巧用一题多变促进认知深化——“外方内圆”例题教学的实践与思考

［摘
要］例题是知识的载体，是重要的课程资源。

用实、用好、用活例题，是提高课堂教学效率的重要途径。

通过对“外方内
圆”这一例题的合理开发与利用，巧设变式，深化学生的认知，提升学生的数学核心素养。

［关键词］一题多变；认知；深化；外方内圆；例题［中图分类号］G623.5
［文献标识码］A
［文章编号］1007-9068（2020）18-0003-02
【课堂回放】
（教学人教版小学数学六年级上册《圆的面积》中“外方内圆”例题后）
呈现习题1：有一个正方形的面积是100平方厘米，在它里面画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？
（要求学生先画一画，再算一算，结果大多数学生都能按常规思路顺利解答）
师：谁能说说自己的解题思路？生1：面积为100平方厘米的正方形，边长是10厘米，圆的直径与正方形的边长相等，所以圆的直径也是10厘米，即圆的半径是5厘米，问题就迎刃而解了。

师：谁能列式解答？
生2：3.14×（10÷2）2
=78.5（平方厘米）。

呈现习题2：有一个正方形的面积是324平方厘米，在它里面画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？
（此题出示后，全班学生静默了片刻，因为数据324虽然是一个完全平方数，但不像100那样容易被看出是哪个数的平方，这时学生思维受阻。

为了激活学生的思维，师让学生先独立思考）
师：（组织小组讨论）324是哪两个相同数的乘积？讨论结束后，小组汇报交流。

生3：因为10的平方是100，20的平方是400，而正方形的面积是324平方厘米，所以它的边长一定在10厘米与20厘米之间。

生4：（急忙站起来补充）324的个位是4，只有12×12、18×18的积的个位是4，再通过计算就知道18×18=324，所以这个正方形的边长是18厘米。

生5：也可以用分解质因数的方法把324分解为两个相同数的乘积，即324=2×2×3×3×3×3。

师：那你怎么知道正方形的边长是多少厘米呢？生5：324=2×2×3×3×3×3=（2×3×3）×（2×3×3）=18×18，即18×18=324。

生6：这个圆的面积=3.14×（18÷2）2
=254.34（平方厘米）。

出示习题3：有一个正方形的面积是800平方厘米，在它里面画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？（学生模仿习题2的思路解答，尝试之后发现行
不通）
生7：用刚才的方法，发现没有哪个数的平方是800。

师：是啊！因为数据800不是一个完全平方数，所以不能直接求出这个正方形的边长。

同学们，那我们能不能不求出正方形的边长，而巧妙地解答这道题呢？
（学生陷入沉思，师再次组织学生探索和尝试）生8：（出示右图）
厘米，所以用800÷4可求出图中小正方形的面积，即r 2=200（平方厘米），所以圆的面积S =πr 2=3.14×200=628（平方厘米）。

师：这个方法太巧妙了！不需要求出圆的半径，而是将图形进行分割，巧妙地求出r 2，从而解决了问题。

生9：我们小组是用字母帮助推导解决问题的：由于r =d 2，所以S 圆=πr 2=14
πd 2。

有了这个新公式，已知正
方形的面积是800平方厘米，即d 2=800，所以圆的面
积S =1
4×3.14×800=628（平方厘米）。

师：你们小组的想法很有深度，真是棒极了！（生鼓掌）解答这组习题后，你想对大家说些什么？
生10：老师，我发现这类题目无论正方形的面积是多少，求圆的面积都可以用这两种方法解答。

生11：有些时候，换个角度思考问题，可能会有意外的收获。

生2：我们可以总结出解答这类问题的规律。

……
【课后反思】
上述教学，通过对一道例题的合理开发与利用，巧设变式，引导学生从不同的角度分析问题，使学生的数学学习兴趣得到激发，数学思维得到有效发展，提升了学生解决问题的能力。

巧用一题多变促进认知深化
——“外方内圆”例题教学的实践与思考
浙江泰顺县实验小学（325500）林莉莉
专题论析
1.在“一题多变
一题多变””中满足不同层次学生的学习需要
由于学生的生活环境不同，所具有的数学知识和数学能力客观存在差异，所以教师教学时应承认并尊重学生间的个体差异。

