(NEW)深圳大学管理学院916运筹学历年考研真题汇编(含部分答案)
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二、（30分）线性规划问题
当t1＝t2＝0时，求解得最终单纯形表如下：
（1）确定cj，aij，bi（i＝1，2；j＝1，2，3）的值； （2）当t2＝0时，t1在什么范围内变化上述最优解不变； （3）当t1＝0时．t2在什么范围内变化上述最优解不变。
答：（1）由最终单纯形表得
求得c1＝6，c2＝－
要求： （1）写出求产值最大的分配方案的数学模型； （2）用匈牙利解法求解最优分配方案及最大产值。
答：（1）设
I，j＝1，2，3，4。
则数学模型为
其中，cij为第i个工人完成第j项任务的产值，其值见上表。 （2）利用匈牙利解法求解，令bij＝M－cij，则B＝（bij），过程如 下：
进行指派：
，由该矩阵可以看出◎的个数l＝4＝n，n
2009年深圳大学管理学院运筹学 考研真题
2008年深圳大学管理学院运筹学 考研真题
2007年深圳大学管理学院运筹学 考研真题
2007年深圳大学管理学院运筹学 考研真题及详解
2007年深圳大学硕士研究生入学考试试题 （答题必须写在答题纸上，写在本试题纸上无效）
专业：管理科学与工程 考试科目：运筹学
2，c3＝10。 将最终单纯形表化成以x4、x5为基变量的最初单纯形表如下：
CB XB b 0 x4 5 0 x5 5
x1
x2
x3
x4
x5
0
1
2
1
0
3
－2
－1
0
1
即得出
（i＝1，2，j＝1，2，3），b1＝b2＝10。
（2）t2＝0时，将t1代入题中最终单纯形表中：
cj CB XB b 10 x3 5/2 6＋t1 x1 5/2 cj－zj
择任务时必少完成3任务同时择任务2任务3和任务4不同时应当择哪些任务最大只建模不求11地区4个垃圾对各城垃圾外影响每日产垃圾地各处力及各条可供垃圾否使所有垃圾到处到处如果不明分析可不具体求3020102040705040203080一一60409030单位及时供应每次每个件每年存不允求最优不会不允条件是存在写在本上无效专业?标函数变为maqf其中0为某一常数则最优充分必条件是条件8写出x23工3x2wo标准型对偶模型中损失期望值最小准则和利期望值最小准则可以定最佳果是否13xi10xj90xi最优及对偶最优然后灵敏度分析束条件右常数变为品96最优分别有何变化在什么围变化时最优保持不变10分上作业法求10014011018930x2l3225四人去完成四任务为最少指派方案
（1）采用贝叶斯决策准则，最优方案是什么?
（2）画出贝叶斯决策过程的决策树。
（3）计算全情报价值EVPI，并确定是否需要请咨询公司进行市场 调查销路和利润增长额预测情况。
答：（1）设两种选择的期望收益分别为E1，E2，则：
E1＝15*P（S1）＋1*P（S2）＋（－6）*P（S3）＝1.35； E2＝0*P（S1）＋0*P（S2）＋0*P（S3）＝0。 E1>E2，所以会选择第一种方案，期望值EMV＝1.35（万元）。 （2）贝叶斯决策过程的决策树如下：
6＋t1 x1 0 1 0
－2 x2 1/2 －1/2 －4＋1/2t1
10 0 x3 x4 1 1/2 0 －1/6 0 －4＋1/6t1
0 x5 0 1/3 －2－1/3t1
要保证最优解不变，则需要各非基变量的检验数仍是不大于零的
数，则得：
，解得
。
（3）t1＝0时，经过计算后，将t2代入题中最终单纯形表中：
I必做题（本题共90分） 一、填空题（20分，第1题～第5题每空2分，第6题每空3分） 1．在线性规划的单纯形表中，若原问题非可行，对偶问题可行 时，可用________法继续计算。 【答案】对偶单纯形法 【解析】若对偶问题有最优解，则原问题也有最优解。 2．线性规划问题max z＝CX，AX＝b，X≥0，设X*为问题的最优 解。若目标函数变为maxz＝λCX，其中λ＞0为某一常数，则最优解为 ________。
6．写出线性规划问题 max Z＝2x1一3x2＋x3
的标准型________及对偶问题________。 【答案】
标准型是：
对偶问题是：
【解析】标准形式要满足：① 目标函数为求最大值；① 约束条件右 端项要大于0；② 约束条件为等式；③ 变量不为负数。
