活用] 已知直线 l 与两直线 l1：2x－y＋3＝0 和 l2：2x－y－1＝0 平行 且距离相等，求直线 l 的方程． 解：设所求的直线方程为 2x－y＋c＝0，分别在 l1：2x－y＋3 ＝0 和 l2：2x－y－1＝0 上取点 A(0,3)和 B(0，－1)，则此两点 到 2x－y＋c＝0 的距离相等，即 2|－2＋3＋－c1| 2＝ 22|1＋＋－c| 12，解 得 c＝1，直线 l 的方程为 2x－y＋1＝0.
＝
A2＋B2
.
2．两条平行线间的距离 (1)两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段 的长． (2)求法：两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (3)公式：直线 l1：Ax＋By＋C1＝0， 直线 l2：Ax＋By＋C2＝0，
|C1－C2| d＝ A2＋B2 .
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打
距离公式的综合应用
[典例] 已知直线 l 经过直线 l1：2x＋y－5＝0 与 l2：x－2y ＝0 的交点．
(1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程； (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值．
[解] (1)法一：联立2xx－＋2yy－ ＝50＝0， ⇒交点 P(2,1)，当 直线斜率存在时，设 l 的方程为 y－1＝k(x－2)，
求点到直线的距离
[典例] 求点 P(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0； (2)x＝2； (3)y－1＝0.
[解] (1)由点到直线的距离公式知 d＝|2×－212＋＋122－10|＝105＝2 5. (2)因为直线 x＝2 与 x 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d ＝|－1－2|＝3. (3)因为直线 y－1＝0 与 y 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d＝|2－1|＝1.
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式仍然适用． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中，A＝0 或 B＝0 公式也成立， 但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
(2)由2xx－＋2yy－ ＝50＝ ，0， 解得交点 P(2,1)， 过 P 任意作直线 l，设 d 为 A 到 l 的距离， 则 d≤PA(当 l⊥PA 时等号成立)， ∴dmax＝PA＝ 5－22＋0－12＝ 10.
解决与距离相关的问题步骤 (1)化直线方程为一般式或设直线的一般式方程； (2)利用点到直线的距离公式建立等量关系求解待定系数， 解题过程中注意数形结合思想的应用．
答案：－3 或137
求两条平行线间的距离
[典例] 求两条平行线 l1：3x＋4y－5＝0 和 l2：6x＋8y－9 ＝0 间的距离．
[解] 法一：在直线 l1：3x＋4y－5＝0 上任取一点，不妨取 点 P(3，－1)，则点 P(3，－1)到直线 l2：6x＋8y－9＝0 的距离 即为两平行直线间的距离．因此，d＝|3×6－628＋×812－9|＝110.