换元法积分法1

1 x2
dx


d
(
1 x
)
注：1.凑微分法适用于被积表达式呈 f [(x)](x)dx
的积分；
两部分相乘的形式
2.用凑微分法关键在于把被积函数适当地分成繁简
两部分，并将简单部分凑成繁的部分的导数形式。
练习：1. (2x 1)15 dx
2.
1 3x
2
dx
4.1
x x2
dx
5.
在一般情况下：
设 F(u) f (u) ，则 f (u)du F(u) C.
如果 u (x) （可微）
dF[(x)] f [(x)](x)dx
f [(x)](x)dx F[(x)] C
[ f (u)du]u(x)
由此可得换元法定理:
2.x dx 1 d (x1)
1 exdx d (ex )
cos xdx d (sin x)
6. 1 sin 2
x
dx

d
(
ctgx )
1 dx d( tgx) cos2 x
7.
1 1
x2
dx

d
(arcsin
x)
1 dx d(arctgx) 1 x2
例：填写空白，使下列等式成立
定理：设f(u)有原函数，u (x)可导，则有
u (x)
f [(x)](x)dx
[
(x)dx du
f (u)du]u(x)
凑微分
注：1.虽然 f [(x)](x)dx 是一个整体符号，但其
中的dx可以看成是x的微分，从而等式(x)dx du
可以应用到积分的表达式当中。
§2 换元法积分法
一、凑微分
例：填写空白，使下列等式成立
1
dx 2 d(2x)
1
dx 3 d(3x)
dx
2
d(1 x) 2
dx – d(x)
1
dx 2 d(2x 1)
dx 1 d(2x 1)
2
注：(1)dx
1 a
d(ax b)
即：微分符号内可以任意加减常数，但乘一个数
6. x 1 x2dx
2x
7. 1 x2 dx
8. x2 sin(1 3x3)dx 9.
x2
dx
3 (2x3 5)2
1
2x
10. x2 dx
注：(2) x dx 1 d ( x1)
xdx 1d( x2) 1
x2dx 1 d ( x3)
2
3
1 dx 2d( x ) x
后需在微分号外除以同一个数。
例：填写空白，使下列等式成立
xdx 1 d ( x2) 2
1 dx 2 d( x ) x
x2dx 1 d( x3)
3
1 dx d( 1 )
x2
x
注：(2) x dx 1 d ( x1)
1
注：(3) exdx d ( ex ) exdx d (ex )
例：求下列不定积分
1. (4x 1)10 dx
2.1
1 2x
dx
练习：求下列不定积分：
1. sin 4xdx
4.
1 e3x5
dx
2. (3 2x)3 dx
5. xex2 dx
3. 3
1 dx 3x 1
6. x 1 x2dx
7.
ln x x
dx
例：1.
2x 1 x2
(4) 1 dx d ( ln x ) x
(5) sin xdx d ( cos x) cos xdx d (sin x)
常见的凑微分形式：
1.dx 1 d(ax b) a
3.exdx d (ex ) 4.1 dx d (ln x)
x 5.sin xdx d (cos x)
x dx 1 4x2
1
ex
7. x2 dx
8. sin x x dx
Байду номын сангаас
10.
1 x dx 1 x2
3.
1 dx 1 3x
6. x2 cos(1 2 x3 )dx 5
9. sin 2 xdx
1.sin x cosxdx cos x d( cosx ) 1 cosx d( 2cosx 5 )
2
2.cos3xdx 1 cos3xd( 3x ) 1 d(sin3x) 1 d(4sin 3x 1)
3
3
12
1 cosudu 1 d (sin u) 1 d(sin3x)
dx
3.
x2 dx
3 (x3 5)2
2. x2 sin(1 3x3 )dx 1 2x
4. x 2 dx
例：求下列不定积分：
1. sin 4xdx
2. (3 2x)3 dx
1
3. 3
1 dx 3x 1
4.
1 e3x5
dx
注：(1)dx a d(ax b)
5. xex2 dx
3
3
3
3.
x x2 1 dx

1 2
1 x2 1d(
x2
)

1 2
x
1 2
d 1
(
x
2
1)
1 d( ln(1 x2 ) )
2
(arctgx)2 4. x2 1
dx
(arctgx)2 d ( arctgx )

1 3
d( (arctgx)3
)
二、第一换元法：
例：求 cos2xdx