上述题组的三道习题由浅入深、由易到难，给学生留有自主探究的空间：习题1旨在巩固学生学习“外方内圆”的知识，这是比较简单的基础性练习。

习题2具有不同的解决方法，要求学生在模仿的基础上进行创造。

有的学生凭借直觉思维或估算进行解答，有的学生则用学过的分解质因数的方法求解。

这样不仅满足了学生多样化的学习需求，而且使学生的思维变得更加灵活，解决问题的策略更加多样化。

习题3是以培养学生创新思维为目的的挑战性练习，打破要求圆的面积就必须知道圆的半径的思维定式，提高学生解决问题的能力。

通过自主探索与合作交流等活动，在教师的有效引导下对题组进行深入探究，学生最终借助画图和字母公式推导等方法创造性地解决了问题。

2.在“一题一课
一题一课””中提升学生数学思维的“含金量”
上述教学，教师虽然只对正方形面积的数据进行简单的修改，却体现了学生不同的思维水平。

通过对习题1的解答，让学生体验到成功的快乐；习题2打开了学生思维的闸门，把学生引入探索、发现的新天地；面对习题3，学生根据常规思路无法求出圆的半径，这时思维不得不转向一些非常规的方法，促使学生最终突破已有解决问题方法的“束缚”，迸发出个体生命特有的灵性和智慧，实现培养学生创新思维的目的。

通过修改题组中的三个数据，使学生的思维更开阔、更深刻、更敏捷、更富有创造性，这样学生掌握的知识才是生动的、鲜活的、可迁移的。

例题是知识的载体，是重要的课程资源。

因此，教师应不拘泥于教材，不就题讲题，而是活用教材中的例题，对例题进行深入剖析和精心设计，做到一题求联、一题求变，将例题拓展为值得学生探究的数学问题，使例题真正成为学生乐学的有效素材。

这样不仅能有效训练学生思维的发散性、灵活性、变通性、独创性，而且培养了学生的综合能力，提升学生的数学核心素养。

（责编杜华）
［摘要］通过实践研究，数学“一题一课”可以教材中的典型例题、教学中普遍出现的问题、学生作业中的典型错题、教材中的综合性习题、阶段性教学目标达成的探究材料为素材进行开发，使学生理解与掌握所学的数学知识，真正做到活学活用，促进学生数学思维的发展。

［关键词］小学数学；一题一课；素材；开发策略
［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2020）18-0004-03
“一题一课”，指教师通过对一道题或某一素材的深入研究，挖掘其中蕴含的数学本质与内涵，科学、合理、有序地组织学生进行相关的数学探索活动，完成一节课的教学任务，实现引导学生感悟解题策略、积累数学活动经验、渗透数学思想方法等多维目标。

“一题一课”旨在尽可能地为学生的学习起到穿针引线、线面结合、立体呈现的作用，使学生所学的数学知识形成一个完整的结构系统，最大限度地促进学生的可持续发展。

那么，怎样有效地开发数学“一题一课”的素材呢？经过多年的探索，笔者在实践中总结了一些切实可行的素材开发策略，现与大家共同分享和探究。

一、以教材中的典型例题为素材
教材是学生学习与教师教学的主要依据，所以教师应深入研读教材，充分把握教材，灵活应用并合理开发教材，帮助学生理清知识脉络，沟通知识之间的内在联系，促进学生的思维发展，构建高效课堂。

数学“一题一课”的素材可以是对教材中一道典型例题的深入研究，然后由一道例题引发一堂课的教学，引导学生不断深入探究，发展学生的数学思维。

例如，教学人教版小学数学六年级上册《圆的面积》一课，在教学例题“外方内圆”和“外圆内方”后，教师让学生练习一道变式题（出示图1）：“已知圆的面积是94.2平方厘米，你能求出正方形的面积吗？”在解
数学“一题一课”素材开发策略
浙江泰顺县教师发展中心（325500）沈正会（特级教师）专题论析。