三年级计算等差数列教师版

知识要点
1.按一定次序排列的一列数叫做数列．数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．
如：1,2,3,4，L 是等差数列，公差为1；2,4,6,8，L 是等差数列，公差为2；5,15,20，L 是等差数列，公差为5．
等差数列的相关公式
(1)三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）
递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）
同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：
11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L 、40、43、46 ，
分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、L 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．
③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++L
11002993985051=++++++++L 1444444442444444443
（）（）（）（）101505050=⨯= 等差数列
(思路2)这道题目，还可以这样理解：
23498991001009998973212101101101101101101101
+++++++=+++++++=+++++++L L L
和=1+和倍和 即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=
(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=L （），
题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=L （），
题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．
“慈善家”的谎言
在一次表彰会上，一个“慈善家”洋洋得意地说：“上星期我把50枚银元施舍给10个穷人，我不是平均分给他们的，而是根据他们困难的程度进行施舍．因此，他们每个人得到的银元数都不相同．”一个聪明的小朋友听了，很气愤的说：“你是个伪慈善家，你说的是谎话！” 聪明的小朋友们，你知道这个小朋友说这话的根据吗？ 【分析】 这个聪明的小朋友是计算了十个穷人每人得到的银元数都不相同时，需要的最少银元数后，
揭露伪慈善家的谎言的．十个穷人得到的银元枚数都不相同，最少需要
1231055++++=L L （枚）
，而50枚银元根本办不到，伪慈善家的话前后矛盾，这就是聪明的小朋友的依据了．
基础知识
【例 1】 判断下面的数列中，哪些是等差数列？如果是，请指明公差；如果不是，请说明理由。

数列一：3、6、9、12、15、……；
数列二：1、2、3、2、3、4、5、……、49、50； 数列三：1、2、4、8、16、32、64；
数列四：19、18、17、16、15、14、13、12、11；
数列五：2009、2009、2009、2009、2009、2009、2009； 数列六：1、2、1、2、1、2、1、2、1；
【分析】 数列一是等差数列，公差为3；
因为2-12-3，即2132a a a a -≠-；所以数列二不是等差数列； 因为2142-≠-，即2132a a a a -≠-；所以数列三不是等差数列；
数列五是等差数列，公差为0；
因为2112-≠-，即2132a a a a -≠-；所以数列六不是等差数列。

【例 2】 求数列共有多少个数？
（1）2,4,6,8,,86,98,100L L （2）4,7,10,13,,40,43,46L L
【分析】 （1）(1002)2150-÷+=，共有50个数
（2）(464)(74)114115-÷-+=+=，共有15个数
【例 3】 求数列共有多少个数？
（1）3,4,5,6,,76,77,78L L （2）1,3,5,7,,87,89,91L L
【分析】 （1） 783176-+=，共有76个数
（2）(911)2146-÷+=，共有46个数
【例 4】 （1）已知等差数列2,5,8,11,14,,L L 问47是其中第几项？
（2）已知等差数列9,13,17,21,25,,L L 问93是其中第几项？
【分析】 （1）这个数列有：(472)3116n =-÷+=，即47是第16项。