二、简答题（每题5分，共l0分） 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出 现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相 等时，在迭代过程中间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输 表的一行和一列，这时就出现了退化。 当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退
经计算可得：
，其中
平均需求量，故
平均盈利（常数）。故一个最大，另一个最小。
三、（30分）设线性规ຫໍສະໝຸດ 问题为： max z＝－5x1＋5x2＋13x3
用单纯形法求该问题的最优解及对偶问题最优解，然后用灵敏度分 析：
（1）第2个约束条件右端常数变为b2＝95，最优解分别有何变化? （2）目标函数中的系数Cz在什么范围变化时最优解保持不变? （3）增加一个新变量x6，其系数为（c6 a16 a26）T＝（1035）T。 答：
3．运输问题的表上作业法中解的最优性检验常用的两种方法是 ________和________。
【答案】闭回路法和位势法 【解析】得到了运输问题的初始基可行解之后，即应对这个解进行
最优性判别，看它是不是最优解。常用的两种方法是：闭回路法和位势 法。
4．图G＝（V，E）有生成树的充分必要条件是________。 【答案】G是连通图 【解析】图G是连通图，如果G不含圈，那么G本身是一个树，从而 G使它自身的一个支撑树。现设G含圈，任取一个圈，从圈中任意地去 掉一条边，得到G的一个支撑子图G1。如果G1不含圈，那么G1是G的一 个支撑树，如果G1仍含圈，那么从G1中再任取一个圈，如此重复，最 终可以得到G的一个支撑子图Gk，它不含圈，于是Gk就是G的一个支撑 树。
网络图
重复运用破圈法，最终得到最小支撑树
。
（3）由（2）可得出总长度是13＋15＋10＋34＋20＝92（千英 里）。
五、（20分）某制造厂每周购进某种机械零件50件，订购费为40 元，每周保管费为3.6元。
（1）求E．O．Q：
（2）该厂为少占用流动资金，希望存贮量达到最低限度，决定宁可 使总费用超过最低费用的4%作为存贮策略，问这时订货量为多少?
cj CB XB b 10 x3
6 x1 cj－zj
6＋t1
－2
10 0
0
x1
x2
x3
x4
x5
0
1/2
1 1/2
0
1
－1/2
0
－1/6
1/3
0
－4
0 －4
－2
要保证最优解不发生变化，则需要
，解得
。
三、（20分）
某厂有4个工人A1，A2，A3，A4，分别均能操作B1，B2，B3，B4台 车床中的一台，每小时的产值如下表：
目 录
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解：（1） （件/周），
（元），
（元/周）。
。
（2） 令新的订货量为 ，则依题意有：
即
解得：
或
（舍去）。
所以这时的订货量为25。
六、（25分）某公司考虑生产一种新产品，决策者对市场销售状态 进行预测的结果有三种情况：销路好、一般、差，其概率及各种情况下 增加的利润额（单位：万元）如下表所示（其中S为销路，P为利润增长 额，A为方案）。为了得到更加可靠的信息，公司可以花费O．6万元请 咨询公司代为进行市场调查，以确定市场的实际需求。请回答下列问 题：
（3）当完全情报告诉决策者自然状态是S1时，决策者一定采用方案 a1；当完全情报告诉决策者自然状态是S2时，决策者一定采用方案a1； 当完全情报告诉决策者自然状态是S3时，决策者一定采用方案a2。
所以：
（万元）；
EVPI＝EPPL－EMV＝4.05－1.35＝2.7（万元）。
咨询公司的咨询要价小于2.7，所以，需要请咨询公司进行调查。
为矩阵的阶数。因此，指派成功。即，A1指派B1，A2指派B3，A3指派 B2，A4指派B4，可以得到最大产值。
四、（20分）已知世界六个城市：Pe，N，Pa，L，T，M两城市之 间的距离（单位：千英里）如下表所示，现需要确定哪些城市之间开辟 航线，并使得连接所有城市的总长度最短。请回答以下问题：
（1）这是一个最短路问题还是最小支撑树问题，为什么? （2）画出网络图，找出最优连接方案； （3）总长度的最小值是多少?
