含答案 数学中考专题：猜想与证明综合压轴题
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(2)如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝ ，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝ CD，求CF+FG+GA的最小值．
3．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点逆时针旋转°得到 ．
(2)猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．
4．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且 ．
∵∠GDF=90°，
∴∠FDM=∠GDN．
∴ FDM≌ GDN．
∴DF与DG的数量关系是④．
(2)猜想论证：当∠B=30°时，如图2，试猜想DF与DG的数量关系并证明你的结论．
(3)拓展运用：若 ，BF=5，如图3，求BC的长．（直接写出结果不说明理由）
11．如图1，在 中， ， ， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ．
(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求出 的大小，请你思考并解答这个问题．
九年级数学中考专题：猜想与证明综合压轴题
1．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中， ， 是 的中线， ，垂足为 ．像 这样的三角形均为“中垂三角形”．设 ， ， ．
特例探索：
（1）①如图1，当 ， 时， _________， ________；
②如图2，当 ， 时，求 和 的值．
(1)观察猜想：图1中，边 的长是______， 的值为______；
(2)探究证明：把 绕点 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接 ， ，请求出 的值；
(3)拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，当以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出线段 的长．
12．综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， ，EP与正方形的外角 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
9．观察猜想：
(1)在 中， ，点 ， 分别在 ， 边上， ．
猜想：当
①如图1， ______；
②如图2，将 绕点 逆时针转到如图所示的位置，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，请问①中的结论是否成立？若成立，请给予证明；不成立，请说明理由．
类比探究：
(2)如图3，当 ， 时，此时 ______； 的度数为______．
6．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
7．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在边DG和DE上，连接AE，BG．
(1)猜想线段BG和AE的数量关系是；
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）．判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图（2）证明你的结论；
(1)观察证明如图1，当 时
①猜想 与 的数量关系为______，并说明理由．
②直线 与直线 相交所成的较小角的度数是______．
(2)类比猜想
如图2，当 时，请直接写出 的值及直线 与直线 相交所成的小角的度数
(3)解决问题
当 时，若点E，F分别是 的中点，点P在直线 上，请直）的条件下，若BC＝DE＝8，当AE＝AG时，直接写出AF＝．
8．有公共顶点的等腰直角三角形 与等腰直角三角形 按如图①所示放置， ， ， ，点 在 上，点 在 的延长线上．连接 ， ．
(1)【观察猜想】
与 之间的数量关系是_______；位置关系是______．
(2)【探究证明】
将等腰直角三角形 绕点 逆时针旋转，如图②所示，使点 ， ， 在同一条直线上，连接 ，交 于点 ． 与 之间的关系是否仍然成立？请说明理由
10．在 ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，垂足为点E，点D为BC的中点，CE与AD相交于点G．DF⊥AD交AB于点F．
(1)问题探究(请根据思路梳理的过程填空)：当∠B=45°时，如图1，过点D分别作AB、CE的垂线，垂足分别为点M、N．由于CE⊥AB，DM⊥AB，DN⊥CE，所以四边形DMEN是矩形，于是①∠MDN=度；由于点D为BC的中点，所以DM与CE的数量关系是②，DN与BE的数量关系是③．由∠B=45°，可得BE=CE，则DM=DN．
(1)当 时，求证： ；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点， ，垂足为K，交AC于点H且 ．若 ， ，请用含a，b的代数式表示EF的长．
5．△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．
(1)如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
归纳证明：
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形 中， 为对角线 ， 的交点， 分别为线段 ， 的中点，连接 ， 并延长交于点 ， ， 分别交 于点 ， ，如图4所示，求 的值．
2．在 中， ， ．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段 绕点P逆时针旋转a得到线段 ，连接 ．
(3)如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝ ，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝ CD，求CF+FG+GA的最小值．
3．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点逆时针旋转°得到 ．
(2)猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．
4．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且 ．
∵∠GDF=90°，
∴∠FDM=∠GDN．
∴ FDM≌ GDN．
∴DF与DG的数量关系是④．
(2)猜想论证：当∠B=30°时，如图2，试猜想DF与DG的数量关系并证明你的结论．
(3)拓展运用：若 ，BF=5，如图3，求BC的长．（直接写出结果不说明理由）
11．如图1，在 中， ， ， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ．
(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， 是等腰直角三角形， ，连接CP，可以求出 的大小，请你思考并解答这个问题．
九年级数学中考专题：猜想与证明综合压轴题
1．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中， ， 是 的中线， ，垂足为 ．像 这样的三角形均为“中垂三角形”．设 ， ， ．
特例探索：
（1）①如图1，当 ， 时， _________， ________；
②如图2，当 ， 时，求 和 的值．
(1)观察猜想：图1中，边 的长是______， 的值为______；
(2)探究证明：把 绕点 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接 ， ，请求出 的值；
(3)拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，当以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出线段 的长．
12．综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， ，EP与正方形的外角 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
9．观察猜想：
(1)在 中， ，点 ， 分别在 ， 边上， ．
猜想：当
①如图1， ______；
②如图2，将 绕点 逆时针转到如图所示的位置，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，请问①中的结论是否成立？若成立，请给予证明；不成立，请说明理由．
类比探究：
(2)如图3，当 ， 时，此时 ______； 的度数为______．
6．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
7．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在边DG和DE上，连接AE，BG．
(1)猜想线段BG和AE的数量关系是；
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）．判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图（2）证明你的结论；
(1)观察证明如图1，当 时
①猜想 与 的数量关系为______，并说明理由．
②直线 与直线 相交所成的较小角的度数是______．
(2)类比猜想
如图2，当 时，请直接写出 的值及直线 与直线 相交所成的小角的度数
(3)解决问题
当 时，若点E，F分别是 的中点，点P在直线 上，请直）的条件下，若BC＝DE＝8，当AE＝AG时，直接写出AF＝．
8．有公共顶点的等腰直角三角形 与等腰直角三角形 按如图①所示放置， ， ， ，点 在 上，点 在 的延长线上．连接 ， ．
(1)【观察猜想】
与 之间的数量关系是_______；位置关系是______．
(2)【探究证明】
将等腰直角三角形 绕点 逆时针旋转，如图②所示，使点 ， ， 在同一条直线上，连接 ，交 于点 ． 与 之间的关系是否仍然成立？请说明理由
10．在 ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，垂足为点E，点D为BC的中点，CE与AD相交于点G．DF⊥AD交AB于点F．
(1)问题探究(请根据思路梳理的过程填空)：当∠B=45°时，如图1，过点D分别作AB、CE的垂线，垂足分别为点M、N．由于CE⊥AB，DM⊥AB，DN⊥CE，所以四边形DMEN是矩形，于是①∠MDN=度；由于点D为BC的中点，所以DM与CE的数量关系是②，DN与BE的数量关系是③．由∠B=45°，可得BE=CE，则DM=DN．
(1)当 时，求证： ；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点， ，垂足为K，交AC于点H且 ．若 ， ，请用含a，b的代数式表示EF的长．
5．△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．
(1)如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
归纳证明：
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形 中， 为对角线 ， 的交点， 分别为线段 ， 的中点，连接 ， 并延长交于点 ， ， 分别交 于点 ， ，如图4所示，求 的值．
2．在 中， ， ．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段 绕点P逆时针旋转a得到线段 ，连接 ．