（2）(939)4122n =-÷+=，即93是第22项。

【例 5】 在数列3,6,9,,201L L 中，共有多少个数？如果继续写下去第201个数是多少？ 【分析】 项数(2013)3167=-÷+=.第201个数是33(2011)603+⨯-=.
【例 6】 对于数列4,7,10,13,16,19,L L ，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50 项的差是多少？
【分析】
第n 项=首项+公差(1)n ⨯-
项数= (末项-首项)÷公差1+ 第n 项-第m 项 =公差()n m ⨯-
第10项为：43(101)42731+⨯-=+= 49在数列中的项数为：(494)3116-÷+= 第100项与第50项的差：3(10050)150⨯-=
简单求和
【例 7】 求下列各式的和
（1）34599100+++++L L （2）4812163236++++++L L （3）656361531++++++L L
【分析】 （1）项数：(1003)1198-÷+=； 和：(3100)9825047+⨯÷= ；
（2）项数：(364)419-÷+=； 和：(436)92180+⨯÷=；
（3）项数：(651)2133-÷+= ；和：(165)33233331089+⨯÷=⨯=．
【例 8】 （1）10131619295298++++++L （2）57677787217227++++++L 【分析】 （1）项数：(29810)312883196197-÷+=÷+=+= 和：(10298)97214938+⨯÷=
（2）项数：(22757)10118-÷+=
和：(57227)1822556+⨯÷=
【例 9】 26012341920-------L 【分析】 原式260(12320)=-++++L 260(120)202=-+⨯÷ 260210=- 50=
【例 10】 135199519971999++++++L L 【分析】
原式(11999)10002=+⨯÷
200010002
1000000
=⨯÷=
【例 11】 12398999821+++++++++L L 【分析】 原式9999=⨯ 9801=
【例 12】 45698999897543++++++++++L L 【分析】 原式999912321=⨯----- 98019=- 9792=
【例 13】
(123200720082007321)2008++++++++++÷L L
【分析】 原式200820082008=⨯÷ 2008=
【例 14】 计算：15025098509950÷+÷++÷+÷L 【分析】 原式=()()+++++++÷=+⨯÷÷=123459899501999925099L
【例 15】 计算：99198297396495594693792891990+++++++++ 【分析】 （法一）99198297396495594693792891990+++++++++ 100120023003100010=-+-+-++-L
100200300100012310=++++-++++L L （）
1001000102110102=+⨯÷-+⨯÷（）（）
550055=- 5445=
（法二）99198297396495594693792891990+++++++++ 99(1234567891011)=⨯++++++++++
9966=⨯ 6534=
【例 16】 计算：123456789979899+-++-++-+++-L ． 【分析】 原式123456789979899=+-++-++-+++-L （）（）（）（）
036996396[96331]21584
=+++++=+⨯-÷+÷=L （）（）
【例 17】 学学和思思走到一个建筑工地旁，发现建筑工地上堆着一些钢管（如图），那么聪明的小朋
友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？
【分析】
这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8．由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：
(310)8252+⨯÷=（根）
【例 18】 求两位数中所有含有数字5的数之和？
15，25，35，45，55，65，75，85，95，50，51，52，53，54，56， 57，58，59
【分析】 (1525354595)(505159)55+++++++++-L L (1595)92(5059)10255=+⨯÷++⨯÷- 985=
【例 19】 求0至100内被4除余1的数的和？
【分析】 这些数为：1，5，9，L ，93，97。