答：（1）这是一个最小支撑树问题，因为，是确定开辟的航线使 得所有城市的总长度最短，即要求：① 各城市节点要连通；② 总长度 最短。
（2）有各地之间距离可得出以下网络图：
利用破圈法，在破圈时选择最大权边去除：
① 选择圈 边，得新的网络图，
因为Pe－M边权最大，故去除Pe－M
② 选择圈Pe－L－M－T－Pe，T－M权最大，故去除改边，得新的
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2011年深圳大学管理学院836运筹 学考研真题
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2011年深圳大学硕士研究生入学考试试题 专业：管理科学与工程 考试科目：运筹学 科目代码：836
七、（15分）设线性规划问题
有最优解，B为最优基，证明单纯形乘子CB－1是对偶问题的最优 解。
证明：其对偶问题是
设 是原问题的最优解，则其对应的基矩阵B必存在
，
，这时 是对偶问题的可行解，它使
。由于原问题的最优解 ，使目标函数取值
，由此得
，即 是对偶问题的最优解，
因此单纯形乘子 是对偶问题的最优解。
－5＋c2’ 0 13－3c2’ －c2’ 0
若使最优解不变，则需满足：
（3） 代入到最优单纯形表中，得到
，故最优解不变。
四、（10分）用运输问题的表上作业法求解线性规划问题： minz＝lOOx11＋140x12＋llOx13＋180x21＋150x22＋160x23
一、填空题（每空2分，20分） 1．线性规划最优生产计划中第i种资源有剩余，则该资源的影子价 格为（ 0 ）。 2．在大M法的目标函数中，人工变量的系数为（ －M ）。 3．某手机修理店有一位修理人员，顾客到达为Poisson流，到达率 为3人/h，服务时间为负指数分布，平均需15mi n，该排队模型属于（ M/M/1模型 ），顾客来维修不必等候的概率为（ 0.25 ），平均顾客数 位（ 3 ），在系统的逗留时间为（ 1h ），若要使顾客到达时间缩短 为40分钟，应该改进服务水平为（ 4.5人/h ）。 4．无向连通图G是欧拉图的充要条件是（ G中无奇点 ）。 5．如果运输问题单位运价表中的某一行（或某一列）元素分别乘 上一个常数k，最优调运方案将（ 不会发生 ）变化。 6．若Q为f增广链，则Q中所有前向边都为f的（ 非饱和弧 ）
－5 5 13 0 0
0
20 －1 1 [3] 1 0 20/3
0
90 12
4 10 0 1 9
－5 5 13 0 0
－5
5
13 0
0
13
20/3 －1/3 [1/3] 1 1/3
0 20
0
70/3 46/3
2/3
0 －10/3 1 35
－2/3 2/3
0 －13/3 0
－5 5
13
0
0
5
20 －1 [1] 3
1
0
0
10 16
0
－2 －4 1
0
0
－2 －5 0
得到最优解为（0，20，0，0，10）。
对偶问题最优解为：（5，0）。
（1）
最优解变为（0，20，0，0，15），最优值不变。 （2）设c2变为c2’，代入最优单纯形表中，得到：
－5
c2’ 13
0
0
c2’
20 －1
[1] 3
1
0
0
10 16
0 －2
－4 1
化时应在同时划去的一行或一列中的某个格中填入数字0，表示这个格 中的变量是取值为0的基变量，使迭代过程中基变量个数恰好为（m＋n －1）个。
2．在单周期随机存贮模型中，损失期望值最小准则和获利期望值 最小准则都可以用来确定最佳订购量，结果是否相同?说明理由。
答：不论需求是离散型的还是连续型的，二者的结果是相同的，只 是从两个不同的角度对同一问题的理解。下面以需求是离散型的为例，
5．流f为可行流必须满足________条件和________条件。 【答案】容量限制条件和平衡条件 【解析】在运输网络的实际问题中可以看出，对于流有两个明显的 要求：一是每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力（即弧的容 量）；二是中间点的流量为零。因为对于每个点，运出这点的产品总量 与运进这点的产品总量之差，是这点的净输出量，简称为是这一点的流 量；由于中间点只起转运作用，所以中间点的流量必为零。易而发点的 净流出量和收点的净流入量必相等，也是这个方案的总输送量。
