江苏省专转本(高等数学)模拟试卷57(题后含答案及解析)

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷57(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．=1，则常数k等于( )。

A．1
B．2
C．4
D．任意实数
正确答案：B
解析：由题意可知，x=2时，x2—3x+k=0k=2。

2．下列命题中正确的是( )
A．若x0是f(x)的极值点，则必有f′(x0)=0
B．若f(x)在(a，b)内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值
C．若f′(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点
D．若f(x)在点x0处可导，且点x0是f(x)的极值点，则必有f′(x0)=0
正确答案：D
解析：根据极值存在的必要条件与充分条件。

3．若x=2是函数y=x—ln的可导极值点，则常数a值为( )。

A．一1
B．
C．
D．1
正确答案：C
解析：y=x—=0由题意得f′(2)=0，可知a=。

4．若y=arctanex，则dy=( )。

A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：
5．=0是级数收敛的( )条件。

A．充分
B．必要
C．充分必要
D．既非充分又非必要
正确答案：B
解析：由级数收敛定义、性质可知答案为B项。

6．设函数f(x)=x(x—1)(x—2)(x—3)，则方程f′(x)=0的实根个数为( )。

A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：由于f(x)是四次多项式，故f′(x)=0是三次方程，有3个实根。

填空题
7．如果f(x)=在x=0处连续，那么a=__________。

正确答案：0
解析：=f(0)，那么a=0。

8．设，则=___________。

正确答案：tant
解析：===tant。

9．点M(2，一3，4)到平面3x+2y+z+3=0的距离d=__________。

正确答案：
解析：根据点M(x1，y1，z1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=。

10．设函数y=y(x)是由方程ex—ey一sin(xy)确定，则=__________。

正确答案：1
解析：对方程两边求导得：ex一eyy′=cosxy.(y+xy′)，根据x的值求出y 值，则可得出=1。

11．函数f(x)=arctanx在[一1，1]上满足拉格朗日中值定理的点是=__________。

正确答案：
解析：设点ε，根据拉格朗日定理，则此点满足f(1)—f(一1)=f′(ε)[1一(一1)]，所以点ε等于。

12．交换积分次序f(x，y)dx=__________。

正确答案：
解析：通过作图可得出结论。

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

13．求。

正确答案：
14．求。

正确答案：设arctanx=t，x=tant，则：I=dx=.sec2tdt=∫tantcost.etdt=∫etsintdt=∫sintdet=etsint—∫etcostdt=etsint—∫costdet=etsint—
costet一∫etsintdt=etsint—costet一I则I=etsint—etcost+C，所以原式=+C
15．已知z=(x+y)exy，求dz。

正确答案：因为=exy+(x+y)exy.y=(1+xy+y2)exy=(1+xy+x2)exy所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy。

16．求。

正确答案：
=
17．求y′一(cosx)y=esinx满足y(0)=1的解。

正确答案：这是一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)= 一cosx，Q(x)=esin。

于是方程的通解为：y=e-∫p(x)dx[∫Q(x)e-∫p(x)dxdx+C]=e-∫(cosx)dx[∫esinxe ∫(-cosx)dxdx+C]=esinx(∫esinxe-sinx+C)=esinx(x+C)．由y(0)=1，得C=1，故所求解为：y=esinx(x+1)
18．设z=xf(x2，xy)，其中f(u，v)的二阶偏导数存在，求、。

正确答案：，=2x+x(+)=2x+2x3+x2
19．求函数y=x—ln(x+1)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间。

正确答案：①函数的定义域为(一1，+∞)；②∵y′=1一，令y′=0，
得驻点x=0．又y″=>0，x∈(一1，+∞)，于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹区间为：(一1，+∞)；③又一10，函数递增，故函数单调递减区间为：(一1，0)；递增区间为：(0，+∞)；且函数在x=0处取得一极小值f(0)=0。

20．求幂级数的收敛域。

正确答案：令x一5=t，则原式=，收敛半径为：R==1，当t=1时，级数发散；当t= 一1时，级数
收敛。

所以级数的收敛域为[一1，1)，那么级数的收敛域为[4，6)。

综合题
21．已知三点：A(1，0，一1)，B(1，一2，0)，C(一1，2，一1)，(1)求；(2)求以A、B、C为顶点的三角形面积。

正确答案：一4，
解析：(1)∵={0，一2，1}，={一2，2，0}，∴={0，一2，1}.{一2，2，0}=0—4+0= 一4．(2)∵S△ABC=，又
=={一2，一2，一4}，∴S△ABC==
22．求由曲线y=，y=x2所围平面图形分别绕x轴、y轴旋转的旋转体的体积Vx和Vv。

正确答案：，
解析：(1)画出平面图形x4+x2一2=0交点(一1，1)或(1，1)。

(2)=
=(3)Vy=
=
证明题
23．设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ε使得f′(ε)g(ε)+2f(ε)g′(ε)=0。

正确答案：设F(x)=f(x)g2(x)，由题设条件知，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a，b)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)g2(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g′(ξ)=0，由于g(ξ)≠0，得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。