和为 1599397(197)2521225+++++=+⨯÷=L
【例 20】 求0到100（包括0与100）内即是3的倍数又是5的倍数的所有的数的和？ 【分析】 3的倍数：3，6，9，L ，96，99
5的倍数：5，10，15，20，L ，95，100 15的倍数：15，30，45，60，75，90
(369699)(5101595100)(153090)++++++++++-+++L L L 3(12333)5(12320)15(123456)=⨯+++++⨯++++-⨯+++++L L 16831050315=++ 3048=
【例 21】 小红读一本书，第一天读30页，从第二天起，每天读的页数都必须比前一天多4页，最后一
天读了70页刚好读完，这本书共有几页？
【分析】 先求小红看了几天，(7030)4111-÷+=天，
再求这本书的总页数：(3070)112550+⨯÷=页
【例 22】 小文从5岁开始存钱，5岁时他有了30元，以后每年比前一年多存10元，那么到他18岁时
他共存了多少钱？
【分析】 项：185114-+=年
18岁那年他存了30(185)10160+-⨯=元 和：(30160)1421330+⨯÷=元
【例 23】 把55枚棋子放在若干个盒子里，按第1个盒子里放1枚，第2个盒子里放2枚，第3个盒子里
放3枚，……，这样下去，最后刚好将棋子放完，那么学学和思思用多少个盒子来做游戏呢？
【分析】 第1个盒子放了1枚棋子；
第2个盒子放了2枚棋子； 第3个盒子放了3枚棋子； ……
因此，只要是从自然数加起，加数依次增加1，一直加到某个自然数，它们的和正好是55，那么，这些加数的个数就是盒子数了．
估算结果： 1234567891055+++++++++=， 55是10个自然数的和，所以需要用10个盒子做游戏．
【例 24】 计算下列一组数的和：105，110，115，120，…，195，200 【分析】
数列的项数1()1n n a a d =-÷+
(200105)51=-÷+
9551=÷+ 20=．
故数列的和是：1()2n S a a n =+⨯÷
(105200)202=+⨯÷
305202=⨯÷ 3050=
复杂求和
【例 25】把自然数按下面形式排列，它的第一行是1,2,4,7,11,L L那么第一行的第100个数是几?
124711 35812 6913
1014
15L
L
L
L
L
L
【分析】从左上方到右下方看斜行，依次是1,(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),L L各斜行数的个数顺次是1,2,3,L L所以第一行的第100个数，正好是第100个斜行的第一个
数．(12349899)1(199)99214951
+++++++=+⨯÷+=
L L．
【例 26】一个剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排一共有210个座位，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?
【分析】210是第(21010)21101
n=-÷+=排，中间一排就是第(1011)251
+÷=排，那么中间一排有：10(511)2110
+-⨯=（个）座位．这个剧场的座位一共有：11010111110
⨯=（个）．
【例 27】建筑工地有一批砖，摆成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层有2106块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？
【分析】如果我们把每层砖的块数依次记下来，2,6,10,14,L容易知道这是一个等差数列．2106是第(21062)41527
n=-÷+=层，中间一层是第(5271)2264
+÷=层，
那么中间一层有：2(2641)41054
+-⨯=块，
这堆砖共有：1054527555458
⨯=（块）
【例 28】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？
10根
边数和．自上而下依次为：3,6,9,,310⨯L L ．它们成等差数列， 而且首项为3，公差为3，项数为10．
火柴的总根数：36930(330)102335165++++=+⨯÷=⨯=L L （根）。

法二：按照小三角形的三条边的三个方向上来分，每个方向上都是1+2+……+10，所以总的
火柴数量为(1+2+3+……+10)×3=165（根）。

【例 29】 有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，L ，从第三个数起，每一个数都是它前
面两个数中大数减小数的差，从第1个到第1993个数这些数的和是多少？
【分析】 如果把1拿出，正好成为一个等差数列：1993，1992，1991，1990，L ，在原数列中三个数
一组出现一个1。

199336641÷=L ，可分为664组还余一个1，即该列数中共有665个1，其余是1993到666，共66421328⨯=（个）数。

那么这列数的和为：
1665(6661993)13282⨯++⨯÷665265913282=+⨯÷6651765576=+1766241=
其他
【例 30】 丽丽从七月一日开始写毛笔字，第一天写了6个，以后每天比前一天多写相同数量的毛笔字，
结果全月共写1116个毛笔字，丽丽每天比前一天多写几个大字？
【分析】 第16天打字11163136÷=（个）
那么，丽丽每天比前一天多写(366)(161)2-÷-=（个）大字。