当t1＝t2＝0时，求解得最终单纯形表如下：
（1）确定cj，aij，bi（i＝1，2；j＝1，2，3）的值； （2）当t2＝0时，t1在什么范围内变化上述最优解不变； （3）当t1＝0时．t2在什么范围内变化上述最优解不变。
答：（1）由最终单纯形表得
求得c1＝6，c2＝－
要求： （1）写出求产值最大的分配方案的数学模型； （2）用匈牙利解法求解最优分配方案及最大产值。
答：（1）设
I，j＝1，2，3，4。
则数学模型为
其中，cij为第i个工人完成第j项任务的产值，其值见上表。 （2）利用匈牙利解法求解，令bij＝M－cij，则B＝（bij），过程如 下：
进行指派：
，由该矩阵可以看出◎的个数l＝4＝n，n
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2008年深圳大学管理学院运筹学 考研真题
2007年深圳大学管理学院运筹学 考研真题
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2007年深圳大学硕士研究生入学考试试题 （答题必须写在答题纸上，写在本试题纸上无效）
专业：管理科学与工程 考试科目：运筹学
2，c3＝10。 将最终单纯形表化成以x4、x5为基变量的最初单纯形表如下：
CB XB b 0 x4 5 0 x5 5
x1
x2
x3
x4
x5
0
1
2
1
0
3
－2
－1
0
1
即得出
（i＝1，2，j＝1，2，3），b1＝b2＝10。
（2）t2＝0时，将t1代入题中最终单纯形表中：
cj CB XB b 10 x3 5/2 6＋t1 x1 5/2 cj－zj
择任务时必少完成3任务同时择任务2任务3和任务4不同时应当择哪些任务最大只建模不求11地区4个垃圾对各城垃圾外影响每日产垃圾地各处力及各条可供垃圾否使所有垃圾到处到处如果不明分析可不具体求3020102040705040203080一一60409030单位及时供应每次每个件每年存不允求最优不会不允条件是存在写在本上无效专业?标函数变为maqf其中0为某一常数则最优充分必条件是条件8写出x23工3x2wo标准型对偶模型中损失期望值最小准则和利期望值最小准则可以定最佳果是否13xi10xj90xi最优及对偶最优然后灵敏度分析束条件右常数变为品96最优分别有何变化在什么围变化时最优保持不变10分上作业法求10014011018930x2l3225四人去完成四任务为最少指派方案
（1）采用贝叶斯决策准则，最优方案是什么?
（2）画出贝叶斯决策过程的决策树。
（3）计算全情报价值EVPI，并确定是否需要请咨询公司进行市场 调查销路和利润增长额预测情况。
答：（1）设两种选择的期望收益分别为E1，E2，则：
E1＝15*P（S1）＋1*P（S2）＋（－6）*P（S3）＝1.35； E2＝0*P（S1）＋0*P（S2）＋0*P（S3）＝0。 E1>E2，所以会选择第一种方案，期望值EMV＝1.35（万元）。 （2）贝叶斯决策过程的决策树如下：
6＋t1 x1 0 1 0
－2 x2 1/2 －1/2 －4＋1/2t1
10 0 x3 x4 1 1/2 0 －1/6 0 －4＋1/6t1
0 x5 0 1/3 －2－1/3t1
要保证最优解不变，则需要各非基变量的检验数仍是不大于零的
数，则得：
，解得
。
（3）t1＝0时，经过计算后，将t2代入题中最终单纯形表中：
I必做题（本题共90分） 一、填空题（20分，第1题～第5题每空2分，第6题每空3分） 1．在线性规划的单纯形表中，若原问题非可行，对偶问题可行 时，可用________法继续计算。 【答案】对偶单纯形法 【解析】若对偶问题有最优解，则原问题也有最优解。 2．线性规划问题max z＝CX，AX＝b，X≥0，设X*为问题的最优 解。若目标函数变为maxz＝λCX，其中λ＞0为某一常数，则最优解为 ________。
6．写出线性规划问题 max Z＝2x1一3x2＋x3
的标准型________及对偶问题________。 【答案】
标准型是：
对偶问题是：
【解析】标准形式要满足：① 目标函数为求最大值；① 约束条件右 端项要大于0；② 约束条件为等式；③ 变量不为负数。
二、简答题（每题5分，共l0分） 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出 现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相 等时，在迭代过程中间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输 表的一行和一列，这时就出现了退化。 当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退
经计算可得：
，其中
平均需求量，故
平均盈利（常数）。故一个最大，另一个最小。
三、（30分）设线性规ຫໍສະໝຸດ 问题为： max z＝－5x1＋5x2＋13x3
用单纯形法求该问题的最优解及对偶问题最优解，然后用灵敏度分 析：
（1）第2个约束条件右端常数变为b2＝95，最优解分别有何变化? （2）目标函数中的系数Cz在什么范围变化时最优解保持不变? （3）增加一个新变量x6，其系数为（c6 a16 a26）T＝（1035）T。 答：
3．运输问题的表上作业法中解的最优性检验常用的两种方法是 ________和________。
【答案】闭回路法和位势法 【解析】得到了运输问题的初始基可行解之后，即应对这个解进行
最优性判别，看它是不是最优解。常用的两种方法是：闭回路法和位势 法。
4．图G＝（V，E）有生成树的充分必要条件是________。 【答案】G是连通图 【解析】图G是连通图，如果G不含圈，那么G本身是一个树，从而 G使它自身的一个支撑树。现设G含圈，任取一个圈，从圈中任意地去 掉一条边，得到G的一个支撑子图G1。如果G1不含圈，那么G1是G的一 个支撑树，如果G1仍含圈，那么从G1中再任取一个圈，如此重复，最 终可以得到G的一个支撑子图Gk，它不含圈，于是Gk就是G的一个支撑 树。
网络图
重复运用破圈法，最终得到最小支撑树
。
（3）由（2）可得出总长度是13＋15＋10＋34＋20＝92（千英 里）。
五、（20分）某制造厂每周购进某种机械零件50件，订购费为40 元，每周保管费为3.6元。
（1）求E．O．Q：
（2）该厂为少占用流动资金，希望存贮量达到最低限度，决定宁可 使总费用超过最低费用的4%作为存贮策略，问这时订货量为多少?
cj CB XB b 10 x3
6 x1 cj－zj
6＋t1
－2
10 0
0
x1
x2
x3
x4
x5
0
1/2
1 1/2
0
1
－1/2
0
－1/6
1/3
0
－4
0 －4
－2
要保证最优解不发生变化，则需要
，解得
。
三、（20分）
某厂有4个工人A1，A2，A3，A4，分别均能操作B1，B2，B3，B4台 车床中的一台，每小时的产值如下表：
目 录
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解：（1） （件/周），
（元），
（元/周）。
。
（2） 令新的订货量为 ，则依题意有：
即
解得：
或
（舍去）。
所以这时的订货量为25。
六、（25分）某公司考虑生产一种新产品，决策者对市场销售状态 进行预测的结果有三种情况：销路好、一般、差，其概率及各种情况下 增加的利润额（单位：万元）如下表所示（其中S为销路，P为利润增长 额，A为方案）。为了得到更加可靠的信息，公司可以花费O．6万元请 咨询公司代为进行市场调查，以确定市场的实际需求。请回答下列问 题：
（3）当完全情报告诉决策者自然状态是S1时，决策者一定采用方案 a1；当完全情报告诉决策者自然状态是S2时，决策者一定采用方案a1； 当完全情报告诉决策者自然状态是S3时，决策者一定采用方案a2。
所以：
（万元）；
EVPI＝EPPL－EMV＝4.05－1.35＝2.7（万元）。
咨询公司的咨询要价小于2.7，所以，需要请咨询公司进行调查。
为矩阵的阶数。因此，指派成功。即，A1指派B1，A2指派B3，A3指派 B2，A4指派B4，可以得到最大产值。
四、（20分）已知世界六个城市：Pe，N，Pa，L，T，M两城市之 间的距离（单位：千英里）如下表所示，现需要确定哪些城市之间开辟 航线，并使得连接所有城市的总长度最短。请回答以下问题：
（1）这是一个最短路问题还是最小支撑树问题，为什么? （2）画出网络图，找出最优连接方案； （3）总长度的最小值是多少?