【例 31】 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少
下？
【分析】 时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上12个半点敲打的一下，即：
(12312)12(112)12212781290+++++=+⨯÷+=+=L L （下）
， 所以一昼夜时钟一共敲打：902180⨯=（下）．
【例 32】 一串钥匙30把，对应30把锁，若不小心弄乱了，那么至多需要试多少次？
【分析】
第一把最多试29次，第二把最多试28次，L ，第二十八把最多试2次，第二十九把最多试1次，第30把不用尝试，那么至多需要试2928273211529435++++++=⨯=L （次）
【例 33】 把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个小朋友都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不
同的话，这堆苹果至少应该有多少个？
【分析】 这堆苹果至少应该有12345678(18)8236+++++++=+⨯÷=（个）
一课一练
【练习1】已知等差数列1,3,5,7,9,,2003
L L问这个数列共有多少项？
【分析】(20031)211002
-÷+=（项）
【练习2】已知数列0,4,8,12,16,20,L L，它的第43项是多少？
【分析】第43项04(431)168
=+⨯-=．
【练习3】在数列3,6,9,,201
L L中，共有多少个数？如果继续写下去第201个数是多少？
【分析】项数(2013)3167
+⨯-=.
=-÷+=.第201个数是33(2011)603
【练习4】求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和．
【分析】末项是：135(301)158
+⨯÷=
+⨯-=，和是：(13158)3022565
【练习5】从37到111的所有单数之和是多少？
【分析】从37到111的所有的单数有(11137)2138
-÷+=项
和：373941111(37111)3822812
L
++++=+⨯÷=
【练习6】已知一个等差数列的首项是5，末项是105，公差是5，那么这个等差数列的和是多少？【分析】由首项是5，末项是105，公差是5，可知项数为：(1055)5121
-÷+=项，等差数列的和是：+⨯÷=.
(1055)2121155
【练习7】求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和．
【分析】末项是：135(301)158
+⨯-=，和是：(13158)3022565
+⨯÷=
【练习8】有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4.问这串数中的第2003个数是多少？
【分析】题中的数按从小到大的顺序排构成一个等差数列，首相为6，公差为4，根据公式求出末项，末项=首项+公差⨯（项数1
=+⨯-=
-），所以第2003项64(20031)8014
【练习9】（第一届小机灵杯第十三题）黑白两种颜色的珠子，一层黑，一层白，排成正三角形的形状（如图），当白珠子比黑珠子多10颗时，一共用了多少颗白珠子？
【分析】将两排作为一组，可以发现每组白珠就比黑珠多1颗，现在白珠共比黑珠多10颗，说明有10组，那么共有20排，双数排是白珠，一共用了24681820(220)102110
L
++++++=+⨯÷=（颗）
【练习10】学校礼堂共有30排，已知第一排是15个座位，以后每排比前一排多2个座位，那么共有多少个座位？
【分析】第30排有：15(301)273
+-⨯=个座位
共有：(1573)3021320
+⨯÷=个座位
【练习11】自1开始，每隔两个数写出一个数来，得到数列：1，4，7，10，13，L，求出这个数列前100项之和。

【分析】第100项为：1(1001)3298
+-⨯=
前100项的和：(1298)100214950
+⨯÷=
【练习12】小华看一本书，第一天看了3页，以后每一天比前一天多看的页数相同，第20天看了79页，刚好看完，问这本书共多少页？每天比前一天多看多少页？
【分析】全书共有(379)202820
-÷-=页。

+⨯÷=页，小华每天比前一天多看(793)(201)4
【练习13】有10个盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒子中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？
【分析】不能，每个盒子中的乒乓球个数都不相同，那么至少需要球的个数为：1231055
L
++++=个，44个乒乓球是不能这样做的。

【练习14】自1开始，每隔两个数写出一个数来，得到数列：1，4，7，10，13，L，求出这个数列前100项之和。

【分析】第100项为：1(1001)3298
+⨯÷=
+-⨯=；前100项的和：(1298)100214950
补充题库
【补充1】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
【分析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为210730
÷=，所以，这7个数分别是15,20,25,30,35,40,45.即第1个数是15，第6个数是40.
【补充2】如图，每个最小的等边三角形的面积是2平方厘米，边长是1根火柴棒，最大的三角形的面积是多少平方厘米，整个图形有多少根火柴棒摆成？
【分析】最小三角形个数：13511(111)6236
⨯=
++++=+⨯÷=
L（个），那么大三角形面积为：23672（平方厘米）；火柴棒的根数：36918(318)6263
L（根）
++++=+⨯÷=
【补充3】所有三位数中被6除余5的数之和是多少？
【分析】最小的三位数是101，然后是107，113，L，995，从101到995共：(995101)61150
-÷+=项
和：(101995)150282200
+⨯÷=。