答：（1）这是一个最小支撑树问题，因为，是确定开辟的航线使 得所有城市的总长度最短，即要求：① 各城市节点要连通；② 总长度 最短。
（2）有各地之间距离可得出以下网络图：
利用破圈法，在破圈时选择最大权边去除：
① 选择圈 边，得新的网络图，
因为Pe－M边权最大，故去除Pe－M
② 选择圈Pe－L－M－T－Pe，T－M权最大，故去除改边，得新的
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2011年深圳大学硕士研究生入学考试试题 专业：管理科学与工程 考试科目：运筹学 科目代码：836
七、（15分）设线性规划问题
有最优解，B为最优基，证明单纯形乘子CB－1是对偶问题的最优 解。
证明：其对偶问题是
设 是原问题的最优解，则其对应的基矩阵B必存在
，
，这时 是对偶问题的可行解，它使
。由于原问题的最优解 ，使目标函数取值
，由此得
，即 是对偶问题的最优解，
因此单纯形乘子 是对偶问题的最优解。
－5＋c2’ 0 13－3c2’ －c2’ 0
若使最优解不变，则需满足：
（3） 代入到最优单纯形表中，得到
，故最优解不变。
四、（10分）用运输问题的表上作业法求解线性规划问题： minz＝lOOx11＋140x12＋llOx13＋180x21＋150x22＋160x23
一、填空题（每空2分，20分） 1．线性规划最优生产计划中第i种资源有剩余，则该资源的影子价 格为（ 0 ）。 2．在大M法的目标函数中，人工变量的系数为（ －M ）。 3．某手机修理店有一位修理人员，顾客到达为Poisson流，到达率 为3人/h，服务时间为负指数分布，平均需15mi n，该排队模型属于（ M/M/1模型 ），顾客来维修不必等候的概率为（ 0.25 ），平均顾客数 位（ 3 ），在系统的逗留时间为（ 1h ），若要使顾客到达时间缩短 为40分钟，应该改进服务水平为（ 4.5人/h ）。 4．无向连通图G是欧拉图的充要条件是（ G中无奇点 ）。 5．如果运输问题单位运价表中的某一行（或某一列）元素分别乘 上一个常数k，最优调运方案将（ 不会发生 ）变化。 6．若Q为f增广链，则Q中所有前向边都为f的（ 非饱和弧 ）
－5 5 13 0 0
0
20 －1 1 [3] 1 0 20/3
0
90 12
4 10 0 1 9
－5 5 13 0 0
－5
5
13 0
0
13
20/3 －1/3 [1/3] 1 1/3
0 20
0
70/3 46/3
2/3
0 －10/3 1 35
－2/3 2/3
0 －13/3 0
－5 5
13
0
0
5
20 －1 [1] 3
1
0
0
10 16
0
－2 －4 1
0
0
－2 －5 0
得到最优解为（0，20，0，0，10）。
对偶问题最优解为：（5，0）。
（1）
最优解变为（0，20，0，0，15），最优值不变。 （2）设c2变为c2’，代入最优单纯形表中，得到：
－5
c2’ 13
0
0
c2’
20 －1
[1] 3
1
0
0
10 16
0 －2
－4 1
化时应在同时划去的一行或一列中的某个格中填入数字0，表示这个格 中的变量是取值为0的基变量，使迭代过程中基变量个数恰好为（m＋n －1）个。
2．在单周期随机存贮模型中，损失期望值最小准则和获利期望值 最小准则都可以用来确定最佳订购量，结果是否相同?说明理由。
答：不论需求是离散型的还是连续型的，二者的结果是相同的，只 是从两个不同的角度对同一问题的理解。下面以需求是离散型的为例，
5．流f为可行流必须满足________条件和________条件。 【答案】容量限制条件和平衡条件 【解析】在运输网络的实际问题中可以看出，对于流有两个明显的 要求：一是每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力（即弧的容 量）；二是中间点的流量为零。因为对于每个点，运出这点的产品总量 与运进这点的产品总量之差，是这点的净输出量，简称为是这一点的流 量；由于中间点只起转运作用，所以中间点的流量必为零。易而发点的 净流出量和收点的净流入量必相等，也是这个方案的总输送量。